Θεσσαλονίκη 23/9/2016 Εξορθολογισμός της σχολικής ύλης «Μαθηματικά Γυμνασίου» Σχολικό Έτος 2016-17 Βαγγέλης Φακούδης - Εκπ/κος ΠΕ03 Γυμνάσιο Σουφλίου

Το περιεχόμενο της παρουσίασης Στόχοι Προϋποθέσεις & περιορισμοί Κεντρικές αλλαγές Παραδείγματα Ποσοτικά χαρακτηριστικά των αλλαγών

Στόχοι Προϋποθέσεις & περιορισμοί Κεντρικές αλλαγές Παραδείγματα Ποσοτικά χαρακτηριστικά των αλλαγών

Γενικοί στόχοι του εξορθολογισμού της διδακτέας ύλης Να προωθηθεί η ανακαλυπτική-διερευνητική και η κοινωνική μάθηση καθώς και οι δημιουργικές δραστηριότητες μέσα στην τάξη, που θα κινήσουν το ενδιαφέρον των μαθητών/τριών και θα καλλιεργήσουν την κριτική σκέψη, να υπάρχει χρόνος για δραστηριότητες ανακεφαλαίωσης, αναπλαισίωσης της γνώσης και αναστοχασμού, να γίνει εφικτό οι μαθητές/τριες να μαθαίνουν στο σχολείο, χωρίς να χρειάζεται να καταφεύγουν σε εξωσχολική βοήθεια. Πυξίδα για τις αλλαγές, αποτέλεσαν τα προσδοκώμενα μαθησιακά αποτελέσματα και οι εναλλακτικές μεθοδολογικές προσεγγίσεις που θα βοηθήσουν στην ενεργητική μάθηση και στον κριτικό γραμματισμό.

Στόχοι στα μαθηματικά Δυνατότητα εμβάθυνσης σε έννοιες Προώθηση της διερευνητικής και ανακαλυπτικής μάθησης Δημιουργία κλίματος συνεργασίας Η ανάδειξη των μαθηματικών μέσα από τη χρήση τους ως ένα πολιτισμικό προϊόν

Στόχοι στα μαθηματικά Προσαρμογή της ύλης στο διαθέσιμο χρόνο Εξοικονόμηση χρόνου για επανάληψη Σύνδεση του κόσμου της εμπειρίας με μαθηματικά περιεχόμενα Η εμπλοκή των μαθητών με τη μαθηματικοποίηση προβλημάτων Εισαγωγή εννοιών της Γεωμετρίας του Χώρου

Στόχοι Προϋποθέσεις & περιορισμοί Κεντρικές αλλαγές Παραδείγματα Ποσοτικά χαρακτηριστικά των αλλαγών

Προϋποθέσεις & περιορισμοί Αλλάξαμε τη διδακτέα ύλη λαμβάνοντας υπόψη: τα ωρολόγια προγράμματα που ισχύουν το 16-17, τα δεδομένα σχολικά βιβλία που ήδη είχαν αποσταλεί στα σχολεία, την ανάγκη συμβατότητας με τις επόμενες και προηγούμενες γνώσεις Στο γ να πω για την συγκρότηση μιας ομάδας τελικά.

Προϋποθέσεις & περιορισμοί 100 ώρες το χρόνο Συμπεριλαμβάνεται χρόνος για επαναλήψεις/ εργασίες/ χρήση ΤΠΕ Το περιεχόμενο που ήδη έχει διδαχθεί Το υπάρχουν εκπαιδευτικό υλικό Βιβλία, ebooks, αποθετήρια (Φωτόδεντρο) Ισχύοντα ΠΣ Τα ‘Νέα προγράμματα σπουδών’ (όπως τροποποιήθηκαν με την πιλοτική εφαρμογή τους)

Στόχοι Προϋποθέσεις & περιορισμοί Κεντρικές αλλαγές Παραδείγματα Ποσοτικά χαρακτηριστικά των αλλαγών

Α΄ Γυμνασίου Τάξη Α΄- Ανά παράγραφο 15-16 και 16-17 ΠΡΟΣΟΧΗ: Τα σχόλια που αναφέρονται στο παραπάνω αρχείο στη στήλη «Παρατηρήσεις» είναι ενδεικτικά, για τις ανάγκες της παρουσίασης. Για να κατανοηθούν οι αλλαγές που προτείνονται, θα πρέπει να διαβαστούν προσεκτικά οι αναλυτικές οδηγίες.

