Μορφές κατανομών Αθανάσιος Βέρδης

Κύρια σημεία Η μορφή της κατανομής μιας ομάδας δεδομένων αποτελεί πηγή πληροφοριών Στο σημερινό μάθημα συζητούμε: Μεθόδους για να δείχνουμε τη μορφή των κατανομών Πίνακες συχνοτήτων

Κατασκευάζοντας κατανομές Οι βαθμοί επίδοσης πενήντα μαθητών (N = 50) 79, 55, 79, 56, 83, 74, 77, 46, 84, 68, 77, 84, 80, 62, 75, 64, 63, 78, 80, 88, 76, 75, 80, 88, 71, 75, 85, 75, 73, 66, 79, 46, 61, 59, 80, 81, 76, 80, 84, 62, 61, 72, 77, 73, 82, 77, 89, 68, 78, 73

46 55 56 59 61 62 63 64 66 68 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 88 89

Διάγραμμα τύπου stem-leaf (μίσχος και φύλλα)

Κατασκευάζοντας κατανομές Ομαδοποιούμε τα δεδομένα σε 10 ίσες ομάδες ή διαστήματα ή κλάσεις Τα δεδομένα μας έχουν «εύρος» από το 46 ως το 89, έτσι έχουμε 10 διαστήματα, καθένα εκ των οποίων έχει εύρος 4 μονάδων.

Ομαδοποιημένη μεταβλητή Παράδειγμα

Πίνακας συχνοτήτων

Ιστόγραμμα συχνοτήτων

Υποθετική μαθητική επίδοση σε τεστ γνώσεων (Ν=128) 425 430 435 440 445 450 460 465 470 472 475 480 485 490 500 510 515 525 535 549 550 570 575 580 590 600 615

Πολύγωνο σχετικής αθροιστικής συχνότητας

Αρχική ομαδοποιημένη κατανομή των δεδομένων Διάστημα Συχνότητα 425-449 19 450-474 49 475-499 28 500-524 14 525-549 5 550-574 3 575-599 4 600-625 6

Συμμετρική κατανομή (Symmetrical binomial) Διάστημα Συχνότητα 425-449 1 450-474 7 475-499 21 500-524 35 525-549 550-574 575-599 600-625

Πλατύκυρτη κατανομή (Platykurtic) Διάστημα Συχνότητες 425-449 450-474 475-499 500-524 525-549 550-574 575-599 600-625

Σταθερή κατανομή (Rectangular) Διάστημα Συχνότητες 425-449 16 450-474 475-499 500-524 525-549 550-574 575-599 600-625

Με δύο κορυφές (Biomodal) Διάστημα Συχνότητες 425-449 5 450-474 10 475-499 35 500-524 14 525-549 550-574 575-599 600-625

Σχήματος U (U-shaped) Διάστημα Συχνότητες 425-449 30 450-474 20 475-499 10 500-524 4 525-549 550-574 575-599 600-625

Με θετική λοξότητα (Positively skewed) Διάστημα Συχότητες 425-449 10 450-474 25 475-499 40 500-524 20 525-549 15 550-574 575-599 6 600-625 2

Αρνητική λοξότητα (Negatively skewed) Διάστημα Συχνότητες 425-449 2 450-474 6 475-499 10 500-524 15 525-549 20 550-574 40 575-599 25 600-625

Σχήματος J (J-shaped) 2 4 5 7 10 20 30 50 Διάστημα Συχνότητες 425-449 450-474 4 475-499 5 500-524 7 525-549 10 550-574 20 575-599 30 600-625 50

Ο μέσος όρος μιας μεταβλητής 425 430 435 440 445 450 460 465 470 472 475 480 485 490 500 510 515 525 535 549 550 570 575 580 590 600 615 481,81

Διάμεσος ή μέση τιμή μιας κατανομής δεδομένων Χ 425 430 435 440 445 450 460 465 470 472 475 480 485 490 500 510 515 525 535 549 550 570 575 580 590 600 615

Στατιστική σημειογραφία

Απλή στατιστική σημειογραφία Οι περισσότεροι υπολογισμοί στη Στατιστική είναι επαναλήψεις βασικών αριθμητικών πράξεων. Για παράδειγμα, υπολογίζουμε το άθροισμα κάποιων αριθμών γραμμένων σε μια λίστα με αρχή και τέλος ή το άθροισμα των τετραγώνων κάποιων αριθμών σε μια λίστα. Είναι ανάγκη να επικοινωνούμε αφαιρετικά.

