Wittgenstein: Mathematics, Regularities, and Rules Steiner, Μ., 1996 Δ201334 Γκούρι Μάριος Δ201427 Σοφιανοπούλου Αγγελική Δ201519 Τερζή Φωτεινή

Ludwig Josef Johann Wittgenstein, (Βιέννη,1889-Cambridge,1951) Αυστριακός φιλόσοφος, κύριο έργο στη λογική, τη φιλοσοφία των Μαθηματικών, του νου και της γλώσσας. «Στροφή προς τη γλώσσα»: δεν είναι παθητικό μέσο πρόσληψης της πραγματικότητας αλλά πεδίο συγκρότησής της Επέδρασε σημαντικά στα πνευματικά κινήματα: Κύκλος της Βιέννης, Οξφορδιανή φιλοσοφία της καθημερινής γλώσσας

Συχνή διαίρεση της φιλοσοφίας του σε: 1) Πρώιμη περίοδολογική σχέση μεταξύ προτάσεων- κόσμου. Πίστευε ότι έλυσε φιλοσοφικά προβλήματα καθώς έδωσε εξηγήσεις για τη λογική που υπάρχει κάτω από τη σχέση αυτή. Οι άνθρωποι προφέρουν λέξεις χωρίς αυτές να τους αγγίζουν. 2) Ύστερη περίοδοΑπόρριψη πολλών θέσεων πρώιμης περιόδου. Το νόημα των λέξεων υποστηρίζεται από τη λειτουργία που επιτελούν εντός πλαισίου. «Ένιωθε ότι έγραφε για ανθρώπους που σκέφτονται διαφορετικά, και ότι οι ιδέες του είχαν διαστρεβλωθεί» (Henrik von Wright)

Συνεργασία Wittgenstein-Rusell (1912) Συμμετοχή στον Α’ Παγκόσμιο πόλεμο εμφανείς φιλοσοφικές ανησυχίες πέραν του πατριωτισμού Καθηγητής φιλοσοφίας σε Αγγλία, Νορβηγία Χαρακτηριστικό έργο: Tractatus Logico-Philosophicus. Πώς προκλήθηκαν προβλήματα της φιλοσοφίας από την παρανόηση της λογικής της γλώσσας. «Για όσα δεν μπορεί να μιλά κανείς καλύτερα να σωπαίνει». Αντίληψη του κόσμου μέσω εικόνων γεγονότων.

Κανόνες και Κανονικότητες Η πηγή του λάθους στη φιλοσοφία, σύμφωνα με τον Wittgenstein, είναι η σύγχυση μεταξύ εμπειρικού-κανονιστικού. Γιατί προκύπτει κάτι τέτοιο; Οι προτάσεις που περιγράφουν κανόνες και νόρμες έχουν τη μορφή δηλωτικών προτάσεων. Στενή σχέση μεταξύ εμπειρικού και κανονιστικού: Κάθε κανόνας ανταποκρίνεται σε μια εμπειρική κανονικότητα προ-κανόνας (pre-rule)

Πώς συδέεται ένας κανόνας με μια κανονικότητα; Η εκπαίδευση (training) που περικλείει έναν κανόνα, παράγει από μόνη της μια συμπεριφορική κανονικότητα. Ο προκανόνας και ο κανόνας έρχονται σε ύπαρξη ταυτόχρονα. Μια ήδη υπάρχουσα κανονικότητα (που παράχθηκε, ίσως και ανεπιθύμητα, σε προηγούμενη εκπαίδευση) μετασχηματίστηκε σε νόρμα μέσω μια διαδικασίας που ο Wittgenstein ονομάζει “hardening” (πιθανές ερμηνείες: παγιοποίηση, τυποποίηση, στερεοποίηση) (Wittgenstein, 1956, Vol.6, pg.22).

Ο Wittgenstein αναγνωρίζει ότι υπάρχουν κανονικότητες στη φύση αλλά η μελέτη του επικεντρώνεται στις κανονικότητες της ανθρώπινης συμπεριφοράς – κυρίως σε αυτές που προκύπτουν από την εκπαίδευση (training) και την παιδεία (education). Καίριο σημείο για τη φιλοσοφία του Wittgenstein: Παιδιά εκτεθειμένα στην ίδια εκπαίδευση θα συμπεριφερθούν 'παρόμοια' όταν παρουσιαστεί 'ίδιο' κίνητρο.

