Για το σχεδιασμό και την ανάλυση οποιουδήποτε Συστήματος Αυτομάτου Ελέγχου Είναι ανάγκη να γνωρίζουμε ΠΟΣΟΤΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΜΟΝΤΕΛΑ Διαφορικές εξισώσεις Εξισώσεις διαφορών Τα περισσότερα φυσικά συστήματα παρουσιάζουν γενικά μη γραμμική συμπεριφορά πρέπει να υπάρξουν γραμμικές προσεγγίσεις! Κύρια μέθοδος στα ΣΑΕ είναι ο μετασχηματισμός Laplace Εισαγωγή

Τα συστήματα που συναντάμε στη φύση είναι δυναμικά συστήματα. Οι εξισώσεις που περιγράφουν τη συμπεριφορά τους είναι διαφορικές εξισώσεις Πολυπλοκότητα Άγνοια Ανάγκη εισαγωγής υποθέσεων Ορισμός του συστήματος και των στοιχείων από το οποίο αποτελείται Διατύπωση του αντίστοιχου μαθηματικού μοντέλου και οποιονδήποτε θεωρήσεων ή υποθέσεων κριθούν απαραίτητες Κατάρτιση των διαφορικών εξισώσεων που περιγράφουν τη λειτουργία του συστήματος Επίλυση των παραπάνω διαφορικών εξισώσεων ως προς τις ζητούμενες μεταβλητές εξόδου Εξέταση των λύσεων και των παραδοχών Αν τα αποτελέσματα δεν είναι ικανοποιητικά, ανάλυση και σχεδιασμός από την αρχή του συστήματος

Διαμήκεις και εγκάρσιες μεταβλητές Πίνακας 2.1 σελίδα 84

Βασικές διαφορικές εξισώσεις ιδανικών στοιχείων Πίνακας 2.2 σελίδα 85

Ανάλογα συστήματα-ανάλογες μεταβλητές Η αναλογία που υφίσταται μεταξύ διαφόρων συστημάτων και των αντίστοιχων αποκρίσεών τους, παρέχει στον εκάστοτε μελετητή την δυνατότητα να επεκτείνει την λύση την οποία λαμβάνει για ένα σύστημα, προς όλα τα ανάλογα με αυτό συστήματα και με τις ίδιες διαφορικές εξισώσεις οι οποίες περιγράφουν την αντίστοιχη συμπεριφορά ανάλογα συστήματα με παρόμοιες αποκρίσεις μπορούν να είναι είτε ηλεκτρικά είτε μηχανικά, ή θερμοδυναμικά καθώς επίσης και υδραυλικά επομένως ότι μπορεί κανείς να μάθει σχετικά με τις διαδικασίες σχεδίασης και ανάλυσης των ηλεκτρικών κυκλωμάτων ή συστημάτων είναι σε θέση να επεκτείνει άμεσα και για διάφορα μηχανικά, ή θερμοδυναμικά ή και υδραυλικά συστήματα

Μηχανικό-Ηλεκτρικό ανάλογο

Γραμμική Προσέγγιση Φυσικών Συστημάτων Ένα σύστημα ορίζεται ως γραμμικό σε σχέση με τη διέγερση που υφίσταται και με την απόκριση που παρουσιάζει. Η αναγκαία συνθήκη για να είναι ένα σύστημα γραμμικό θα πρέπει να καθορίζεται συναρτήσει της αντίστοιχης διέγερσης x(t) και της απόκρισης y(t). Για να θεωρηθεί ένα σύστημα ως γραμμικό είναι απαραίτητο στην περίπτωση μιας διέγερσης x 1 (t)+x 2 (t) να παρουσιάζει μια απόκριση y 1 (t)+y 2 (t). Η ιδιότητα αυτή καλείται Αρχή της Υπέρθεσης ή της Επαλληλίας. Επιπλέον σε ένα γραμμικό σύστημα είναι απαραίτητο να διατηρείται ο παράγοντας της κλίμακας του πλάτους. Για ένα γραμμικό σύστημα είναι απαραίτητο ή απόκρισή του σε ένα πολλαπλάσιο β μιας εισόδου x, να ισούται με την απόκριση του συστήματος στην είσοδο αυτή πολλαπλασιασμένη επι τον ίδιο παράγοντα ώστε να προκύπτει συνολική απόκριση βy. Η ιδιότητα αυτή καλείται Αρχή της Ομογένειας.

