Α ΝΩΤΑΤΗ Σ ΧΟΛΗ ΠΑΙ ΔΑΓΩΓΙΚΗΣ ΚΑΙ Τ ΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ Ε ΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Καθηγητής Σιδερής Ευστάθιος

ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ ΜΕ ΑΠΟΣΒΕΣΗ Απλή Αρμονική Κίνηση (Ανακεφαλαίωση) Δυναμική της Ταλάντωσης με Απόσβεση Λύση της Δ.Ε. της Ταλάντωσης με Απόσβεση Γραφική Παράσταση της Ταλάντωσης με Απόσβεση Προσομοίωση Ταλάντωσης με Απόσβεση Ενέργεια Ταλαντωτή με Απόσβεση Ανακεφαλαίωση

ΑΠΛΗ ΑΡΜΟΝΙΚΗ ΚΙΝΗΣΗ (Ανακεφαλαίωση) ΤΑΛΑΝΤΟΥΜΕΝΟ ΣΥΣΤΗΜΑ ΔΙΑΦΟΡΙΚΗ ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΞΙΣΩΣΗ ΚΙΝΗΣΗΣ ω02ω02 Ελατήριο – Μάζα Απλό Εκκρεμές Φυσικό Εκκρεμές Στροφικό Εκκρεμές Πλωτήρας θ = θ max cos(ω 0 t+φ) x = A cos(ω 0 t+φ) y = A cos(ω 0 t+φ)

ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΤΗΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗΣ ΜΕ ΑΠΟΣΒΕΣΗ Η Συνισταμένη των δυνάμεων που προκαλούν την ταλάντωση είναι ίση με τη δύναμη επαναφοράς του ταλαντούμενου συστήματος Απλή αρμονική κίνηση F = – k x Με Διαφορική Εξίσωση Κίνησης: Που έχει λύση την εξίσωση κίνησης του ταλαντωτή: x = A cos(ω 0 t+φ)

Περιοδική Ταλάντωση με Απόσβεση Η Συνισταμένη των δυνάμεων που προκαλούν την ταλάντωση προκύπτει από τη δύναμη επαναφοράς του ταλαντούμενου συστήματος και από τις δυνάμεις απόσβεσης f d (π.χ. η τριβή και η αντίσταση σε ένα ρευστό) οι οποίες θεωρούνται ανάλογες με την ταχύτητα. Όπου: 0 ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΤΗΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗΣ ΜΕ ΑΠΟΣΒΕΣΗ

Διαφορική Εξίσωση Ταλάντωσης με Απόσβεση: Όπου: Περιοδική Ταλάντωση με Απόσβεση Ανακεφαλαίωση: Δεύτερος Νόμος Newton: ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΤΗΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗΣ ΜΕ ΑΠΟΣΒΕΣΗ Σταθερά χρόνου Ιδιοσυχνότητα

ΛΥΣΗ ΤΗΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΗΣ ΕΞΙΣΩΣΗΣ: Βήμα 1ο: Θέτουμε:οπότε: Βήμα 2ο: Αντικαθιστούμε τους διαφορικούς τελεστές D και D 2 στη Διαφορική Εξίσωση:

Βήμα 3ο: Ο Διαφορικός Τελεστής: Αντιστοιχεί σε τριώνυμο 2ου βαθμού με ρίζες: και ΛΥΣΗ ΤΗΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΗΣ ΕΞΙΣΩΣΗΣ:

Ρίζες Διαφορικού Τελεστή: και Βήμα 4ο: Γενική Λύση της Δ.Ε.: ΛΥΣΗ ΤΗΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΗΣ ΕΞΙΣΩΣΗΣ:

ΔΙΕΡΕΥΝΗΣΗ ΤΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΛΥΣΗΣ: Περίπτωση 1: (πραγματικός αριθμός) Γενική Λύση: x t Κατάσταση Υπεραπόσβεσης Δηλαδή, όταν:

ΔΙΕΡΕΥΝΗΣΗ ΤΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΛΥΣΗΣ: Περίπτωση 2: Γενική Λύση: x t Κατάσταση Κρίσιμης Απόσβεσης

ΔΙΕΡΕΥΝΗΣΗ ΤΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΛΥΣΗΣ (συνέχεια) Περίπτωση 3: Γενική Λύση: Ισοδύναμα: Όπου: φ = Διαφορά Φάσης όπου:

ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗΣ ΜΕ ΑΠΟΣΒΕΣΗ

ΕΝΕΡΓΕΙΑ ΤΑΛΑΝΤΩΤΗ ΜΕ ΑΠΟΣΒΕΣΗ Αποδείξαμε ότι : όπου : Μέγιστη ενέργεια ταλαντωτή (π.χ. ελατηρίου) με απόσβεση συναρτήσει του χρόνου : και : 0,37Ε 0 0,13Ε 0 όπου: Είναι η σταθερά χρόνου Ε0Ε0 t = τ t =2τ t Ε

ΑΝΑΚΕΦΑΛΑΙΩΣΗ ΔΥΝΑΜΗ ΔΙΑΦΟΡΙΚΗ ΕΞΙΣΩΣΗ ΛΥΣΗ Δ.Ε. ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ F = - k x x = Α cos(ω 0 t+φ) x t x t