Ίδιο - Παρόμοιο (same – similar) Οι ειδικοί πάνω στον Wittgenstein: Οι όροι 'ίδιο' και 'παρόμοιο' είναι άνευ νοήματος έξω από το πλαίσιο του rule-following, του τρόπου ζωής, του κοινωνικού πλαισίου κλπ. Γι'αυτό, οι όροι αυτοί δεν μπορούν να ορίσουν μια εμπειρική κανονικότητα ανθρώπινης συμπεριφοράς χωρίς κυκλικότητα. Mark Steiner: Υπάρχει αλήθεια σε αυτήν την ένσταση, αλλά o Wittgenstein διατηρεί, ως οφείλει, την άποψη ότι υπάρχει μια εμπειρική εποπτεία, μέσω της οποίας παιδιά εκπαιδευμένα ‘το ίδιο' συμπεριφέρονται 'το ίδιο' ...

Φαινόμενο: Στιγμιαία Γενίκευση (Stimulus Generalization) Υποθέτουμε ότι έχουμε εκπαιδεύσει ένα πεντάχρονο παιδί (που δεν έχει γνωρίσει ακόμα τους αριθμούς μας), μέσω ανταμοιβής, όταν (και μόνο τότε) βλέπει την παρουσία του σχήματος 4 Υποθέτουμε ότι θα αντιδράσει αναλόγως στην παρουσία σχημάτων όπως αυτά: 4 , 4, 4

Αντιθέτως θεωρούμε απίθανο να αντιδράσει στην παρουσία του σχήματος 0 Ονομάζουμε ΤΕΣΣΕΡΑ τη συλλογή των σχημάτων 4,4,4 η παρουσία των οποίων, στις ίδιες εργαστηριακές καταστάσεις, θα αυξήσουν τις πιθανότητες αντίδρασης του παιδιού. Τότε δημιουργούμε τον εξής ορισμό: 'Ένα σύμβολο είναι “σαν το 4” αν ανήκει στη συλλογή ΤΕΣΣΕΡΑ.' Η έννοια 'σαν το 4', τότε, είναι μία εμπειρική σύλληψη. Ομοίως για άλλα σχήματα χ.

Ανάλογος εμπειρικός συλλογισμός (Steiner): Παιδιά 7th grade “Απάντησε σωστά σε αυτές τις ερωτήσεις και θα αποκτήσεις δωρεάν εισιτήρια για το World Series” 2+2 = ? Σχεδόν πάντα γράφουν ένα σύμβολο 'σαν το 4'

Rule – Following Paradox Το υποκείμενο έχει εκπαιδευτεί για να συνεχίσει τη σειρά 2, 4,6,... Σχεδόν κάθε υποκείμενο στην τάξη θα παράξει 'κάτι σαν 1,002' έχοντας ήδη παράξει (κάτι σαν) '1,000' και ενώ του έχει ζητηθεί να συνεχίσει.

Βαθειά πεποίθηση του Wittgenstein: Οι εμπειρικές κανονικότητες όπως αυτές, μυστηριωδώς, δεν έχουν καμία φιλοσοφική εξήγηση. Ο Wittgenstein κατηγορεί τον πρότερο εαυτό του και το σύνολο των ακαδημαϊκών φιλοσόφων για: Σύγχυση μεταξύ κανόνων-κανονικοτήτων Λανθασμένη χρήση της φιλοσοφίας για να εξηγήσουν τις κανονικότητες.

«Η ασθένειά μας είναι η επιθυμία μας για εξήγηση» (Wittgenstein, 1956, Vol.6, pg.31) Αυτό που απορρίπτει στον μαθηματικό Πλατωνισμό δεν είναι τόσο το δόγμα ότι 'Τα μαθηματικά αντικείμενα υπάρχουν' αλλά κυρίως η ψευδαίσθηση που καλλιεργείται ότι η ύπαρξη των μαθηματικών αντικειμένων (και μιας ειδικής κατηγορίας εποπτείας) μπορεί να εξηγήσει τη οικουμενική συμφωνία μεταξύ μαθηματικών για το ποιες προτάσεις έχουν αποδειχθεί.

“Η 'εκπληκτική' και 'υπέροχη' συμφωνία μεταξύ μαθηματικών υποβιβάζει τους μαθηματικούς!” Αντικείμενο της Φιλοσοφίας: Είναι,και μπορεί να είναι, να περιγράψει και όχι να εξηγήσει τον θεμελιώδη ρόλο της κανονικότητας της ανθρώπινης μαθηματικής συμπεριφοράς.

