Οικονομικά Μαθηματικά Ενότητα: Σύνθετη Κεφαλαιοποίηση Γιανναράκης Γρηγόρης Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Γρεβενά)

Σύνθετος τόκο ή ανατοκισμό ονομάζουμε τον υπολογισμό του τόκου που βασίζεται στην κεφαλαιοποίηση του. Στη λήξη κάθε περιόδου ο τόκος προστίθεται στο κεφάλαιο παράγοντας μεγαλύτερης αξίας κεφάλαιο, το οποίο στη συνέχεια επανατοκίζεται για την επόμενη περίοδο και ούτω καθεξής. Η περίοδος ορίζεται από το επιτόκιο αναφοράς και αποτελεί το χρονικό διάστημα στο οποίο γίνεται η κεφαλαιοποίηση των τόκων. Το διάστημα αυτό μπορεί να είναι έτος, εξάμηνο … Το επιτόκιο παραμένει σταθερό από περίοδο σε περίοδο και θα πρέπει να αναφέρεται στην αυτή χρονική περίοδο που αναφέρεται και η περίοδος ανατοκισμού. Ανατοκισμό ή Σύνθετος Τόκος

Απόδειξη Σύμφωνα με τον τύπο υπολογισμού του απλού τόκου η τελική αξία κάθε περιόδου θα είναι ίση : K 1 =K 0 (1+i*1) = K 0 (1+i) K 2 =K 1 (1+i*1) = K 1 (1+i)... K t =K t-1 (1+i*1) = K t-1 (1+i) Πολλαπλασιάζοντας κατά μέλη τις παραπάνω ισότητες έχουμε: Κ 1 * Κ 2 * …*Κ t = K 0 (1+i) * K 1 (1+i) * K t-1 (1+i)  Κ 1 Κ 2 …Κ t = Κ 0 Κ 1 Κ 2 …Κ t-1 (1+i) t 

Ιδιότητες Δυνάμεων και. xRxR εάν Κ = 1, τότε 1 χ = 1 xRxR όπου x και y ακέραιοι και y>0, επίσης Κ>0. Συνέπεια της παραπάνω ιδιότητας είναι και η σχέση

Ορισμός Λογαρίθμου Επίσης, λογάριθμο του Κ με βάση το y, δηλαδή log y K, ονομάζουμε τον μοναδικό πραγματικό αριθμό x για τον οποίο ισχύει η σχέση y x = K, όπου y > 0, y ≠ 1 και K > 0, Συνεπώς, ισχύει η ισοδυναμία: Όταν y = 10, τότε έχουμε τον δεκαδικό λογάριθμο, ενώ όταν η βάση y είναι ίση με e τότε έχουμε τον νεπέριο λογάριθμο που συνήθως γράφεται ως lnK. Οι νεπέρειοι λογάριθμοι ονομάζονται και φυσικοί λογάριθμοι.

Ο λογάριθμος του γινομένου δύο ή και περισσοτέρων θετικών αριθμών ως προς την ίδια βάση y είναι ίσος με το άθροισμα των λογαρίθμων αυτών των αριθμών.  K 1, K 2  R + και y>0, y ≠ 1 τότε log y (K 1 K 2 ) = log y K 1 + log y K 2 O λογάριθμος του 1 είναι ίσος με 0. Log1=0 O λογάριθμος της βάσης είναι ίσος με 1. Log = 1 ή lne = 1 Ο λογάριθμος του πηλίκου δύο θετικών αριθμών ως προς την ίδια βάση y είναι ίσος με τη διαφορά των λογαρίθμων αυτών των αριθμών.  K 1, K 2  R + και y>0, y ≠ 1 τότε Ιδιότητες Λογαρίθμων

Ο λογάριθμος μιας δύναμης ενός θετικού αριθμού ως προς μια βάση y είναι ίσος με το γινόμενο του εκθέτη της δύναμης x επί τον λογάριθμο της βάσης της δύναμης.  K 1, K 2  R + και y>0, y ≠ 1 τότε Να σημειωθεί επίσης ότι η σχέση ln (Κ 1 + Κ 2 ) = ln Κ 1 + ln Κ 2 είναι λάθος, δηλαδή ln (Κ 1 + Κ 2 ) ≠ ln Κ 1 + ln Κ 2 O λογάριθμος είναι κατ ουσία εκθέτης συνεπώς, ln (Κ 1 + Κ 2 ) θα πρέπει να είναι εκθέτης του e για να πάρουμε το Κ 1 + Κ 2. Για παράδειγμα, Ιδιότητες Λογαρίθμων

Παραδείγματα Να βρεθεί η τελική αξία κεφαλαίου μετά 10 έτη και με ισχύον επιτόκιο 5%. Λύση

Να βρεθεί η τελική αξία κεφαλαίου μετά 5,5 έτη και με ισχύον επιτόκιο 10% το εξάμηνο. Λύση Όταν δεν αναφέρεται η περίοδο ανατοκισμού τότε η περίοδος θεωρείται ότι είναι το έτος. Στην προκειμένη περίπτωση το επιτόκιο είναι εξαμηνιαίο συνεπώς η περίοδος ανατοκισμού είναι το εξάμηνο και θα πρέπει να προηγηθεί ο υπολογισμός του αριθμού των εξαμήνων για να εφαρμοστεί ο σχετικός τύπος. 5,5 έτη= (5,5*2) 11 εξάμηνα

Ποια η παρούσα αξία ευρώ τα οποία θα ληφθούν σε ένα έτος από σήμερα. Το ισχύον επιτόκιο της αγοράς είναι 15 %. Λύση Δηλαδή τα ευρώ του επόμενο έτους έχουν αξία 869,56 σήμερα.

