Slučajne spremenljivke Spremenljivka je slučajna spremenljivka, če zavzame vrednosti na množici A, na kateri je definirana, slučajno in če je podan predpis, ki določa vejetnosti s katerimi zavzame te vrednosti Predpis se imenuje porazdelitveni zakon slučajne spremenljivke.

Kadar je množica A diskretna, potem je tudi spremenljivka diskretna, če pa je množica A zvezna, je tudi spremenljivka zvezna slučajna spremenljivka Neko vrednost , ki jo slučajna spremenljivka zavzame, imenujemo realizacija slučajne spremenljivke . Porazdelitvena funkcija F(x) slučajne spremenljivke je funkcija,ki ima pri vsaki realni vrednosti x, vrednost enako verjetnosti dogodka , za , to je

Ni težko razmisliti, da za porazdelitveno funkcijo velja in kakor tudi to, da je naraščajoča funkcija

Diskretne slučajne spremenljivke Porazdelitveni zakon diskretne slučajne spremenljivke se imenuje diskretna porazdelitev. Kadar za diskretno slučajno spremenljivko poznamo porazdelitveni zakon, ga zapišemo v obliki : , pri tem pa velja

Porazdelitvena funkcija diskretne slučajne spremenljivke je funkcija F(x) določena z Matematično upanje Disktretne slučajne spremenljivke je količina določena z zvezo : Meri poprečno vrednost(realizacijo) slučajne spremenljivke

Varianca slučajne spemenljivke je matematično upanje kvadratov odmikov realizacij slučajne spremenljivke od njenega matematičnega upanja: Varianco lahko zapišemo tudi v obliki:

V tem obrazcu je: Standardni odklon slučajne spremenljivke se imenuje kvadratni koren iz variance

Zvezne slučajne spremenljivke Slučajna spremenljivka,definirana na intervalu realnih števil je zvezna slučajna spremenljivka, če ima njena porazdelitvena funkcija naslednje lastnosti: 1. F(x) je zvezna funkcija 2. x zavzame neštevno neskončno mnogo vrednosti 3. verjetnost za to, da ξ zavzame neko določeno vrednost, je 0.

Odvod porazdelitvene funkcije imenujemo gostota slučajne spremenljivke in jo bomo označili s p(x):

Za zvezno slučajno spremenljivko velja : Odtod tudi dobimo

Matematično upanje zvezne slučajne spremenljivke je: in predstavlja povprečno vrednost vseh možnih realizacij slučajne spremenljivke.

Če je diskretna slučajna spremenljivka in p(x) njen porazdelitveni zakon, potem je matematično upanje za g( ) enako: Podobno velja za zvezne slučajne spremenljivke

Matematično upanje ima naslednje lastnosti 1. 2.

Varianca zvezne slučajne spremenljivke, ki ima enak pomen kot v primeru diskretne slučajne spremenljivke, je: pri čemer je Standardni odklon zvezne slučajne spremenljivke je kvadratni koren iz variance

Za varianco slučajne spremenljivke velja

Momenti slučajnih spremenljivk Začetni moment reda r slučajne spremenljivke je matematično upanje slučajne spremenljivke Za diskretni primer Za zvezni primer

Centralni moment reda r slučajne spremenljivke je matematično upanje spremenljivke Za diskretni primer Za zvezni primer

Drugi centralni moment je varianca slučajne spremenljivke Tretji centralni moment popisuje asimetričnost porazdelitve realizacij slučajne spremenljivke glede na matematično upanje Običajno merimo asimetričnost z veličino

Četrti centralni moment uporabljamo za merjenje koničastosti ali sploščenosti porazdelitve realizacij slučajne spremenljivke glede na matematično upanje Velikost koničastosti oziroma sploščenosti ponavadi merimo z veličino, ki ji pravimo koeficient sploščenosti (eksces) in je določena z izrazom:

Sploščenost pogosto merimo z veličino Pri normalni slučajni spremenljivki je koeficient sploščenosti enak nič. Če so porazdelitve realizacij slučajne spremenljivke okrog matematičnega upanja bolj koničaste od porazdelitve realizacij normalne slučajne spremenljivke, je koeficient sploščenosti v nasprotnem primeru je njegova vrednost negativna.

Med začetnimi in centralnimi momenti velja zveza

Karakteristične funkcije slučajnih spremenljivk Karakteristična funkcija slučajne spremenljivke je za diskreten primer določena Za zvezen primer pa je

Za karakteristično funkcijo velja