Ερώτημα:Γιατί η φιλοσοφία είναι απαραίτητη για να εκτελέσει μια, ουσιαστικά, περιγραφική διαδικασία; Η φιλοσοφία δεν αποκαλύπτει νέα δεδομένα, περισσότερο μας υπενθυμίζει ό,τι ήδη γνωρίζουμε, στην προσπάθεια να 'αντικρούσει' μια συστηματική τάση προς τη λήθη. Ακαδημαϊκή φιλοσοφία: “ασθένεια”, “διαβολική τάση” που δε μπορεί να 'εξολοθρευτεί' ολοκληρωτικά – υποχωρεί από μία θέση, καμουφλάρεται και καταλαμβάνει μία άλλη.

Παράδειγμα: Μαθηματικός Πλατωνισμός Όταν εκτείθεται, ως μια αιτιολογική απάτη που είναι, μοιάζει να εξαφανίζεται, μόνο για να επανεμφανιστεί ως (περισσότερο επικίνδυνος, καθώς περισσότερο κρυμμένος) Πλατωνισμός κανόνων (συμπεριφορά χ ως εφαρμογή του κανόνα ψ αντικείμενο γεγονός) Ο Πλατωνισμός κανόνων είναι μια αποτυχημένη προσπάθεια να εξηγήσει τις εμπειρικές κανονικότητες (τους προ-κανόνες) που διέπουν τους κανόνες.

Μια ακόμη μάταιη προσπάθεια της ακαδημαϊκής φιλοσοφίας για εξήγηση των εμπειρικών κανονικοτήτων : Μενταλισμός Μενταλισμός: Η άποψη ότι οι νοητικές καταστάσεις (είτε αντιλαμβάνονται ως καταστάσεις του νου, είτε του εγκεφάλου) είναι απαραίτητες για να εξηγήσουμε την εμπειρική σύνδεση μεταξύ της “πρόθεσης” που εκφράζεται στο παρόν και μιας μεταγενέστερης δράσης που είναι σε συμφωνία με την πρόθεση. Wittgenstein: Αυτή η σύνδεση είναι που από μόνη της υποβιβάζει την έννοια της αποβλεπτικότητας – συνεπώς, δε μπορεί να εξηγηθεί από αυτήν.

Ακολουθώντας τους κανόνες (following the rules) Κανονικότητες = εμπειρικές επαναλήψεις. Μπορεί να υπάρχουν όμως εξαιρέσεις. Τυποποίηση (hardening) μιας κανονικότητας σε κανόνα: Πρέπει να αποφασίσουμε να δούμε οποιαδήποτε συμπεριφορά ασυνεπή με την κανονικότητα ως 'απόκλιση από τον κανόνα' Κανονιστική αντίληψη (normative concept) γιατί όταν χαρακτηρίζουμε μια συμπεριφορά, μέσω ενός παράγοντα, ως απόκλιση, ίσως αντιλαμβανόμαστε τον εαυτό μας ως εξουσιοδοτημένο να δράσουμε ενάντια σε αυτόν τον παράγοντα με κάποιον τρόπο (συμμόρφωση, τιμωρία, εξορία, φυλάκιση κ.α)

Συχνά ισχυρότερος λόγος για μετατροπή κανονικοτήτων σε κανόνες: Η επιδίωξη για κάτι που θεωρείται κοινωνικό αγαθό (δηλ. Για να αυξηθεί η ομοιομορφία μιας συμπεριφοράς) ΣΥΝΕΠΕΙΕΣ: 1. Χαρακτηρίζοντας ένα άτομο ως κάποιον που ακολουθεί έναν κανόνα, δεν προσδίδουμε στον παράγοντα κανένα νέο στοιχείο – η αλλαγή είναι σε μας, στην κοινωνία.

ΑΛΛΑ δε μπορούμε να αποδώσουμε οποιονδήποτε κανόνα σε οποιονδήποτε, ανεξαρτήτως της συμπεριφοράς που το άτομο αυτό εκδηλώνει. ΓΙΑΤΙ;;; Wittgenstein: “Κάθε κανόνας αποτελεί την τυπική-αυστηρή μορφή μιας εμπειρικής κανονικότητας.” 2.Έτσι, οι επιλογές μας δεν είναι μεταξύ ενός κανόνα και κάποιου άλλου, αλλά ανάμεσα στην τυποποίηση μιας κανονικότητας σε κανόνα ή όχι.