!Ένα γραμμικό σύστημα θα πρέπει να έχει μηδενική έξοδο σε μηδενική είσοδο Το σύστημα δεν είναι γραμμικό Επίσης το σύστημα δεν είναι γραμμικό. ΑΛΛΑ, το σύστημα αυτό μπορεί να θεωρηθεί γραμμικό γύρω από ένα συγκεκριμένο σημείο λειτουργίας για πολύ μικρές μεταβολές Δx και Δy Άρα

Πολλά ηλεκτρικά και μηχανικά συστήματα μπορούν να θεωρηθούν γραμμικά εντός σχετικά μεγάλων περιοχών των αντίστοιχων μεταβλητών τους Πολλές φορές μπορούμε να γραμμικοποιήσουμε ένα μη γραμμικό σύστημα θεωρώντας τις λεγόμενες συνθήκες μικρού σήματος (small signal conditions) Έστω ότι έχουμε μια είσοδο x(t) και μια έξοδο y(t) που συνδέονται με τη σχέση y(t)=g(x(t)) Για το σημείο κανονικής λειτουργίας (σημείο) ηρεμίας χρησιμοποιείται το σύμβολο Αναπτύσσοντας σε σειρά Taylor

Εφαρμόζοντας την κατάλληλη προσέγγιση έχουμε Όπου m είναι η κλίση στο σημείο λειτουργίας. Η παραπάνω σχέση τελικά μπορεί να γραφεί με τη μορφή γραμμικής εξίσωσης Η παραπάνω γραμμική προσέγγιση είναι τόσο ακριβής, όσο ευσταθής είναι η υπόθεση της ύπαρξης μικρού σήματος για το συγκεκριμένο σύστημα

Παράδειγμα με Σχήμα 2.5 σελίδα 91

Στην περίπτωση που η έξοδος (εξαρτημένη μεταβλητή) εξαρτάται ταυτόχρονα από πολλές μεταβλητές τότε η αντίστοιχες σχέσεις γίνονται

Μετασχηματισμός Laplace Μετατροπή δύσκολων διαφορικών εξισώσεων σε αλγεβρικές εξισώσεις Για την εύρεση της χρονικής απόκρισης ενός συστήματος 1.Λαμβάνουμε τις διαφορικές εξισώσεις 2.Υπολογίζουμε τον αντίστοιχο μετασχηματισμό Laplace των εξισώσεων αυτών 3.Επιλύουμε τις αλγεβρικές εξισώσεις που προκύπτουν από την διαδικασία του μετασχηματισμού, ως προς την μεταβλητή που μας ενδιαφέρει 4.Πραγματοποιούμε τον αντίστροφο μετασχηματισμό Laplace

Για να ορίζεται ο μετασχηματισμός Laplace για μια συνάρτηση f(t) πρέπει για κάποιο θετικό πραγματικό αριθμό Ο μετασχηματισμός Laplace για μια συνάρτηση f(t) είναι Ο αντίστροφος μετασχηματισμός Laplace είναι

Εναλλακτικά μπορούμε να θεωρήσουμε τη μιγαδική μεταβλητή s ως διαφορικό τελεστή Και μπορούμε να έχουμε και έναν ολοκληρωτικό τελεστή Στις επόμενες διαφάνειες παρατίθονται τα ζεύγη μετασχηματισμού Laplace που συναντάμε πιο συχνά στην πράξη. Ο αντίστροφος μετασχηματισμός Laplace λαμβάνεται συνήθως με την μέθοδο ανάπτυξης σε απλά κλάσματα.

Πίνακας 2.3 σελίδα 94

Παράδειγμα Έστω ότι έχουμε το σύστημα μάζας-ελατηρίου Ο μετασχηματισμός Laplace της εξίσωσης αυτή είναι Αν Τότε

Το πολυώνυμο του παρονομαστή q(s) όταν τεθεί ίσο με 0, σχηματίζεται η λεγόμενη χαρακτηριστική εξίσωση του συστήματος επειδή οι ρίζες αυτής προσδιορίζουν την συμπεριφορά της απόκρισης του συστήματος. Οι ρίζες της χαρακτηριστικής εξίσωσης ονομάζονται και πόλοι (poles) του συστήματος Οι ρίζες του πολυωνύμου του αριθμητή ονομάζονται μηδενικά (zeros) του συστήματος. Οι πόλοι και τα μηδενικά αντιστοιχούν στις λεγόμενες κρίσιμες συχνότητες. Στους πόλους η συνάρτηση Υ απειρίζεται Στα μηδενικά η συνάρτηση Υ μηδενίζεται. Το διάγραμμα πόλων-μηδενικών στο μιγαδικό επίπεδο (s-plane), παριστά το είδος της φυσικής μεταβατικής απόκρισης του συστήματος

