ΜΕΡΙΚΗ ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ
Μερική παράγωγος
Συμβολίζει την μεταβολή της εξαρτημένης μεταβλητής Υ όταν μεταβάλλεται μία από τις ανεξάρτητες μεταβλητές, των υπολοίπων θεωρουμένων σταθερών Αν Ζ=f(X,Y) οι μερικές παράγωγοι ως προς Χ και Υ, Συμβολίζονται αντίστοιχα: Επίσης συμβολίζονται με fx(x,y) και fy(x,y) Δηλαδή έχουμε:
Παράδειγμα: Θεωρούμε την συνάρτηση: f(x,y)=x2-xy+y2 . Έχουμε:
και
Παρατήρηση: Επειδή στον ορισμό των μερικών παραγώγων κρατάμε πάντα την μια μεταβλητή σταθερή, αυτές μπορούν να θεωρηθούν σαν οι συνηθισμένες παράγωγοι ως προς την άλλη μεταβλητή. Έτσι στην πράξη μπορούμε να παραγωγίζουμε χρησιμοποιώντας όλους τους γνωστούς κανόνες παραγώγισης που ισχύουν για τις συναρτήσεις μιας μεταβλητής. Παράδειγμα: Εάν f(x,y)=x2+xy3+exy, θα έχουμε: fx(x,y)=2x+y3+exyy , fy(x,y)=3y2x+exyx.
Γεωμετρική ερμηνεία μερικών παραγώγ Έστω συνάρτηση η z=f(x,y) Γεωμετρική ερμηνεία μερικών παραγώγ Έστω συνάρτηση η z=f(x,y). Θεωρούμε την μερική παράγωγο της f ως προς x, σε κάποιο σημείο (xo,yo) του πεδίου ορισμού της. Θα έχουμε:
Η τομή της επιφανείας, που είναι η γραφική παράσταση της f(x,y), και του επιπέδου y=yo, θα είναι μια καμπύλη C στον τρισδιάστατο χώρο, η οποία θα περιέχει όλα τα σημεία (x,y,z) με: z=f(x,y) και y=yo , δηλαδή όλα τα σημεία (x, yo, z) για τα οποία ισχύει z=f(x, yο). Η σχέση z= f(x,yο) ορίζει συνάρτηση μιας μεταβλητής, η γραφική παράσταση της οποίας είναι πάνω στο xz-επίπεδο. Άρα η γραφική παράσταση της z=f(x,yο) θα αποτελεί ουσιαστικά την προβολή της C πάνω στο xz-επίπεδο.
Ορίζουμε g(x)=f(x,yo) και παρατηρούμε ότι g΄(x)=fx(x,yo) Ορίζουμε g(x)=f(x,yo) και παρατηρούμε ότι g΄(x)=fx(x,yo). Άρα g΄(xο)=fx(xο,yo) και επομένως ο αριθμός fx(xο,yo) εκφράζει την κλίση της εφαπτόμενης ευθείας στην καμπύλη C στο σημείο P(xo , yo , f(xo,yo)). Η γεωμετρική ερμηνεία της άλλης μερικής παραγώγου είναι αντίστοιχη.
Δεύτερες μερικοί παράγωγοι Οι μερικές παράγωγοι fx(x,y) και fy(x,y) μιας συνάρτησης f(x,y) δύο μεταβλητών είναι επίσης συναρτήσεις δύο μεταβλητών και μπορούν να παραγωγιστούν εκ νέου, δίνοντας τις δεύτερες μερικές παραγώγους που είναι τέσσερεις τον αριθμό: fxx(x,y) , fxy(x,y) , fyx(x,y) , fyy(x,y) ή αντίστοιχα:
Παράδειγμα: Θεωρούμε την συνάρτηση f(x,y)=x3y-xy2 οπότε έχουμε, fx(x,y)=3x2y-y2 fy(x,y)=x3-2yx fxy(x,y)=3x2-2y fyx(x,y)=3x2-2y fxx(x,y)=6xy fyy(x,y)=-2x