3. Το ποιον κανόνα σκολουθεί ένα άτομο εξαρτάται από τον προ-κανόνα, την προϋπάρχουσα κανονικότητα, η οποία έχει τυποποιηθεί. (αντίρρηση με Kripke) Αντιμετώπιση του “σκεπτικιστικού παράδοξου” του Wittgenstein από Kripke: “Ποιο κριτήριο χρησιμοποείται από τον ομιλώντα όταν προσδίδει τη σημασία 'πρόσθεση' στο σύμβολο + όταν χρησιμοποιείται από αυτόν;” “Χάρη σε ποιο στοιχείο ένα άτομο εννοεί πρόσθεση μέσω του συμβόλου + και όχι κάποια άλλη διαδικασία;”

Απάντηση Kripke: To κριτήριο για την εννοιολογική σημασία της 'πρόσθεσης' (και όχι κάποιας άλλης διαδικασίας), μέσω ενός συγκεκριμένου συμβόλου είναι η συμφωνία μεταξύ του ομιλώντα και της κοινότητας σε μελλοντική χρήση. Λάθος, γιατί δε χρειάζεται να περιμένουμε το μέλλον για να αποφασίσουμε. Προφανώς, δε βασιζόμαστε σε προγενέστερη συμπεριφορά του ομιλητή.

TOTE, εφόσον απείρως πολλές λειτουργίες είναι λογικά συμβατές με την προγενέστερη συμπεριφορά του ομιλητή, ποια απ'όλες εννοεί;;; Απάντηση: Στον πραγματικό κόσμο, μόνο η εμπειρική κανονικότητα είναι συμβατή με τη προγενέστερη συμπεριφορά και εκπαίδευση. Είναι αυτή η εμπειρική κανονικότητα που τυποποείται και μετατρέπεται σε κανόνα. Γι' αυτό και στην πράξη δεν υπάρχει δυσκολία στη χρήση προηγούμενης συμπεριφοράς και εκπαίδευσης για να πάρουμε την απόφαση ως προς τη χρήση.

Φυσικά, υπάρχουν λογικά δυνατοί κόσμοι όπου αυτή η εμπειρική κανονικότητα καταρρέει. Βάση για το παράδοξο του Wittgenstein ΤΟΤΕ: Η ακαδημαϊκή φιλοσοφία πλήττεται από τον νευρωτικό φόβο ότι αν ένα σύμβολο δεν έχει εννοιολογική σημασία σε κάθε δυνατό κόσμο, δεν έχει σημασία και στον πραγματικό κόσμο – διότι, μία 'κατάρρευση' στην επικοινωνία μεταξύ ανθρώπων λογικά πιθανή, έχει ήδη συμβεί!!! Wittgenstein

Υπάρχει ένας αριθμός εννοιών-στοιχείων που έχουν ιδιαίτερη διττή φύση: τα κριτήρια για τη μορφή της χρήσης τους διαμορφώνονται εν μέρει από: γεγονότα που συμβαίνουν στο παρόν και από άλλα γεγονότα που θα συμβούν στο μέλλον Σε καθένα από αυτά μπορούν να προκύψουν σκεπτικά παράδοξα (π.χ. έλλειψη σύνδεσης μεταξύ των δύο κριτηρίων)

Η αναγνώριση ότι οι εμπειρικές κανονικότητες διέπουν κάθε μία από αυτές τις έννοιες είναι αυτό που μας επιτρέπει να παραμερίζουμε το πρόβλημα. Άρα, Η “συμφωνία με την κοινότητα” (η οποία συλλαμβάνεται ως μια εμπειρική κανονικότητα) δεν είναι το κριτήριο για την εννοιολογική απόδοση ενός συγκεκριμένου πράγματος, μέσω μιας συγκεκριμένης έκφρασης. Περισσότερο είναι μία προϋπόθεση (ένας προ-κανόνας) για το θεσμό της γλώσσας γενικά, και για τη χρήση του συγκεκριμένου συμβόλου ειδικότερα.

Γενική θέση του Steiner ως προς την ερμηνεία του Kripke: Ο Kripke έχει ορθώς σχηματίσει την άποψη ότι ο Wittgenstein έχει διατυπώσει ένα σκεπτικιστικό επιχείρημα και αναγνωρίζει σωστά το επιχείρημα αυτό. Διαφωνεί ως προς τον κεντρικό ρόλο της εμπειρικής κανονικότητας ως προϋπόθεση των κανόνων και της διαδικασίας του να ακολουθεί κάποιος κανόνες.