Απλοί δείκτες Το όνομα της λίστας των αριθμών δείκτης

Απλοί δείκτες Το σύμβολο X είναι το όνομα μιας λίστας αριθμών ή το όνομα της μεταβλητής που αντιπροσωπεύει τους αριθμούς. Το σύμβολο i είναι ένας «δείκτης», ο οποίος δείχνει σε ποιο στοιχείο της ομάδας αναφερόμαστε, αν υποθέσουμε ότι αρχίζουμε από την αρχή.

Απλοί δείκτες X 1 2 12 3 14

Σημειογραφία για το άθροισμα Πολλοί υπολογισμοί στη στατιστική απαιτούν διαδοχικές προσθέσεις. Έτσι, χρειαζόμαστε την ανάλογη σημειογραφία. Θα ξεκινήσουμε με τις απλές περιπτώσεις και θα προχωρήσουμε στις περισσότερο σύνθετες.

Σημειογραφία της πρόσθεσης Η σημειογραφία της πρόσθεσης έχει την εξής μορφή: Τελική τιμή Δείκτης προσθετέου Αρχική τιμή

Έστω ότι έχουμε πέντε αριθμούς, τους 1,3,2,5,6. Κάντε την πράξη: 1+3+2+5+6=17

Κανόνες πρόσθεσης Προσθέτουμε ό,τι υπάρχει δεξιά από το Σ. Ξεκινάμε αρχίζοντας από την τιμή που δείχει ο δείκτης. Συνεχίζουμε αυξάνοντας την τιμή του δείκτη κατά 1 και προσθέτουμε αυτό που έχουμε βρει από την προηγούμενη πρόσθεση. Επαναλαμβάνουμε το προηγούμενο βήμα μέχρι να προσθέσουμε και τον τελευταίο αριθμό.

Evaluating a Simple Summation Expression Προσέχουμε τη σειρά των πράξεων. Για παράδειγμα για τους αριθμούς 1,3,2,5,6. Έχουμε:

Η άλγεβρα των αθροισμάτων Μερικοί κανόνες από την άλγεβρα Ο πρώτος κανόνας του σταθερού όρου Ο δεύτερος κανόνας του σταθερού όρυ Η αντιμεταθετική ιδιότητα

Πρώτος κανόνας σταθερού όρου Γράφουμε ότι: Comment extensively on the off by 1 error.

Πρώτος κανόνας ή ποιο σύνθετα: Comment extensively on the off by 1 error. Το a αναφέρεται σε κάθε μαθηματική έκφραση που δεν αναφέρεται στον δείκτη i.

Πρώτος κανόνας Παράδειγμα:

Δεύτερος κανόνας

Δεύτερος κανόνας Ο κανόνας λέει ότι: δηλαδή ότι μπορούμε να εξάγουμε έναν σταθερό αριθμό έξω από την άθροιση

Δεύτερος κανόνας Εφαρμογή του δεύτερου κανόνα

ή ακόμα:

Βρείτε το άθροισμα

Μέσος όρος της κατανομής

Διπλοί δείκτες Ο απλός δείκτης εύκολα μπορεί να επεκταθεί σε καταστάσεις στις οποίες έχουμε δύο ή περισσότερες λίστες αριθμών. Για παράδειγμα, αν σε μια τάξη έχουμε 4 μαθητές, οι οποίοι εξετάζονται σε δύο μαθήματα (δύο λίστες). Δίνουμε στη βαθμολογία του πρώτου μαθήματος το όνομα X, και στη βαθμολογία του δεύτερου μαθήματος το όνομα Y. Ο βαθμός του Νίκου στο δεύτερο μάθημα συμβολίζεται με:

Απλοί δείκτες Μαθητής X Y Ελένη 87 85 Νίκος 65 66 Μάριος 83 90 Abdul 92 97

Διπλοί δείκτες Μπορούμε να χρησιμοποιούμε δύο ή περισσότερα ονόματα μεταβλητών αλλά αυτό είναι δύσκολο γιατί: Σε κάποιες περιπτώσεις έχουμε πολλές λίστες αριθμών Σε κάποιες περιπτώσεις θέλουμε να κάνουμε τις ίδιες μαθηματικές πράξεις σε όλες τις μεταβλητές και είναι δύσκολο να το εκφράσουμε αυτό όταν οι λίστες έχουν άλλο όνομα.

Διπλοί δείκτες

Διπλοί δείκτες Ο πρώτος δείκτης αναφέρεται στη γραμμή (το υποκείμενο) και ο δεύτερος δείκτης αναφέρεται στη στήλη (τη λίστα)

Διπλοί δείκτες Για παράδειγμα, ποιο είναι το στοιχείο στον παρακάτω πίνακα;

Πιθανότητες, Διωνυμική Κατανομή, Κανονική Κατανομή Πιθανότητες, Διωνυμική Κατανομή, Κανονική Κατανομή