Παραδείγματα δραστηριοτήτων Α΄ Γυμνασίου 1ο Κεφ. Οι φυσικοί αριθμοι «Ο Αντρέας παίζει ποδόσφαιρο κάθε 4 ημέρες, ο Μιχάλης κάθε 5 ημέρες και ο Μαρίνος κάθε 8 ημέρες. Αν σήμερα παίζουν ποδόσφαιρο και οι τρεις μαζί, τότε να υπολογίσετε μετά από πόσες ημέρες θα συμβεί το ίδιο για δεύτερη φορά» Ο στόχος είναι η χρήση του ΕΚΠ σε ένα ρεαλιστικό πρόβλημα. Η επίλυση του προβλήματος από τους μαθητές μπορεί να στηρίζεται σε διαισθητικές προσεγγίσεις (πχ κάποιο σχήμα) ή σε εύρεση των πολλαπλασίων του 4, του 5 και το 8. Αυτές οι προσεγγίσεις μπορούν να αξιοποιηθούν για την ανάδειξη της έννοιας του ΕΚΠ.

Παραδείγματα δραστηριοτήτων Α΄ Γυμνασίου 1ο Κεφ. Οι φυσικοί αριθμοι http://photodentro.edu.gr/photodentro/Agym_Kefa1_4_diairetes_pidx0027593/ Οδηγίες

Μοντέλα εισαγωγής στις πράξεις ακεραίων Δύο μοντέλα που εισάγουν τους μαθητές στις πράξεις ακεραίων και η έρευνα έχει δείξει θετικά αποτελέσματα (από τη σειρά Mathematics in Context) είναι: α) με χρήση διακριτών μοντέλων για θετικούς και αρνητικούς αριθμούς όπου κάποια παραδείγματα αναφέρονται τις επόμενες διαφάνειες, β) με κίνηση στην αριθμογραμμή, που μπορεί να βρει κανείς περισσότερα: στα νέα προγράμματα σπουδών και στον οδηγό του εκπαιδευτικού (με αντίστοιχα ψηφιακά δομήματα) στις οδηγίες της διαφάνειας 15 (στην περίπτωση της αφαίρεσης, το ρομπότ αλλάζει κατεύθυνση)

Παραδείγματα δραστηριοτήτων Α΄ Γυμνασίου Α- §7.3 Ερώτηση: Τι πόντους έχει αυτή η ομάδα Αρχικό πλαίσιο: Σε ένα υποτιθέμενο παιχνίδι ερωτήσεων μέσα στην τάξη μεταξύ ομάδων μαθητών, ο καθηγητής δίνει μία θετική κάρτα (κάρτα «+») για κάθε σωστή απάντηση της ομάδας, και μια αρνητική κάρτα (κάρτα «-») για κάθε λάθος απάντηση της ομάδας. Σε πρώτη φάση ζητείται από τους μαθητές να απαντήσουν ποιο είναι το σκορ της ομάδας αν έχουν απαντήσει για παράδειγμα σε 3 ερωτήσεις σωστά (άρα έχουν 3 «+» κάρτες) και 5 λάθος (άρα έχουν 5 «-» κάρτες). Οι μαθητές διαισθητικά απαντούν ότι μία κάρτα «+» και μία «-» αλληλοαναιρούνται και (γενικότερα: ίδιος αριθμός θετικών και αρνητικών καρτών) δίνουν άθροισμα 0. Στο μαθηματικό πλαίσιο: (+3)+(-5)=-2

Παραδείγματα δραστηριοτήτων Α΄ Γυμνασίου http://photodentro.edu.gr/lor/r/8521/1935?locale=el http://photodentro.edu.gr/lor/r/8521/6192 Οδηγίες

Παραδείγματα δραστηριοτήτων Α΄ Γυμνασίου Α- §7.4 1η ιδέα: Να πάρει από κάθε ομάδα τόσες κάρτες + όσες και - Οι «+» κάρτες του καθηγητή τελείωσαν. Τι μπορεί να κάνει ώστε να συνεχίσει το παιχνίδι; Β Α Εξαιρετικά χρήσιμη ιδέα Καθηγητής

Διαισθητική προσέγγιση του –(-1)=+1 Παραδείγματα δραστηριοτήτων Α΄ Γυμνασίου Διαισθητική προσέγγιση του –(-1)=+1 2η ιδέα: Αντί να δώσει μία κάρτα + Να πάρει μία κάρτα - Οι «+» κάρτες του καθηγητή τελείωσαν. Τι μπορεί να κάνει ώστε να συνεχίσει το παιχνίδι; Ανακαλύπτουν διαισθητικά: -(-1)=+1