O Wittgenstein είναι γνωστός για τη θέση του ότι κάθε θεώρημα που έχει αποδειχθεί (στη θεωρία αριθμών ή στην αριθμητική τουλάχιστον), είναι, ή περιέχει ένα νέο κανόνα για υπολογισμό. Αυτό κάποιες φορές (Dummet , 1978) προσάπτει στον Wittgenstein μια ακραία μορφή του συμβατισμού με την έννοια ότι κανένας κανόνας δεν μας δεσμεύει και μπορούμε να κάνουμε μαθηματικά καθώς προχωράμε.

Παράδειγμα Ας θεωρήσουμε έναν μαθητή που εξασκείται στη διαίρεση. Δίνουμε στο μαθητή να βρει το δεκαδικό ανάπτυγμα του 1/7 κάνοντας χρήση κανόνων της διαίρεσης. Ο μαθητής, αν έχει εξασκηθεί αρκετά ,θα δώσει το ανάπτυγμα 0.142857142857…142857 με προσέγγιση 6 δεκαδικών ψηφίων. Από την άλλη, μπορούμε να δώσουμε μια μαθηματική απόδειξη για την περιοδικότητα του δεκαδικού αναπτύγματος. Σύμφωνα με τον Wittgenstein , αυτό το θεώρημα προφέρει ένα νέο κριτήριο για τη σωστή διαίρεση.

Μπορούμε να ισχυριστούμε ότι δεν υπάρχει ανάγκη για νέο κριτήριο , το οποίο το μόνο που κάνει είναι να περιορίσει αρκετά την έννοια. Ηδη έχουμε ένα κριτήριο για τη διαίρεση , το οποίο προσφέρει αντικειμενικό περιεχόμενο στη πρόβλεψη : αν ένας μαθητής κάνει σωστά τις πράξεις θα βρει τον περιοδικό αριθμό. Αυτή η απάντηση δεν είναι τίποτα άλλο από μια νέα μορφή του Πλατωνισμού, μεταμφιεσμένο ως νομιναλισμός (ή μπορούμε να καταλάβουμε την απάντηση ως μενταλισμό, η σκέψη του μαθητή εμπεριέχει κατά κάποιο τρόπο κάθε ψηφίο του αναπτύγματος του 1/7)

Κανονικότητες & Κανόνες Ας αναλύσουμε την κατάσταση από την οπτική γωνία των κανονικοτήτων και των κανόνων. Δεδομένης της εξάσκησης , οι φοιτητές αποκτούν μια κανονικότητα στη συμπεριφορά τους . Ισχυροποιούμε την κανονικότητα μέσω ενός κανόνα: καθορίζουμε την συμπεριφορά τους ως φυσιολογική αν συνάδει με την εμπειρική κανονικότητα: αποκλίνουσα ή όχι . Ωστόσο, όσο το πρόβλημα που πρέπει να υπολογιστεί γίνεται ολοένα και πιο σύνθετο, η κανονικότητα στο ερώτημα αποδυναμώνεται. Με άλλα λόγια, ένας υπολογισμός που απαιτεί 1000 βήματα προφανώς επιφέρει μεγαλύτερη μεταβολή στο αποτέλεσμα σε σύγκριση με έναν άλλο που απαιτεί 100 βήματα.

Από την άλλη, το θεώρημα ότι το 1/7 είναι ίσο με τον περιοδικό αριθμό, μας επιτρέπει περισσότερη συμφωνία απ’ ο,τι πολλά βήματα υπολογισμών. Αντί να γίνει χρήση του συνηθισμένου αλγορίθμου της διαίρεσης, ο υπολογιστής απλά θα γράφει 142857 ξανά και ξανά χωρίς να ανησυχεί.   Έτσι κάθε κανόνας εξαρτάται σε κάθε περίπτωση από τον προ-κανόνα του και εκεί που ο προκανόνας αποδυναμώνει το ίδιο παθαίνει και ο κανόνας.

Ο Wittgenstein είναι σε κάθε περίπτωση αντίθετος στην ιδέα ότι οι έννοιες πρέπει να έχουν ακριβείς ορισμούς. Tα μαθηματικά αποτελούν μορφοποίηση εννοιών για την εύρεση νέων κριτηρίων. Συνεπώς, είναι λάθος να ειπωθεί ότι οι ταυτότητες της αριθμητικής είναι αληθείς από σύμβαση. Ούτε είναι αληθείς με την έννοια ότι συνεπάγονται την ύπαρξη των μαθηματικών αληθειών στις οποίες αντιστοιχούν οι ταυτότητες. Τέλος , για όσο αυτές οι συμβάσεις βασίζονται στις εμπειρικές κανονικότητες (όπως όλοι οι κανόνες) καμία ενναλακτική σύμβαση δεν θα είναι κατανοητή.

