ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΚΑΙ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟ.

Παρουσίαση με θέμα: "ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΚΑΙ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟ."— Μεταγράφημα παρουσίασης:

1 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΚΑΙ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟ

2 Έστω η συνάρτηση y=f(x)
ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ Έστω η συνάρτηση y=f(x) Ορίζουμε την παράγωγο της συνάρτησης:

3 ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΕΡΜΗΝΕΙΑ x y = f(x) y φ φ Δy φ x1+Δх Δy x1+Δх Δx Δx x1 ΦΥΣΙΚΗ ΕΡΜΗΝΕΙΑ Ο στιγμιαίος «ρυθμός» μεταβολής ενός μεγέθους σε σχέση με κάποιο άλλο (όχι απαραίτητα το χρόνο). Ταχύτητα Επιτάχυνση Γωνιακή ταχύτητα:

4 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 1. Στο διάγραμμα δίνεται η γωνιακή ταχύτητα ενός υλικού σημείου που εκτελεί κυκλική κίνηση. Ποιος ο ρυθμός μεταβολής της γωνιακής ταχύτητας; 30 10 5 t(s) ω (rad/s) θ dω dt =εφθ= Δω Δt dω dt rad/s2 = = 30-10 5 4rad/s2 Ο ρυθμός αυτός είναι η γωνιακή επιτάχυνση, συνεπώς η κίνηση είναι κυκλική ομαλά επιταχυνόμενη

5 Αφού η εφαπτόμενη στην καμπύλη έχει μηδενική κλίση.
ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 2 Στο διάγραμμα δίνεται η ταχύτητα ενός σώματος. Ποια η επιτάχυνση τη στιγμή 2s; 20 υ m/s t(s) a= dυ dt = 0 Αφού η εφαπτόμενη στην καμπύλη έχει μηδενική κλίση. Π.χ. στην α.α.τ. όταν το σώμα περνά από τη θέση ισορροπίας και έχει μέγιστη ταχύτητα έχει μηδενική επιτάχυνση

6 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 3 dυ a= dt =(20ημπt/4)’ = =20∙π/4 συν(πt/4) = = -5π m/s2.
t(s) Αν υ = 20ημπt/4 (S.I) Ποια η επιτάχυνση τη στιγμή 4s; a= dυ dt =(20ημπt/4)’ = =20∙π/4 συν(πt/4) = = -5π m/s2.

7 ΔΙΑΦΟΡΙΚΟ Έστω μια ανεξάρτητη μεταβλητή x. Έστω Δх μια μεταβολή της x.
Αν Δх 0 χρησιμοποιούμε το συμβολισμό dx και ονομά-ζουμε το dx διαφορικό της ανεξάρτητης μεταβλητής x. ΕΡΩΤΗΜΑ Εάν έχω συνάρτηση y=f(x) και η ανεξάρτητη μεταβλητή x μεταβληθεί κατά dx, πόσο θα μεταβληθεί η y;

8 ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΑΠΑΝΤΗΣΗ Βλέπουμε ότι αν το x μεταβληθεί κατά Δx, τότε θα έχουμε: φ Και για Δх 0

9 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΑΠΑΝΤΗΣΗ ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ Έστω συνάρτηση y=f(x) Τότε y΄=f(x+Δx) Με τι ισούται η διαφορά Δy=y΄ y=f(x+Δx)  f(x); Αποδεικνύεται ότι Δy=ΑΔx+ο(Δx) όπου Α=Α(x) (δεν εξαρ-τάται από το x) και ο(Δx) συνάρτηση του Δx δύνα-μης μεγαλύτερης της 1ης Για Δx 0 Για Δx 0 A=(dy/dx) και ο(Δx)  0

10 ΜΕΡΙΚΑ ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ ΚΙ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ
Ο γενικός τύπος μας επιτρέπει να θεωρούμε την παράγωγο ως λόγο. dr Έστω κύκλος ακτίνας r. Πόσο θα αυξηθεί το εμβαδόν του, αν η ακτίνα του αυξηθεί κατά dr ; r Συμβατική απάντηση: Διαφορικό:

11 Με τον ίδιο τρόπο μπορούμε να απαντήσουμε στο ερώτημα, πόσο θα αυξηθεί ο όγκος σφαίρας, αν η ακτίνα του αυξηθεί κατά dr ;

12 ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΕΙΣ Μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε τον ορισμό του διαφορικού για μερικές ΠΟΛΥ ΧΡΗΣΙΜΕΣ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ προσεγγίσεις. Από τον γενικό τύπο του διαφορικού μπορούμε να περάσουμε στον προσεγγιστικό

13 Αλλά και γενικότερα και η ανάλυση της σειράς Taylor
εφαρμογές e±a ≈ 1 ± a Αν φ→0 τότε ημφ ≈ 0 και συνφ ≈1 Αλλά και γενικότερα και η ανάλυση της σειράς Taylor

14 Αρκετά στοιχεία στηρίζονται σε μια παρουσίαση του Χ
Αρκετά στοιχεία στηρίζονται σε μια παρουσίαση του Χ. Τρικαλινού από το Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας: