ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΔΥΝΑΜΙΚΗΣ Δύναμη και Επιτάχυνση Επιταχυνσιόμετρο Μάζα/Ελατήριο σε Κεκλιμένο Επίπεδο Σώματα σε Επαφή Μηχανή του Atwood Φαινόμενο Βάρος Ώθηση Σώματος με Σταθερή Ταχύτητα

Παράδειγμα – Δύναμη και Επιτάχυνση Ένας ψαράς ανεβάζει από τη θάλασσα ένα ψάρι χρησιμοποιώντας ένα νήμα που έχει όριο θραύσης 180 Ν. Το νήμα αυτό σπάει αν το ψάρι ανέρχεται με επιτάχυνση 12,2 m/s2. Ποια πρέπει να είναι η μάζα του ψαριού για να μη σπάσει το νήμα; m = ? α = 12.2 m/s2 snap ! y 8,2 kg

Παράδειγμα Δύναμη και Επιτάχυνση Ένα σώμα βάρους 100 Ν κρέμεται από ένα σχοινί το οποίο μέσω τροχαλίας είναι προσαρμοσμένο σε ένα δυναμόμετρο. Η άλλη άκρη του σχοινιού είναι δεμένη σε ένα τοίχο. Το δυναμόμετρο τότε δείχνει 100 Ν. Ποια θα είναι η ένδειξη του δυναμόμετρου όταν στο αριστερό άκρο του σχοινιού προσαρμοσθεί μέσω τροχαλίας ένα άλλο σώμα βάρους 100 Ν; Οι τροχαλίες και τα νήματα θεωρούνται αβαρή. 100 Ν m m ?

Λύση 100 Ν Το σώμα είναι σε ισορροπία!! Σχεδιάστε τις δυνάμεις m Σχεδιάστε τις δυνάμεις Χρησιμοποιείστε το 2ο Νόμο του Νεύτωνα στην κατακόρυφη διεύθυνση!! Στην πρώτη περίπτωση, το δυναμόμετρο μετρά την τάση του σχοινιού . . . . . . . . Η οποία είναι T = 100 Ν

Συνέχεια Λύσης Υποθέστε ότι το δυναμόμετρο έχει μάζα m0 Υποθέστε ότι το δυναμόμετρο κινείται με επιτάχυνση α προς τα δεξιά Σχεδιάστε το διάγραμμα ελεύθερου σώματος κάθε μάζας T1 - T2 = m0a m m0 +y +x T2 – mg = ma T1 – mg = – ma

Συνέχεια Λύσης  a = 0 + T1 = T2 = 100 N T2 – mg = ma T2 – mg = ma T1 – T2 = m0a –T1 + mg = ma T2 – mg = 0 T1 – T2 = m0a  a = 0 T1 – T2 = 0 + T1 – mg = – ma –T1 + mg = 0 0 = (m+m0+m) a T1 = T2 = 100 N m +y +x m0 T2 – mg = ma T1 – T2 = m0a T1 – mg = – ma

Πρόβλημα: Επιταχυνσιόμετρο Ένα σώμα μάζας m είναι κρεμασμένο στην οροφή ενός αυτοκινήτου με ένα αβαρές νήμα. Το αυτοκίνητο κινείται σε οριζόντιο δρόμο παράλληλα με τη x-διεύθυνση και με επιτάχυνση αx. Παρατηρούμε ότι το νήμα με τη μάζα ισορροπεί σε γωνία θ με την κατακόρυφο. Να υπολογίσετε τη γωνία θ συναρτήσει της επιτάχυνσης αx. Αυτοκίνητο ακίνητο ή κινείται με σταθερή ταχύτητα: θ=0 Αυτοκίνητο κινείται με σταθερή επιτάχυνση α: θ

Πρόβλημα: Επιταχυνσιόμετρο Αυτοκίνητο κινείται με σταθερή επιτάχυνση: Η τάση του νήματος:  m Πάνω στη μάζα m ασκούνται οι εξής δυνάμεις Το βάρος: 2ος Νόμος του Νεύτωνα: θ ax=g tanθ

Πρόβλημα: Μάζα/Ελατήριο σε Κεκλιμένο Επίπεδο Πρόβλημα: Μάζα/Ελατήριο σε Κεκλιμένο Επίπεδο Ένα σώμα μάζας m=5,1 kg είναι προσαρμοσμένο στο δεξί άκρο ενός απαραμόρφωτου οριζόντιου ελατηρίου. Το αριστερό άκρο του ελατηρίου είναι ακλόνητο και το σύστημα ελατήριο/μάζα βρίσκεται πάνω σε ατριβές οριζόντιο επίπεδο. Όταν το επίπεδο σχηματίσει γωνία θ=300 με το οριζόντιο επίπεδο, να υπολογίσετε τη νέα θέση ισορροπίας της μάζας. φ = 30o x1 = ? m k x = 0 m k x = 0 x

Λύση Προβλήματος Επιλέγουμε τους άξονες έτσι ώστε ο x-άξονας να είναι παράλληλος με το κεκλιμένο επίπεδο Σχεδιάζουμε το διάγραμμα ελεύθερου σώματος: Βάρος: Κάθετη δύναμη: +y Δύναμη ελατηρίου: φ = 30o x1 k x = 0 m 1ος Νόμος Νεύτωνα: +x . . . . η συνέχεια στον Πίνακα . . . .