Quine vs Wittgenstein Ο Quine θεωρεί μια αλήθεια σαν την 7+5=12 τόσο προφανή ώστε το 7+5=13 μπορεί να θεωρηθεί ισχυρισμός μιας διαφορετικής αλήθειας (π.χ. να εννοεί με το 13 ό,τι εννοούμε εμείς με το 12 ή να θεωρεί ως + μια άλλη πράξη κλπ) παρά σαν άρνηση αυτού που εννοούμε εμείς. Έτσι σύμφωνα με τον Quine δεν υπάρχει εναλλακτική αριθμητική. Επιπλέον, ο Quine συμφωνεί, σχεδόν , με τον Wittgenstein ότι οι αριθμητικές εκφράσεις (numerals) 5, 7, 12 μπορεί να μη θεωρηθούν ότι αναφέρονται σε αριθμούς.

Αν εξαλείψουμε τις εκφράσεις των αριθμών(numerals) από τη θεμελιώδη γλώσσα της επιστήμης , τότε ακόμα και οι ταυτότητες της αριθμητκής χωρίς ποσοδείκτες θα γίνουν ποσοτικοποιημένες δηλώσεις της κατηγορηματικής λογικής (predicate calculus) Για τον Quine, ακόμα και οι ταυτότητες της αριθμητικής απαιτούν την ύπαρξη αφηρημένων αντικειμένων, έτσι όπως η θεωρία ατόμων απαιτεί την ύπαρξη των ηλεκτρονίων . Για τον Quine οι ταυτότητες της αριθμητικής είναι αλήθειες όπως οποιαδήποτε άλλη αλήθεια. Ο Quine θεωρεί την αριθμητική σαν να έχει εμπειρική υποδομή, παρόλο που δεν είναι εμπειρική. Η θέση του μοιάζει με του Wittgenstein αλλά για τον Quine δεν υπάρχει εμπειρική κανονικότητα – συμπεριφορική ή φυσική – πίσω από τις μεμονωμένες ταυτότητες της αριθμητικής. Η πρόσθεση, για παράδειγμα , δεν συνδέεται με μια μεμονωμένη (εμπειρική) διαδικασία μέτρησης ή συλλογής.

Οι αποδείξεις Για τον Wittgenstein, τα μαθηματικά σχετίζονται με τη διαμόρφωση εννοιών και προϋποθέσεις κανόνων, το οποίο διαφέρει ριζικά από την εμπειρική επιστήμη. Ακόμα, τα μαθηματικά αποκλίνουν από άλλου τύπου διαμόρφωση εννοιών, υπάρχει επίσημη μέθοδος για την ανάπτυξη των εννοιών, και είναι οι αποδείξεις. Οι αποδείξεις είναι υποχρεωτική αποδοχή. Στις νομικές διαδικασίες, για παράδειγμα, τα καινούρια κριτήρια αναπτύσσονται για τις παλιές έννοιες (ελευθερία, ιδιωτική ζωή) αλλά πουθενά δεν υπάρχει κάτι σαν την απόδειξη που να υποχρεώνει τους δικαστές να αποφασίσουν με τον ένα ή τον άλλο τρόπο. Ο Wittgenstein αρέσκεται στο να παρομοιάζει τις αποδείξεις με τα σχηματικά διαγράμματα.

Στις φιλοσοφικές έρευνες (1953) ο W συζητά διεξοδικά τα σχηματικά διαγράμματα, διότι τα σχηματικά διαγράμματα φαίνεται να συνδέουν το εμπειρικό και το κανονιστικό . Το σχηματικό διάγραμμα μιας μηχανής μπορεί να χρησιμοποιηθεί για να προβλέψει τι θα κάνει το μηχάνημα – από την άλλη ένα σχηματικό διάγραμμα είναι μια εξιδανικευμένη αναπαράσταση η οποία ορίζει τι σημαίνει για το μηχάνημα να είναι σε λειτουργία. Η αιτία ότι ένα διάγραμμα μπορεί να κάνει και τα δύο πράγματα τις περισσότερες φορές , είναι ότι το μηχάνημα μπορεί να δώσει το ίδιο αποτέλεσμα για την ίδια εισαγωγή.