Κρατικό ομόλογο (επενδυτικός τίτλος χρέους) πληρώνει ευρώ σε 25 έτη. Ο εκδότης του ομολόγου, το Ελληνικό κράτος, δεν υποχρεούται στη συγκεκριμένη έκδοση να καταβάλλει στον κάτοχο του ομολόγου (δανειστή) τόκους σε τακτά χρονικά διαστήματα αλλά κατά την ημερομηνία λήξης του ομολόγου οφείλει να επιστρέψει στον κάτοχό την ονομαστική του αξία του ομολόγου (ομόλογα μηδενικού τοκομεριδίου). Να βρεθεί η παρούσα αξία του ομολόγου (αξία αγοράς) και ο τόκος που υπόσχεται, όταν το επιτόκιο της αγοράς είναι 7 %.

Λύση Η παρούσα αξία του ομολόγου υπολογίζεται με την προεξόφληση της ονομαστικής αξίας, δηλαδή: Ο τόκος του ομολόγου είναι η διαφορά της ονομαστικής αξίας με την παρούσα αξία, δηλαδή: K t – K 0 = ,5 = 8.157,5 ευρώ τόκος

Επιχειρηματίας οφείλει ευρώ σε πιστωτικό τίτλο (συναλλαγματική) που λήγει σε ένα έτος από σήμερα. Εκμεταλλευόμενος την υπάρχουσα ρευστότητα της επιχείρησης επιθυμεί να καταβάλλει σήμερα ευρώ, μετά 3 μήνες άλλα ευρώ και να εξοφλήσει το υπόλοιπο του χρέους 2 μήνες πριν από τη λήξη του. Τι ποσό πρέπει να πληρώσει για το υπόλοιπο του χρέους όταν το ισχύον επιτόκιο της αγοράς είναι 12%.

Λύση 0 - Σήμερα 1 μήνας 2 μήνας 3 μήνας μήνας 11 μήνας 12 μήνας Κ Τα ευρώ του χρέους θα πρέπει να είναι ίσα με το ποσό τον ευρώ, που θα καταβληθεί σήμερα, συν τις ευρώ, που θα καταβληθούν σε 3 μήνες από σήμερα, συν το άγνωστο ποσό Κ 12, που θα καταβληθεί μετά 10 μήνες. Σε κάθε περίπτωση θα πρέπει να ληφθεί υπόψη το ισχύον επιτόκιο της αγοράς. Εφόσον το ετήσιο επιτόκιο είναι 12% το μηνιαίο αντίστοιχα θα είναι 1% (0,12/12μήνες).

Συνεπώς, ο επιχειρηματίας θα πρέπει να καταβάλει ευρώ μετά από 10 μήνες για να εξοφλήσει το χρέος του. τα πιστωτικά ιδρύματα σε ορισμένες περιπτώσεις προεξοφλούν με μικρότερο επιτόκιο από αυτό που αρχικώς χρησιμοποιήθηκε για τον υπολογισμό της μελλοντικής αξίας του χρέους, με αποτέλεσμα να εισπράττουν ακόμη μεγαλύτερες αξίες. Σημειωτέον, το επιτόκιο βρίσκεται στον παρονομαστή του κλάσματος και επομένως όσο μειώνεται το επιτόκιο τόσο θα αυξάνεται η σχετική αξία.

Μια τράπεζα προσφέρει στους καταθέτες της επιτόκιο 10% με ετήσιο ανατοκισμό. Να βρεθεί η τελική αξία κεφαλαίου ευρώ σε 3 έτη και 7 μήνες. Λύση 1 ος Τρόπος Υπολογίζουμε το σύνολο των ετών ανατοκισμού περιλαμβάνοντας και τους μήνες, δηλαδή οι επτά μήνες είναι Η τελική αξία είναι ίση με: έτη και επομένως το σύνολο των ετών είναι 3+0,5833 = 3,5833

2 ος Τρόπος Υπολογίζεται ο συντελεστής κεφαλαιοποίησης ξεχωριστά για τον ακέραιο αριθμό των ετών και τον αριθμό των μηνών της σχετικής εξίσωσης, δηλαδή

Να σημειωθεί επίσης, ότι ορισμένα πιστωτικά ιδρύματα εφαρμόζουν, σε κάποιες περιπτώσεις, τον λεγόμενο μεικτό ανατοκισμό. Ο ανατοκισμός εφαρμόζεται για τον ακέραιο αριθμό των περιόδων (ετών) ενώ για το κλασματικό (μήνες, μέρες) εφαρμόζεται ο απλός τόκος. Με άλλα λόγια έχουμε δυο συντελεστές, ο πρώτος αφορά στον ανατοκισμό και ο δεύτερος στον απλό τόκο. Το παραπάνω πρόβλημα λύνεται ως εξής: Η τελική αξία στην περίπτωση του μεικτού ανατοκισμού είναι μεγαλύτερη από την περίπτωση του καθαρού ανατοκισμού, καθώς η δύναμη που αντιστοιχεί στο κλασματικού μέρους είναι μικρότερη της μονάδος.