Για

Αναλύοντας σε μερικά κλάσματα Οι συντελεστές ονομάζονται υπόλοιπα (residues) και υπολογίζονται Πολλαπλασιάζοντας την πιο πάνω εξίσωση με τον όρο του παρονομαστή που αντιστοιχεί στον εκάστοτε συντελεστή και θέτοντας την μεταβλητή s ίση με την αντίστοιχη ρίζα Πχ. για Κατά τον ίδιο τρόπο

Οπότε τελικά ο αντίστροφος μετασχηματισμός Laplace της συνάρτησης μεταφοράς του παραδείγματος είναι Και χρησιμοποιώντας τον πίνακα με τα ζεύγη των μετασχηματισμών

Θεώρημα τελικής τιμής (final value theorem) Η απόκριση στη μόνιμη κατάσταση ισορροπίας (steady-state value) ή αλλιώς η τελική τιμή (final value) της απόκρισης ενός συστήματος y(t) δίνεται από το θεώρημα της τελικής τιμή Για το σύστημα μάζας-ελατηρίου η τελική θέση του συστήματος, στη μόνιμη κατάσταση ισορροπίας προκύπτει χρησιμοποιώντας την παραπάνω εξίσωση Αυτό φαίνεται και από τη γραφική παράσταση της προηγούμενης διαφάνειας

Μάζα-ελατήριο υποαποσβεννύμενη περίπτωση Όπου ζ καλείται συντελεστής απόσβεσης (damping ratio) και είναι η φυσική συχνότητα του συστήματος (natural frequency) Οι ρίζες της χαρακτηριστικής εξίσωσης είναι όπου Υπάρχουν 3 περιπτώσεις.....

1.ζ>1. Οι ρίζες της χαρακτηριστικής εξίσωσης είναι πραγματικές 2.ζ<1. Οι ρίζες της χαρακτηριστικής εξίσωσης συζυγείς μιγαδικές 3.ζ=1. Διπλή πραγματική ρίζα και η συγκεκριμένη περίπτωση ονομάζεται κρίσιμη απόσβεση (critical damping) Όταν ζ<1 η απόκριση του συστήματος είναι υποαποσβεννύμενη και έχουμε Διάγραμμα της καμπύλης στο οποίο κινούνται οι οι ρίζες της χαρακτηριστικής εξίσωσης καθώς μεταβάλλεται ο συντελεστής ζ με σταθερή συχνότητα Σχήμα 2.10 σελίδα 99

Ανάλυση σε μερικά κλάσματα της Επειδή οι ρίζες είναι μιγαδικές συζυγείς, μιγαδικά συζυγή θα είναι και τα υπόλοιπα. Οπότε Το υπόλοιπο υπολογίζεται (και) γραφικά και είναι ίσο με Οπότε

Χρησιμοποιώντας τη σχέση Τελικά κατόπιν από πράξεις έχουμε Απόκριση του συστήματος για ζ<1. Σχήμα 2.12 σελίδα 100

Εν κατακλείδι Η συσχέτιση μεταξύ των θέσεων των πόλων και των μηδενικών ενός συστήματος στο μιγαδικό επίπεδο, με τη μορφή της μεταβατικής απόκρισης, ερμηνεύεται άμεσα από το αντίστοιχο διάγραμμα πόλων μηδενικών. Επιπλέον το μέτρο με το οποίο συμμετέχει στην απόκριση του συστήματος η κάθε ρίζα η οποία αντιπροσωπεύεται από το αντίστοιχο υπόλοιπο της φαίνεται και από το σχετικό διάγραμμα στο μιγαδικό επίπεδο. Για αυτό το λόγο τόσο ο μετασχηματισμός Laplace όσο και οι γραφικές μέθοδοι υπολογισμού στο μιγαδικό επίπεδο αποτελούν εξαιρετικά χρήσιμες τεχνικές για τη σχεδίαση συστημάτων!