Παράδειγμα Συζητά την απόδειξη του Ευκλείδη για την απειρία των πρώτων αριθμών. Η απόδειξη πάει ως ακολούθως. Ας υποθέσουμε ότι ο p είναι ο τελευταίος πρώτος . Ορίζουμε P = p! + 1 Από τα προηγούμενα αποδεδειγμένα θεωρήματα ο αριθμός P δεν διαιρείται με κανέναν από τους αριθμούς 1,2,3,… , p . Ειδικότερα, δεν διαιρείται με κανέναν πρώτο μικρότερο ή ίσο του p. Αλλά ο αριθμός P είναι, όπως κάθε αριθμό, είτε πρώτος είτε γινόμενο πρώτων. Αν ο P είναι γινόμενο πρώτων , τότε αυτοί οι πρώτοι θα πρέπει να είναι μεγαλύτεροι του p , αλλιώς ο P είναι πρώτος από μόνος του. Σε άλλη περίπτωση υπάρχει πρώτος μεγαλύτερος του p. Έτσι δεν υπάρχει τελευταίος πρώτος. O W βλέπει αυτήν την απόδειξη ως το σχεδιασμό ενός διαγράμματος του πειράματος εύρεσης ενός πρώτου μεγαλύτερου του δοσμένου p .

Κατασκευάζουμε τον αριθμό P = p Κατασκευάζουμε τον αριθμό P = p! + 1 και τον παραγοντοποιούμε, και ελέγχουμε τους παράγοντες, έναν προς έναν, αν είναι πρώτοι. Αν βρούμε έναν πρώτο μικρότερο του p το προηγούμενο θεώρημα δηλώνει ότι έχουμε κάνει λάθος. Αν έχουμε βρει πρώτους μεγαλύτερους του p, τότε σταματάμε. Αν δεν βρούμε πρώτους παράγοντες του P , τότε φυσικά ο P είναι πρώτος. Αυτό το διάγραμμα θεωρείται ότι μας πείθει να θεωρήσουμε τις δηλώσεις κάποιου ότι έχει βρει τον τελευταίο πρώτο, ότι έχει κάνει υπολογιστικά λάθη. Κάθε απόδειξη αυτού του θεωρήματος δείχνει έναν διαφορετικό τρόπο για να δείξουμε ότι η ύπαρξη μιας εξίσωσης (χωρίς βάση, ρίζα) οδηγεί σε αντίφαση. O W θεωρεί κάθε απόδειξη ως ένα σχήμα μιας διαφορετικής διαδικασίας η οποία απορρίπτει κάθε αντιπαράδειγμα του θεωρήματος. Κάθε απόδειξη μας πείθει να μην μπούμε στον κόπο να ψάξουμε για αντιπαράδειγμα. Αυτό που φαίνεται να είναι ασαφές, είναι πως οι αποδείξεις δρουν στο να κινητοποιήσουν τους μαθηματικούς να ισχυροποιήσουν τις κανονικότητες στους κανόνες.

Ο Wittgenstein επιμένει πως δε θέλει να αλλάξει τα μαθηματικά ή τη συνηθισμένη μαθηματική γλώσσα ΑΛΛΑ αντιμάχεται τη γλώσσα των εργαζόμενων μαθηματικών. Μοιάζει πλατωνιστικήοι μαθηματικές αλήθειες εικάζονται πριν αποδειχθούν. Μπορεί να εντυπωσιαστούμε από μια μαθηματική αλήθεια όταν αποδεικνύεται. Μπορεί να υπάρχουν καλύτερες αποδείξεις του ίδιου πράγματος. Ο Wittgenstein δεν μπορεί να δεχθεί ότι τα μαθηματικά θεωρήματα εκφράζουν μαθηματικά γεγονότα (facts).

Εσωτερική σχέση μαθηματικού θεωρήματος-απόδειξής του Μερικές φορές δεν κατανοούμε ένα μαθηματικό θεώρημα μέχρι να δούμε την απόδειξή του. Αφού υπάρχει και την κατανοούμε, δεν εντυπωσιαζόμαστε από την αλήθεια του – όχι διαφορετικές αποδείξεις για το ίδιο θεώρημα. O Wittgenstein θεωρεί τα μαθηματικά θεωρήματα διφορούμενα: όταν αποδεικνύονται εκφράζουν ένα νέο κανόνα υπολογισμών. Κάθε κανόνας είναι το hardening ενός προηγούμενου, ο οποίος είναι εμπειρικός.

