ΔΗΜΟΚΡΙΤΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΡΑΚΗΣ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΞΑΝΘΗΣ ΔΗΜΟΚΡΙΤΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΡΑΚΗΣ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΞΑΝΘΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ & ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ Democritus University of Thrace Department of Production Engineering& Management Κ ΑΘΗΓΗΤΗΣ Σ ΤΕΦΑΝΟΣ Η. Σ ΠΑΡΤΑΛΗΣ ΠΡΟΚΑΤ, ΚΤΙΡΙΟ Α, ΓΡΑΦΕΙΟ 308, ΞΑΝΘΗ Tηλ.: , Fax: διαφορικές εξισώσεις

Περιγραφή της ύλης  Περιγραφή της ύλης 1. Γενική θεωρία 2. Συνήθεις δ.ε. πρώτης τάξης 3. Δ.ε. τάξεως ανώτερης της πρώτης 4. Γραμμικές δ.ε. με σταθερούς όρους 5. Επίλυση δ.ε. με τη μέθοδο των διαφορικών τελεστών τελεστών 6. Μετασχηματισμοί Laplace 7. Επίλυση δ.ε. με αναπτύγματα σε δυναμοσειρές 8. Συστήματα δ.ε.

εισαγωγή Σε κάθε πρόβλημα οι τιμές των μεταβλητών διαμορφώνονται στα πλαίσια ενός συνόλου σχέσεων «αλληλεξάρτησης».  Κάθε «πρόβλημα» συνοδεύεται από ένα αριθμό μεταβλητών και ένα αριθμό σχέσεων (εξισώσεις,ανισώσεις κ.τ.λ.) που συνδέουν τις μετβλητές μεταξύ τους.  Επομένως,  η κατανόηση  η ερμηνεία και η  η αποτελεσματική αντιμετώπιση ενός προβλήματος (οικονομικού, διοικητικού κ.τ.λ.) γίνεται με:  την τυποποίηση των σχέσεων σε ένα μαθηματικό μοντέλο  την μαθηματική και υπολογιστική επεξεργασία του προβλήματος

Τα μαθηματικά έχουν καθιερωθεί σαν βασική γλώσσα της σύγχρονης σκέψης και επιστήμης Πλεονεκτήματα: γίνεται χρήση των σύγχρονων μαθηματικών μεθόδων (θεωρητικών και υπολογιστικών) γίνεται χρήση της πληροφορικής και των Η/Υ επιτυγχάνεται η ακρίβεια εξασφαλίζεται η ταχύτητα ικανοποιείται η ευελιξία και η απλότητα Παρατηρήσεις  Τα μαθηματικά συμβάλλουν μόνο στην επίλυση του προβλήματος.  Τα μαθηματικά από μόνα τους δεν μπορούν αυτόματα να επιλύσουν το πρόβλημα.

 Δίνεται η συνάρτηση f: I  R: x  f(x), Ο ρυθμός μεταβολής της συνάρτησης f ως προς την μεταβλητή x είναι μια νέα συνάρτηση, που ονομάζεται παράγωγος συνάρτηση της f και συμβολίζεται με δηλαδή, f’: I  R: x  f’(x) = Αν η y=f(x) είναι η συνάρτηση της μεταβολής του γενικού δείκτη των τιμών σε μια οικονομία, τότε η παραγωγος της f λέγεται πληθωρισμός. Παράδειγμα: αν y=f(x) = x 2, τότε y’=f’(x)=2x η μαθηματική ανάλυση σας υπενθυμίζει

Συνάρτηση : γενικός δείκτης τιμών y=f(x)=x 2 Παράγωγος Συνάρτηση: πληθωρισμός y΄=f΄(x)=2x

Συνήθης διαφορική εξίσωση Δίνεται η συνάρτηση y=f(x) και οι παράγωγοί της (πρώτης ή ανώτερης τάξης, y΄(x), y΄΄(x),…, y (n) (x)). διαφορική εξίσωση λέγεται κάθε εξίσωση στην οποία εμφανίζεται μια (άγνωστη) συνάρτηση y της ανεξάρτητης μεταβλητής x και οι παράγωγοί της, πρώτης ή ανώτερης τάξης.  Ορισμός: διαφορική εξίσωση λέγεται κάθε εξίσωση στην οποία εμφανίζεται μια (άγνωστη) συνάρτηση y της ανεξάρτητης μεταβλητής x και οι παράγωγοί της, πρώτης ή ανώτερης τάξης.  Συμβολισμός F(x,y΄, y΄΄, y΄΄΄,y΄΄΄΄, …, y (n) ) = 0 Παράδειγμα: 3y΄΄΄- 5xy΄΄+3y΄- 4xy+x 3 = 0 ισοδύναμα