Η τεχνική «Δημιουργία από το τίποτα» Παραδείγματα δραστηριοτήτων Α΄ Γυμνασίου Α- §7.4 Η τεχνική «Δημιουργία από το τίποτα» Στην ερώτηση (+3) ΑΦΑΙΡΕΣΕ (+5) οι μαθητές θα προβληματιστούν για το πως είναι δυνατό να αφαιρέσουν περισσότερα από όσα υπάρχουν. Εδώ είναι αυτό που λέγεται «δημιουργία από το τίποτα». Σε προηγούμενη δραστηριότητα έχουν επεξεργαστεί το ερώτημα αν θα αλλάξει το αποτέλεσμα σε μια ομάδα αν προσθέσουμε όσες κάρτες θετικές θέλουμε και ίδιο πλήθος αρνητικών. Βλέποντας και το διπλανό σχήμα, οι μαθητές καταλαβαίνουν ότι μπορούμε να θεωρήσουμε ότι υπάρχουν όσα ζευγάρια θέλουμε θετικών και αρνητικών καρτών αφού το άθροισμά τους είναι 0. Άρα αφαιρώντας 5 θετικές κάρτες μένουν 2 αρνητικές κάρτες χωρίς τις αντίστοιχες θετικές που πριν τις μηδένιζαν οπότε το αποτέλεσμα είναι -2. (+3)-(+5)

Το ίδιο παράδειγμα από το Φωτόδεντρο http://photodentro.edu.gr/v/item/ds/8521/1917

Φυσικό μοντέλο για το β-α=β+(-α) Παραδείγματα δραστηριοτήτων Α΄ Γυμνασίου Α- §7.4 Φυσικό μοντέλο για το β-α=β+(-α) Έγινε λάθος στη διανομή των καρτών. Οι μαθητές της Α΄ομάδας πρέπει να έχουν 3 πόντους λιγότερους και της Β΄ ομάδας 3 πόντους περισσότερους. Μαθητής της Α΄ ομάδας: «Δώστε μας 3 αρνητικές κάρτες» Μαθητής της Β΄ ομάδας: «Δώστε μας εσείς 3 θετικές κάρτες» Για την ανάπτυξη φυσικού μοντέλου για την αφαίρεση, ότι δηλαδή η αφαίρεση με ένα αριθμό ισοδυναμεί με την πρόσθεση του αντιθέτου του. (+2) + (-3) = -1 (-6) - (-3) = -3 (+2) - (+3) = -1 (-6) + (+3) = -3 Δηλαδή (+2)-(+3)=(+2)+(-3) και (-6)-(-3)=(-6)+(+3). Άρα β-α=β+(-α)

Παραδείγματα δραστηριοτήτων Α΄ Γυμνασίου Β- §2.3 Τα δυο τρίγωνα είναι συμμετρικά ως προς άξονα. Να προτείνετε έναν γεωμετρικό τρόπο ώστε να σχεδιάσετε τον άξονα συμμετρίας

Παραδείγματα δραστηριοτήτων Α΄ Γυμνασίου Β- §2.3 Τα δυο τρίγωνα είναι συμμετρικά ως προς άξονα. Να προτείνετε έναν γεωμετρικό τρόπο ώστε να σχεδιάσετε τον άξονα συμμετρίας

Β΄ Γυμνασίου Τάξη Β΄- Ανά παράγραφο 15-16 και 16-17 ΠΡΟΣΟΧΗ: Τα σχόλια που αναφέρονται στο παραπάνω αρχείο στη στήλη «Παρατηρήσεις» είναι ενδεικτικά, για τις ανάγκες της παρουσίασης. Για να κατανοηθούν οι αλλαγές που προτείνονται, θα πρέπει να διαβαστούν προσεκτικά οι αναλυτικές οδηγίες.

Παραδείγματα δραστηριοτήτων Β΄ Γυμνασίου Α- §1.1 Χρησιμοποιώντας σπίρτα κατασκευάζουμε ένα τετράγωνο (1ο σχήμα) και κατόπιν προσθέτουμε δίπλα του άλλο ένα τετράγωνο (2ο σχήμα), κι άλλο ένα τετράγωνο (3ο σχήμα), κοκ. Να βρείτε πόσα σπίρτα χρειάζονται για 4 τετράγωνα, για 10 τετράγωνα, για 57 τετράγωνα; [Στόχος είναι η παραγωγή μιας αλγεβρικής παράστασης για να εκφραστεί ο γενικός όρος της κανονικότητας (ακολουθίας). Η διερεύνηση των μαθητών θα τους βοηθήσει να αναπτύξουν στρατηγικές (όπως η κατασκευή ενός πίνακα τιμών) η γενίκευση των οποίων θα οδηγήσει στη συμβολική διατύπωση του γενικού όρου]