Μπορεί να εντυπωσιαστούμε που μια συγκεκριμένη εμπειρική κανονικότητα αποδεικνύεται αλήθεια  σημείο εστίασης μαθηματικών. Η κανονικότητα μπορεί μέσω αποδείξεων να παγιοποιηθεί (hardened) σε κανόνα. Αινιγματικό: «η εφαρμογή των μαθηματικών φροντίζει η ίδια για τον εαυτό της» Η εφαρμογή ενός θεωρήματος καθορίζεται από τον κανόνα που υπάρχει πριν και κάτω από αυτό. Εξ ορισμού τα θεωρήματα έχουν εφαρμογή καθώς αυτή τους δίνει νόημα. Με άλλα λόγια: στην εφαρμογή των Μαθηματικών αποφασίζεις να περιγράψεις συγκεκριμένες οπτικές της εμπειρικής πραγματικότητας ως «φυσιολογικές»(π.χ. απόδειξη)

Ο W. δείχνει ότι 3x3+1=10. Παίρνει 10 strokes και δείχνει πώς μπορούν να διαιρεθούν σε 3 γκρουπ των 3, και 1 περισσεύει: Σχεδιάζει κύκλους γύρω από τις τριάδες. Προσποιείται ότι εξετάζει τη σκεπτικιστική αμφιβολία ότι ο αριθμός strokes αλλάζει καθώς σχεδιάζονται οι κύκλοι. Η σκεπτικιστική αμφιβολία είναι ασυνεπής. Έχουμε μια εμπειρική κανονικότητα: μετρώντας τις 10 strokes, σχεδόν πάντα βρίσκουμε ότι φτιάχνοντας 3 κύκλους παίρνουμε 3 γκρουπ και 1 περισσεύειπρο-κανόνας που στερεοποιείται στην ταυτότητα (3x3)+1=10. Διάκριση εμπειρικής κανονικότητας-ταυτότητας (η 1η καθορίζει το νόημα χρήσης της 2ης)

Ο,τι γίνεται κατά τη διαδικασία σχεδιασμού των κύκλων είναι αυτό που καθορίζει το νόημα της ταυτότητας 3x3+1=10. Ερώτημα: Μια μηχανή υπολογισμού παίζει κάποιο ρόλο στον άνθρώπινο υπολογισμό; Δύο επιχειρήματα υπέρ 1) ένας υπολογιστής παρέχει εμπειρικά αποδεικτικά στοιχεία για το τι θα έβρισκε ένας εκπαιδευμένος άνθρωπος. Σε έναν τυπικό υπολογισμό, κάποιος εμπλέκεται εμπειρικά. Ανακαλύπτει μια κανονικότητα που στερεοποιείται σε κανόνα. Ο υπολογιστής προβλέπει την κανονικότητα που θα βρίσκαμε εμπειρικά.

2) η χρήση υπολογιστή μπορεί να αντικαθιστά όλα τα άλλα κριτήρια στον υπολογισμό. Π.χ. Υπολογισμός αριθμού ακολουθίας ενός googol (10 ̂100). Ο υπολογιστής ίσως είναι ο μόνος τρόπος να εγκαθιδρύσουμε ότι ο αριθμός είναι πάντα σύνθετος. Η εμπειρική συμπεριφορά του ανθρώπου που υπολογίζει αλληλοεπικαλύπτεται με αυτήν της μηχανής. Μπορούμε να αντικαταστήσουμε την κανονικότητα της ανθρώπινης με την μηχανική, όταν η 1η αποτυγχάνει (π.χ. πολύ μεγάλοι αριθμοί)η αριθμητική με μεγάλους αριθμούς μπορεί να είναι η παγιοποποίηση (hardening) μηχανικών κανονικοτήτων.

Διάκριση μηχανικού υπολογισμού-μαθηματικής απόδειξης Ο μηχανικός υπολογισμός δε μας δίνει εικόνα που μας πείθει να υιοθετήσουμε νέο κανόνα. (Πώς το κάνει αυτό μια απόδειξη;) Ωστόσο, δεν είναι κάθε αριθμητικός υπολογισμός επιβλητικός. Παράδειγμα εύρεσης τετραγώνου μεγάλου αριθμού-όχι ιδιαίτερα εξαναγκαστική αποδοχή του αποτελέσατος, δοκιμές, αποδοχή από τρίτους-έλλειψη ικανότητας διερεύνησης κατά Wittgenstein. Ασαφής απάντηση στο αν η απόδειξη που βοηθάται από μηχανή μετρά ως μαθηματική απόδειξηενισχύεται για τον Steiner το γιατί υπάρχει διαμάχη μεταξύ μαθηματικών-φιλοσόφων για το αν ο υπολογιστής αλλάζει τη φύση των μαθηματικών.

Ευχαριστούμε πολύ!!!