ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΘΕΩΡΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ Laplace.

Παρουσίαση με θέμα: "ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΘΕΩΡΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ Laplace."— Μεταγράφημα παρουσίασης:

1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΘΕΩΡΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ Laplace

2 Μετασχηματισμός Laplace
Αιτιατότητα Μη-Αιτιατότητα. Ευστάθεια. Περιοχή Σύγκλισης Μετασχηματισμού Laplace των Ευσταθών & Αιτιατών Συστημάτων. Εκθετικά Σήματα. Πολυωνυμικά Εκθετικά Σήματα n-οστής τάξης. Αντίστροφος Μετασχηματισμός Laplace. Αυστηρά ρητός Μετασχηματισμός Laplace & Ανάλυση σε Απλά κλάσματα. Ρητός Μετασχηματισμός Laplace.

3 Μετασχηματισμός Laplace
Μιγαδικό Επίπεδο-s jΩ=Im{s} Περιοχή Σύγκλισης σ=Re{s} -2 -1

4 Μετασχηματισμός Laplace
Περιοχή Σύγκλισης Μετασχηματισμού (Αιτιατά & Μη-αιτιατά σήματα) L L

5 Μετασχηματισμός Laplace
Μιγαδικό Επίπεδο-s jΩ=Im{s} Πόλος σ=-α σ=Re{s} Περιοχή Σύγκλισης X2(s)=L{x2(t)} σ=Re{s}<-α Περιοχή Σύγκλισης X1(s)=L{x1(t)} σ=Re{s}>-α

6 Μετασχηματισμός Laplace
Εκθετικά Σήματα: L Πολυωνυμικά Εκθετικά Σήματα n-οστής τάξης: L

7 Μετασχηματισμός Laplace
Θεωρήστε ένα ΓΧΑ σύστημα του οποίου η είσοδος και η έξοδος ικανοποιούν την ακόλουθη Δ.Ε. Προσδιορίστε το Μετασχηματισμό Laplace της κρουστικής απόκρι-σης του συστήματος.

8 Μετασχηματισμός Laplace
Ιδιότητα της Διαφόρισης στο πεδίο του χρόνου Αν X(s)=L{x(t)}, τότε: Γενίκευση της ιδιότητας:

9 Μετασχηματισμός Laplace
και εφαρμόζοντας την ιδιότητα της διαφόρισης, βρίσκουμε: (Συνάρτηση Μεταφοράς)

10 Μετασχηματισμός Laplace
Προσδιορίστε τη Συνάρτηση Μεταφοράς του παρακάτω συστήματος: x(t) y(t)

11 Μετασχηματισμός Laplace
Θεωρήστε ένα ΓΧΑ σύστημα του οποίου η είσοδος και η έξοδος ικανοποιούν την ακόλουθη Δ.Ε. Προσδιορίστε την κρουστική απόκριση του συστήματος.

12 Μετασχηματισμός Laplace
Θεωρήστε ένα ΓΧΑ σύστημα για το οποίο γνωρίζουμε ότι αν εφα- ρμόσουμε στην είσοδό του το σήμα η έξοδος του είναι Χαρακτηρίστε το σύστημα ως προς την ευστάθειά του και προσδιο- ρίστε τη Δ.Ε. που ικανοποιεί.

13 Μετασχηματισμός Laplace
Προσδιορίστε το ρεύμα i(t) που διαρρέει το παρακάτω κύκλωμα, αν γνωρίζουμε ότι i(0+)=io . i(t)

14 Μετασχηματισμός Laplace
Υπολογίστε τον Αμφίπλευρο και το Μονόπλευρο Μετασχηματισμό του Σήματος

15 Μετασχηματισμός Laplace
Ιδιότητα της Διαφόρισης στο πεδίο του χρόνου Αν X(s)=L{x(t)}, τότε: Γενίκευση της ιδιότητας:

16 Μετασχηματισμός Laplace
Να λυθεί η Δ.Ε. Κλασσικός Τρόπος Λύσης Χρησιμοποιώντας Μονόπλευρο Μετασχηματισμό Laplace (α=0+) Χρησιμοποιώντας Μονόπλευρο Μετασχηματισμό Laplace (α=0-)

17 Μετασχηματισμός Laplace
Θεώρημα Αρχικής και Τελικής τιμής

18 Μετασχηματισμός Laplace
Θεώρημα Αρχικής Τιμής (Ανεξάρτητα από το α που χρησιμοποιούμε) Απόδειξη για τα σήματα που ανήκουν στην κλάση C Απόδειξη για συνεχή σήματα και σήματα με ασυνέχεια στο t=0 Γενίκευση του Θεωρήματος Αρχικής Τιμής για σήματα που περιέχουν και κρουστικές συναρτήσεις στο t=0 .

19 Μετασχηματισμός Laplace
Γενίκευση του Θεωρήματος Αρχικής Τιμής για σήματα που περιέχουν και κρουστικές συναρτήσεις στο t=0 . Αν τότε

20 Μετασχηματισμός Laplace
Ιδιότητα της Ολοκλήρωσης στο πεδίο του χρόνου Αν X(s)=Lα{x(t)}, και: τότε Παράδειγμα: Λύστε την παρακάτω εξίσωση γνωστή.

21 Μετασχηματισμός Laplace
Αιτιατά Περιοδικά Σήματα Έστω τότε όπου και μηδέν αλλού.

22 Μετασχηματισμός Laplace
Μιγαδικό Επίπεδο-s jΩ=Im{s} Περιοχή Σύγκλισης Σήματος σ=Re{s}

23 Μετασχηματισμός Laplace
Πόλοι στο Αριστερό Ημιεπίπεδο. Πόλοι Πάνω στον Φανταστικό άξονα (οριακή περίπτωση σ=0). Τι γίνεται σ’ αυτή την περίπτωση;