Συναντάμε διάφορες μορφές δ.ε. 1. F(x,y΄,y΄΄,…,y(n))=0 λείπει η y 2.F(y,y΄,y΄΄,…,y(n))=0 λείπει η x 3. y΄+y΄΄=0 λ λ λ λείπουν οι x,y,y΄΄΄, …,y(n) 4. y(n)=0 λείπουν οι x,y,y΄,y΄΄, …,y(n-1) Σε κάθε δ.ε. πρέπει να εμφανίζεται τουλάχιστον μια παράγωγος της άγνωστης συνάρτησης y=f(x). Ορισμός : Τάξη της δ.ε. λέγεται ο φυσικός αριθμός n που δηλώνει την παράγωγο της y=f(x) που έχει την μεγαλύτερη τάξη. Παραδείγματα: x3y΄+2xy = y5 δ δ.ε. 1ης τάξης y΄΄΄-5xyy΄= x 2 δ.ε. 3ης τάξης (y΄΄) 4 +yy΄΄= συνx δ.ε. 2ης τάξης x4+ 2xyy(100)=εφx δ.ε. 100ης τάξης F(x,y΄,y΄΄,y΄΄΄,y΄΄΄΄) = 0 γενική μορφή δ.ε. 4ης τάξης

γραμμικές με σταθερούς συντελεστές μη-γραμμικές με μεταβλητούς συντελεστές

Ορισμός: μια δ.ε. λέγεται γραμμική αν έχει την μορφή: όπου α i (x),, i=0,…,n είναι ένα πολυώνυμο του x, και b(x) είναι επίσης ένα πολυώνυμο του x  παραδείγματα y΄΄+ 5y΄+ 4y = 0 y (4) + x 2 y΄΄΄+ x 4 y΄ = x 2 e 4x x 2 y΄΄+ xy΄+ (x 5 -2)y = 0 y΄΄ - y = e x

Ορισμός: μια δ.ε λέγεται μη-γραμμική αν δεν είναι γραμμική, δηλαδή δεν έχει την προηγούμενη μορφή. παραδείγματα y  +5y΄+ 6y 2 = 0 το y είναι 2ου βαθμού y  + 5y  + 8(y) 2 = 0 η πρώτη παράγωγος της y είναι 2ου βαθμού είναι 2ου βαθμού y  + 5yy +8y = 0 εμφανίζεται το γινόμενο y με την y΄ την y΄ y  e y εμφανίζεται η y στην μορφή e y y΄΄΄ - 5 y  = e y εμφανίζεται η y στην μορφή e y εμφανίζεται η y στην μορφή y΄΄ + συνy = 0 εμφανίζεται η y στην μορφή συνy

Ορισμοί  Μια συνήθης δ.ε. λέγεται με σταθερούς συντελεστές αν η y=y(x) και οι παράγωγοί της έχουν σταθε- ρούς συντελεστές παράδειγμα: y΄΄+ 5y΄+ 6y = 0  Μια συνήθης δ.ε. λέγεται με μεταβλητούς συντελεστές αν οι συντελεστές της y=y(x) και των παραγώγων της είναι πολυώνυμα παράδειγμα: y΄΄΄΄+ x 2 y΄΄΄+ x 3 y΄ = xe 4x

1ης τάξης Ι. Που οι μεταβλητές τους χωρίζονται  Ι.1 y΄= f(x)  Ι.2 y΄= f(y)  Ι.3 y΄= F(x,y), όπουF(x,y)=F 1 (x)  F 2 (y)  Ι.4 F 1 (x)  Φ 1 (y)dx+F 2 (x)  Φ 2 (y)dy = 0

Η πιο απλή δ.ε. έχει την μορφή y΄=f(x) ή F(x,y,y΄)=0 (Ι) Γενική λύση της δ.ε. Ι.1 λέγεται κάθε συνάρτηση ψ=ψ(x) που επαληθεύει την σχέση (Ι), δηλαδή (ψ(x))΄= f(x) ή F(x,ψ(x),ψ΄(x))=0 Η γενική λύση της δ.ε. λέγεται και ολοκλήρωμα Τρόπος υπολογισμού:  Χωρίζουμε τις μεταβλητές  Ολοκληρώνουμε  Προκύπτει η γενική λύση της δ.ε.