Παραδείγματα δραστηριοτήτων Β΄ Γυμνασίου Α- §1.2 Στο διπλανό σχήμα όλα τα σακουλάκια έχουν το ίδιο βάρος, κάθε κυβάκι ζυγίζει 50 γρ. και η ζυγαριά ισορροπεί. Μπορείτε να βρείτε (χωρίς χαρτί και μολύβι) το βάρος που έχει κάθε σακουλάκι; Περιγράψτε τον τρόπο που λύσατε το πρόβλημα, πρώτα με λόγια και μετά με μαθηματικές σχέσεις. [Σχόλιο: Μέσα από το μοντέλο της ζυγαριάς οι μαθητές μπορούν να εξερευνήσουν τόσο τις ιδιότητες της ισότητας (ότι η ισότητα – ισορροπία δεν αλλάζει αν κάνουμε τη ίδια πράξη – δράση και στα δύο μέλη), όσο και τη διαδικασία επίλυσης της εξίσωσης.

Παραδείγματα δραστηριοτήτων Β΄ Γυμνασίου Α- §2.2 http://photodentro.edu.gr/v/item/ds/8521/5496

Παραδείγματα δραστηριοτήτων Β΄ Γυμνασίου Α- §3.2 Η παρακάτω γραφική παράσταση δείχνει τη θερμοκρασία Τ (σε βαθμούς Κελσίου) ενός τόπου κατά τη διάρκεια ενός 24ώρου. α) Ποια είναι η ελάχιστη και ποια η μέγιστη θερμοκρασία; Ποια ώρα του 24ώρου συμβαίνουν; Ποια σημεία της γραφικής παράστασης δείχνουν την ελάχιστη και τη μέγιστη θερμοκρασία; β) Ποια είναι η θερμοκρασία στις 2 τη νύχτα, στις 2 το μεσημέρι και στις 11 το βράδυ; Ποια ώρα η θερμοκρασία είναι 6ºC; γ) Τι εκφράζει με βάση το πρόβλημα το σημείο (20, 9) της γραφικής παράστασης; δ) Ποιες άλλες πληροφορίες μπορούμε να αντλήσουμε από αυτή τη γραφική παράσταση;

Παραδείγματα δραστηριοτήτων Β΄ Γυμνασίου Α- §4.5 http://photodentro.edu.gr/v/item/ds/8521/5329

Παραδείγματα δραστηριοτήτων Β΄ Γυμνασίου Β- §1.3 http://photodentro.edu.gr/v/item/ds/8521/5573

Παραδείγματα δραστηριοτήτων Β΄ Γυμνασίου Β- §2.1 -Εφαπτομένη Με βάση μια φωτογραφία οι μαθητές χαράσσουν γραμμές, μετρούν μήκη πάνω σε αντίγραφο της φωτογραφίας και κάνουν υπολογισμούς για να προσδιορίσουν προσεγγιστικά την κλίση του δρόμου. Μοντελοποιούν την κατάσταση για να βρουν το ύψος που κερδίζει ένας πεζός που ανεβαίνει την ανηφόρα για κάθε μέτρο που διανύει πάνω σ’ αυτήν.

Γ΄ Γυμνασίου Τάξη Γ΄- Ανά παράγραφο 15-16 και 16-17 ΠΡΟΣΟΧΗ: Τα σχόλια που αναφέρονται στο παραπάνω αρχείο στη στήλη «Παρατηρήσεις» είναι ενδεικτικά, για τις ανάγκες της παρουσίασης. Για να κατανοηθούν οι αλλαγές που προτείνονται, θα πρέπει να διαβαστούν προσεκτικά οι αναλυτικές οδηγίες.

Παραδείγματα δραστηριοτήτων Γ΄ Γυμνασίου Α- §1.4 α) Ποια σχέση νομίζετε ότι έχουν οι παραστάσεις (α+β)2 και α2+β2; Είναι ίσες ή άνισες; Με ποιο τρόπο μπορείτε να το διαπιστώσετε; β) Χρησιμοποιήστε το διπλανό σχήμα, για να υπολογίσετε το (α+β)2. γ) Διερευνήστε αν μπορεί ποτέ να ισχύει ο ισχυρισμός που κάνατε στο πρώτο ερώτημα.