Πρόβλημα: Δυο σώματα σε επαφή Δυο σώματα με μάζες m1 και m2 είναι τοποθετημένες σε επαφή η μια με την άλλη πάνω σε ένα οριζόντιο ατριβές επίπεδο. Αν μια δύναμη F εφαρμοσθεί στο σώμα με μάζα m1 ποια θα είναι τότε η δύναμη που θα επιταχύνει το σώμα με μάζα m2; α m1 m2 F Και οι δυο μάζες θα κινηθούν με την ίδια επιτάχυνση:

Λύση Προβλήματος α m1 m2 Αποδείξαμε ότι: Σχεδιάζουμε όλες τις δυνάμεις που δρουν πάνω και στις δυο μάζες: n1 m2 m1 α F n2 και n2 F21 F12 w1 και w2 w2 Εσωτερική δύναμη: Από τη μάζα m1 στη μάζα m2 Εσωτερική δύναμη: Από τη μάζα m2 στη μάζα m1 Τα βάρη: Των δυο μαζών Δεν επηρεάζουν το πρόβλημα Οι κάθετες δυνάμεις:

Λύση Προβλήματος α m1 m2 Αποδείξαμε ότι: Σχεδιάζουμε όλες τις δυνάμεις που δρουν πάνω και στις δυο μάζες: n1 m1 α F F21 w1 n2 m2 F12 w2 Πάνω στη μάζα m1 δρουν οι δυνάμεις: Η F, η F21, το βάρος w1 και η αντίδραση n1 της οριζόντιας επιφάνειας, όπου: Πάνω στη μάζα m2 δρουν οι δυνάμεις: Η F12, το βάρος w2 και η αντίδραση n2 της οριζόντιας επιφάνειας, όπου:

Η ΜΗΧΑΝΗ ΤΟΥ ATWOOD Μάζα 1: m1 m2 w1 T w2 (1) Μάζα 2: (2) (1) – (2)

ΦΑΙΝΟΜΕΝΟ ΒΑΡΟΣ Ένα αντικείμενο με μάζα m είναι τοποθετημένο πάνω σε ένα ζυγό ο οποίος βρίσκεται στο πάτωμα ενός ανελκυστήρα. Αν ο ανελκυστήρας κινείται με επιτάχυνση , τότε να υπολογίσετε την ένδειξη που θα δείχνει ο ζυγός ως βάρος του αντικειμένου. m Η μάζα m θα κινείται με την ίδια επιτάχυνση . Η συνισταμένη δύναμη που θα ασκείται πάνω στη μάζα θα προκύπτει από το Β΄ Νόμο του Newton. Η κάθετη δύναμη που ασκεί ο ζυγός πάνω στη μάζας m: Πάνω στη μάζα m ασκούνται οι δυνάμεις: Το πραγματικό βάρος της μάζας m: Η δύναμη είναι το φαινόμενο βάρος της μάζας m. Β΄ Νόμος του Newton: ΦΑΙΝΟΜΕΝΟ ΒΑΡΟΣ:

ΕΛΞΗ Ή ΩΘΗΣΗ ΕΝΟΣ ΚΥΒΩΤΙΟΥ ΜΕ ΣΤΑΘΕΡΗ ΤΑΧΥΤΗΤΑ Ένα κιβώτιο που έχει μάζα m έλκεται με ένα σκοινί έτσι ώστε αυτό να κινείται με σταθερή ταχύτητα πάνω σε μια οριζόντια επιφάνεια με συντελεστή κινητικής τριβής ολίσθησης μκ. Να υπολογίσετε την γωνία θ που πρέπει να σχηματίζει το σκοινί με το οριζόντιο επίπεδο ώστε η δύναμη F που έλκει το κιβώτιο να είναι η ελάχιστη. y Δυνάμεις που δρουν πάνω στο κιβώτιο: Η δύναμη έλξης του κιβώτιο: Fy Η κάθετη δύναμη: Η κινητική τριβή ολίσθησης: Fx θ x Το βάρος του κιβώτιο: Β΄ νόμος Newton:

ΕΛΞΗ Ή ΩΘΗΣΗ ΕΝΟΣ ΚΥΒΩΤΙΟΥ ΜΕ ΣΤΑΘΕΡΗ ΤΑΧΥΤΗΤΑ ΑΠΟΔΕΙΞΑΜΕ: θ Fx Fy Ακρότατο συνάρτηση F=F(θ) όταν:

ΕΛΞΗ Ή ΩΘΗΣΗ ΕΝΟΣ ΚΥΒΩΤΙΟΥ ΜΕ ΣΤΑΘΕΡΗ ΤΑΧΥΤΗΤΑ Αποδείξαμε ότι: Η δύναμη F είναι μέγιστη ή ελάχιστη όταν: θ Fx Fy Η δύναμη F είναι ελάχιστη αν: Πράγματι: Η δύναμη F γίνεται ελάχιστη όταν: