ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΟΛΟΓΟΥΣ (105) ΚΛΕΑΝΘΗΣ ΣΥΡΑΚΟΥΛΗΣ ΕΠΙΚΟΥΡΟΣ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ ΔΕ

ΜΑΘΗΜΑ 8ο Συνάρτηση και παράγωγος συνάρτησης ΣΤΟΧΟΙ Στο τέλος του μαθήματος θα πρέπει να μπορείτε να: αντιλαμβάνεστε πότε μια απεικόνιση είναι συνάρτηση κατανοείτε το συμβολισμό f’(x) και dy/dx για την παράγωγο μιας συνάρτησης, υπολογίζετε την παράγωγο με τη βοήθεια της κλίσης, παραγωγίζετε συναρτήσεις με δυνάμεις του x

Ορισμός Έστω δύο σύνολα Χ και Y. Λέμε ότι μια συνάρτηση από το Χ στο Υ, είναι μια απεικόνιση (κανόνας) που αντιστοιχεί σε κάθε σημείο του Χ ένα και μόνο ένα σημείο του Y. Το σύνολο Χ ονομάζεται πεδίο ορισμού και το σύνολο Υ πεδίο τιμών. Η συνάρτηση συμβολίζεται f: X→ Y, y=f(x), x,y Є R

Απεικονίσεις x x

Παράδειγμα 1 Η απεικόνιση του παραπάνω μηχανισμού γίνεται με τη βοήθεια μιας συνάρτησης f(x), με την οποία με μοναδικό τρόπο κάθε τιμή. Επομένως ο μηχανισμός μπορεί να αναπαρασταθεί με τη συνάρτηση, f(x)=2x+3 ή εναλλακτικά y=2x+3 Πλέον για κάθε τιμή εισόδου μπορούμε μέσω της συνάρτησης να υπολογίζουμε σε ποια τιμή αντιστοιχίζουμε τη συγκεκριμένη είσοδο: f(5)=2(5)+3=10+3=13 f(-17)=2(-17)+3=-34+3=-31

Εφαρμογή 1 Να υπολογίσετε: (α) f(25) (β) f(1) (γ) f(17) (δ) g(0) (ε) g(48) (στ) g(16) για τις συναρτήσεις f(x)= -2x + 50 g(x)= (-1/2)x +25 Υπάρχει κάποια σύνδεση των δύο συναρτήσεων;

Εφαρμογή 2 Δy Δx Κλίση = Δ𝑦 Δx

Παράδειγμα 2 Να βρεθεί η κλίση της ευθείας η οποία διέρχεται από τα σημεία Α(1,2) και Β(3,4) Επίλυση Δy Δx = 4−2 3−1 = 2 2 =1 Β Α Δx

Παράδειγμα 3 Να βρεθεί η κλίση της ευθείας η οποία διέρχεται από τα σημεία Α(1,2) και Β(4,1) Επίλυση Δy Δx = 1−2 4−1 = −1 3 Δx=3 Α Δy=-1 Β

Παράδειγμα 4 Να βρεθεί η κλίση της ευθείας η οποία διέρχεται από τα σημεία Α(1,2) και Β(5,2) Επίλυση Δy Δx = 2−2 5−1 = 0 4 =0 Δx=4 Δy=0 Α Β

Κλίση μη γραμμικής συνάρτησης

Για τη συνάρτηση y=f(x) γνωρίζουμε ότι f(α) είναι η τιμή της συνάρτησης για x=α, δηλαδή το ύψος της συνάρτησης από τoν άξονα των x. Συμβολίζουμε με f’(α) την κλίση της συνάρτησης στο ίδιο σημείο. f’(α) f(α) α

Ορισμοί Η κλίση της συνάρτησης f(x) στο σημείο x=α ονομάζεται παράγωγος της f στο α και συμβολίζεται: 𝑓 ′ 𝑥 = 𝑑𝑦 𝑑𝑥 Η παράγωγος της συνάρτησης σε σημείο είναι αριθμός. Η παράγωγος συνάρτηση είναι συνάρτηση Αν 𝑓 𝑥 = 𝑥 𝑛 τότε 𝑓 ′ 𝑥 =𝑛 𝑥 𝑛−1

Παράδειγμα 5 Να βρεθεί η παράγωγος συνάρτηση της y=f(x) όταν: (α) 𝑦= 𝑥 4 (β) 𝑦= 𝑥 10 (γ) y=x (δ) y=1 (ε) 𝑦= 1 𝑥 4 (στ) 𝑦= 𝑥

α) 𝑦= 𝑥 4 𝑑𝑦 𝑑𝑥 =4 𝑥 3 (β) 𝑦= 𝑥 10 𝑑𝑦 𝑑𝑥 =10 𝑥 9 (γ) y=x 𝑑𝑦 𝑑𝑥 =1 𝑥 0 =1 (δ) y=1 𝑑𝑦 𝑑𝑥 =0 (ε) 𝑦= 1 𝑥 4 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 𝑑 𝑥 −4 𝑑𝑥 =−4 𝑥 −5 =− 4 𝑥 5 (στ) 𝑦= 𝑥 𝑓 ′ 𝑥 = 𝑥 1 2 ′ = 1 2 𝑥 1 2 −1 = 1 2 𝑥 − 1 2 = 1 2 𝑥

Κανόνες παραγώγισης Αν ℎ 𝑥 =𝑐𝑓 𝑥 τότε ℎ ′ 𝑥 =𝑐 𝑓 ′ 𝑥 Αν ℎ 𝑥 =𝑐𝑓 𝑥 τότε ℎ ′ 𝑥 =𝑐 𝑓 ′ 𝑥 Αν ℎ 𝑥 =𝑓 𝑥 ±𝑔 𝑥 τότε ℎ ′ 𝑥 = 𝑓 ′ 𝑥 ±𝑔′(𝑥) Αν y=f 𝑔 𝑥 θέτουμε u=g(x), οπότε y=f(u) και 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 𝑑𝑦 𝑑𝑢 𝑋 𝑑𝑢 𝑑𝑥 Αν y=uv τότε 𝑑𝑦 𝑑𝑥 =𝑢 𝑑𝑣 𝑑𝑥 +𝑣 𝑑𝑢 𝑑𝑥 Αν 𝑦= 𝑢 𝑣 τότε 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 𝑣 𝑑𝑢 𝑑𝑥 −𝑢 𝑑𝑣 𝑑𝑥 𝑣 2