Παραδείγματα δραστηριοτήτων Γ΄ Γυμνασίου Α- §3.2 Η Μαρία ξεκινάει το πρωί από τη βάση της κατασκήνωσης, για να ανέβει στην κορυφή του Ολύμπου, η οποία απέχει 10 χιλιόμετρα. Η Έλενα ξεκινάει την ίδια ώρα από την κορυφή, για να επιστρέψει στην κατασκήνωση από την ίδια διαδρομή. Τα γραφήματα που περιγράφουν την απόσταση κάθε ορειβάτισσας από την κορυφή του βουνού είναι σχεδιασμένα στο σχήμα. Ποια γραμμή αντιστοιχεί στη Μαρία και ποια στην Έλενα; Τι εκφράζει το σημείο τομής των δύο γραμμών; Σε πόση ώρα θα συναντήσει η Μαρία την Έλενα; Πώς μπορούμε να περιγράψουμε αλγεβρικά τη συνάντησή τους και να βρούμε την ώρα συνάντησης;

Παραδείγματα δραστηριοτήτων Γ΄ Γυμνασίου Α- §3.2 http://photodentro.edu.gr/v/item/ds/8521/2009 Με το μικροπείραμα «Δραστηριότητα με περιστρεφόμενη σβούρα» από τα εμπλουτισμένα σχολικά βιβλία, οι μαθητές μπορούν να περιστρέψουν μια σβούρα, την οποία προηγουμένως έχουν χωρίσει σε κυκλικούς τομείς. Τα αποτελέσματα της περιστροφής παριστάνονται με ραβδόγραμμα. Παίζοντας με τη σβούρα οι μαθητές μπορούν να εξερευνήσουν την έννοια της πιθανότητας καθώς και τη σχέση μεταξύ θεωρητικής και πειραματικής πιθανότητας.

Παραδείγματα δραστηριοτήτων Γ΄ Γυμνασίου Β- §1.5 Ένα ζωγράφος δοκιμάζει να ζωγραφίσει τον κεκλιμένο πύργο της Πίζας. Το ύψος του πύργου είναι 60 m και το ύψος που έχει τώρα, λόγω της απόκλισης από την κατακόρυφη, είναι 59,8 m. Στο σχέδιό του το ύψος του πύργου θέλει να είναι 30 cm. Αν εσύ ήσουν ο ζωγράφος πόσο θα σχεδίαζες το κατακόρυφο ύψος; Πώς θα ήσουν σίγουρος ότι με αυτές τις διαστάσεις ο πύργος της ζωγραφιάς θα γέρνει όπως ο πύργος της Πίζας; [Σχόλιο: Στόχος της δραστηριότητας είναι οι μαθητές να χρησιμοποιήσουν το λόγο ομοιότητας σχημάτων]

Σημαντικό σχόλιο για τη χρήση ΤΠΕ Μπορείτε να κατεβάσετε τις ψηφιακές δραστηριότητες (http://photodentro.edu.gr/aggregator/) και να τις ανοίξετε τοπικά με το αντίστοιχο λογισμικό. Αν δεν έχετε εγκατεστημένο το λογισμικό, τότε αν πρόκειται για αρχείο με κατάληξη .ggb κατεβάστε και εγκαταστήστε το Geogebra από τη διεύθυνση https://www.geogebra.org/download ή διαφορετικά ψάξτε για το αντίστοιχο λογισμικό στη διεύθυνση http://photodentro.edu.gr/edusoft/. Για να δείτε την προεπισκόπηση των ψηφιακών δραστηριοτήτων σε απευθείας σύνδεση (online), προτιμήστε τον φυλλομετρητή Mozilla Firefox. Αν η εφαρμογή είναι σε flash θα πρέπει να εγκαταστήσετε το πρόσθετο Adobe flash player από τη διεύθυνση https://get.adobe.com/flashplayer/. Αν η εφαρμογή χρησιμοποιεί τη Java (π.χ. Geogebra), τότε εγκαταστήστε την από τη διεύθυνση http://java.com/en/. Αν συνεχίζετε να έχετε πρόβλημα στην προεπισκόπηση, τότε προσθέστε τις διευθύνσεις http://photodentro.edu.gr και http://digitalschool.minedu.gov.gr στο exception site list στην καρτέλα security της Java (ανοίξτε το Control Panel, τη Java, στην καρτέλα security πατήστε Edit site list και προσθέστε τις δύο διευθύνσεις, κλείστε το browser και ξανανοίξτε τον).

Στόχοι Προϋποθέσεις & περιορισμοί Κεντρικές αλλαγές Παραδείγματα Ποσοτικά χαρακτηριστικά των αλλαγών

Α΄ τάξη

Β΄ τάξη

Γ΄ τάξη

Σας ευχαριστούμε Βαγγέλης Φακούδης Εκπ/κος ΠΕ03 Γυμνάσιο Σουφλίου