τρόπος υπολογισμού:

Άσκηση1. : Δίνεται η δ.ε. y΄ = 2x 1. Να βρεθεί η γενική λύση της δ.ε. 2. Να γίνει η γραφική παράσταση της γ. λύσης 3. Να προσδιοριστεί μια λύση της δ.ε. τέτοια ώστε για x=2, y=-3 Λύση:

Λύση: μονοπαραμετρικη οικογένεια καμπύλων στο επίπεδο y = x y=x 2 y=x y=x y=x y=x y=x y=x Ο(0,0) Α(0,10) B(0,100) Γ(0,-50) Δ(0,-10) Ε(0,-500) Η(0,1000) Θ(0,-500)

3. Πρόβλημα αρχικών τιμών ή Πρόβλημα Cauchy: Να βρεθεί μια λύση της y΄ = 2x που να ικανοποιεί τις συνθήκες: x=2, y=-3 Να βρεθεί μια λύση της y΄ = 2x που να ικανοποιεί τις συνθήκες: x=2, y=-3 ισοδύναμα: Να βρεθεί ποια καμπύλη διέρχεται από το σημείο Α(2,-3) σημείο Α(2,-3)

Απάντηση: Στην γενική λύση της δ.ε. δίνουμε τις τιμές x=2 και y=-3 και προσδιορίζουμε την τιμή του σταθερού όρου, δηλαδή, Απάντηση: Στην γενική λύση της δ.ε. δίνουμε τις τιμές x=2 και y=-3 και προσδιορίζουμε την τιμή του σταθερού όρου, δηλαδή, -3 = c  c = -7 Τελικά, μερική λύση της δ.ε. είναι: y = x 2 -7 η συνάρτηση y=x 2 -7 αποτελεί μια μερική λύση της δ.ε. y΄= 2x Α(2,-3) Β(0,-7)

Άσκηση 2.: Αν γνωρίζουμε ότι ο ρυθμός μείωσης της δασοκάλυψης στα κράτη της Βόρειας Ευρώπης είναι αντιστρόφως ανάλογος της τιμής του μέσου ετήσιου ύψους h της όξινης βροχής, συν μια σταθερά b: Να προσδιοριστεί η συνάρτηση της δασοκά- λυψης στην Β.Ευρώπη S=S(h). Λύση:

οι μεταβλητές χωρίζονται

Άσκηση 3.: Να υπολογιστεί η δ.ε. y΄=y 2 Λύση: Γενική λύση της δ.ε. με την μορφή x=g(y)

οι μεταβλητές χωρίζονται Έχουμε, Τότε, G 2 (y)=G 1 (x)+c 1 -c 2, όπου c 1,c 2  R Τελικά, G 2 (y)=G 1 (x)+c, όπου c  R γενική λύση

Αν, F 2 (x)Φ 1 (y)  0, τότε Τότε, P(x)dx + Q(y)dy = 0, όπου είναι χωριζόμενων μεταβλητών !

γενική λύση της δ.ε.

Άσκηση 4.:Να λυθεί η δ.ε. x 2 (y+1)+y 2 (x-1)y΄=0 τότε, x 2 (y+1)dx+y 2 (x-1)dy = 0 (I), δηλαδή Λύση : η δ.ε. ισοδύναμα γράφεται F 1 (χ)Φ 1 (y)dx+F 2 (x)Φ 2 (y)dy=0 Υποθέτουμε ότι, (x-1)(y+1)  0, δηλαδή, x-1  0 και y+1  0 ισοδύναμα, x  1 και y  -1 διαιρούμε και τα δυο μέλη της (Ι) με το (x-1)(y+1)

διαίρεση πολυωνύμων x 2 : (x-1) = x+1+(1/x-1) άρα,

γενική λύση της δ.ε. όταν x  1 και y  -1 διαίρεση πολυωνύμων y 2 : (y+1) = y-1+(1/y+1) άρα, Επομένως,

Άσκηση 5: Να λυθεί το πρόβλημα των αρχικών τιμών ( 1+e x )yy΄= e x και y(0)=1. Λύση: (1+e x )ydy = e x dx  e x dx-(1+e x )ydy = 0 είναι της μορφής F 1 (χ)Φ 1 (y)dx+F 2 (x)Φ 2 (y)dy=0 όπου F 1 (χ)= e x, Φ 1 (y)=1, F 2 (x)= -(1+e x ), Φ 2 (y)=y Έχουμε ότι, 1+e x  0. Πράγματι, e x >0  1+e x >0. Επομένως,

y 2 = 2ln(e x +1) + c, c  R γενική λύση της δ.ε. ισοδύναμα

από την γενική λύση της δ.ε.: y 2 = 2ln(e x +1) + c, c  R έχουμε: Αρχικές συνθήκες: y(x=0) = 1. Επομένως, 1 2 = 2ln(e 0 +1)+c  1 = 2ln2+c, c  R Άρα, c = 1-2ln2 = 1-2  0,69325 = -0,4 Μερική λύση που ικανοποιεί τις αρχικές συνθήκες y 2 = 2ln(e x +1)+1-2ln2, δηλαδή

από τις αρχικές συνθήκες έχουμε: (i) x=0, y 1 =1 άρα,  η λύση είναι δεκτή Τελικά, (ii) x=0, y 2 =1 άρα,  η λύση απορρίπτεται