Η παρουσίαση φορτώνεται. Παρακαλείστε να περιμένετε

Η παρουσίαση φορτώνεται. Παρακαλείστε να περιμένετε

Χρωματισμός ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων Θεωρία Γράφων Θεμελιώσεις-Αλγόριθμοι-Εφαρμογές Κεφάλαιο 6: Χρωματισμός.

Παρόμοιες παρουσιάσεις


Παρουσίαση με θέμα: "Χρωματισμός ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων Θεωρία Γράφων Θεμελιώσεις-Αλγόριθμοι-Εφαρμογές Κεφάλαιο 6: Χρωματισμός."— Μεταγράφημα παρουσίασης:

1 Χρωματισμός ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων Θεωρία Γράφων Θεμελιώσεις-Αλγόριθμοι-Εφαρμογές Κεφάλαιο 6: Χρωματισμός

2 Χρωματισμός ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων Εισαγωγή (1) Χρωματισμός κορυφών-ακμών-περιοχών Χρωματική τάξη (color class): σύνολο κορυφών με το ίδιο χρώμα

3 Χρωματισμός ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων Εισαγωγή (2) Γράφος k-χρωματίσιμος (k-colorable): οι κορυφές μπορούν να χρωματισθούν με k χρώματα Γράφος k-χρωματικός (k-chromatic): οι κορυφές μπορούν να χρωματισθούν με k χρώματα, αλλά όχι με k-1 Χρωματικός αριθμός (chromatic number): χ(G)=k. Αν ένας γράφος G είναι p-χρωματίσιμος (όπου p>χ(G)), τότε ο γράφος G είναι και r-χρωματίσιμος (όπου p>r>χ(G)) Γράφος χρωματίσιμος κατά μοναδικό τρόπο (uniquely colorable)

4 Χρωματισμός ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων Εισαγωγή (3) Κρίσιμος (critical): χ(Η)<χ(G), για κάθε Η υποσύνολο του G k-κρίσιμος (k-critical): o G είναι κρίσιμος και k- χρωματικός Τέλειος (perfect): αριθμός κλίκας ω(G)=χ(G) χρωματικό αριθμό Θεώρημα: Αν ο G είναι k-κρίσιμος, τότε d(G)>=k-1

5 Χρωματισμός ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων Εισαγωγή (4) Γράφος k-χρωματίσιμος ως προς ακμές (k-edge colorable): οι ακμές μπορούν να χρωματισθούν με k χρώματα Γράφος k-χρωματικός ως προς ακμές (k-edge chromatic): οι ακμές μπορούν να χρωματισθούν με k χρώματα, αλλά όχι με k-1 Χρωματικός αριθμός ακμών ή κατάλογος (chromatic index): χ’(G)=k Γράφος k-χρωματίσιμος ως προς περιοχές (k-region colorable): οι περιοχές μπορούν να χρωματισθούν με k χρώματα

6 Χρωματισμός ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων Χρωματισμός Κορυφών (1) χ(K n )=n χ(Ν n )=1 χ(K m,n )=2, για m,n>=1 χ(G)=2, αν δεν υπάρχει κύκλος περιττού μήκους χ(Τ)=2, αν το δένδρο έχει n>2 κορυφές χ(C 2n )=2 χ(C 2n+1 )=3 χ(W 2n )=4 χ(W 2n+1 )=3

7 Χρωματισμός ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων Χρωματισμός Κορυφών (2) Ερώτημα: ποιος είναι ο χρωματικός αριθμός ενός γράφου; Απάντηση: r<=χ(G)<=n, αν υπάρχει υπογράφος K r Θεώρημα: Κάθε γράφος μη πλήρης με D(G) είναι (D+1)- χρωματίσιμος Θεώρημα (Brookes 1941): Κάθε γράφος μη πλήρης με D(G)>=3 είναι D-χρωματίσιμος Θεώρημα: Κάθε επίπεδος γράφος είναι 6-χρωματίσιμος Θεώρημα: Κάθε επίπεδος γράφος είναι 5-χρωματίσιμος Θεώρημα: Κάθε επίπεδος γράφος είναι 4-χρωματίσιμος

8 Χρωματισμός ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων Χρωματισμός Κορυφών (3) Εικασία των 4 χρωμάτων (4 color conjecture): –Guthrie 1850 (παρατήρηση) –DeMorgan 1852 –Hamilton 1852 –Cayley 1878 (δεν βρήκε λύση) –Kempe 1880 (βρήκε λάθος λύση) –Heawood 1890 (βρήκε το λάθος της λύσης) –Franklin 1920 (για n<=25) –Reynolds 1926 (για n<=27) –Franklin 1931 (για n<=31) –Winn 1943 (για n<=35) –Ore-Stemple 1968 (για n<=40) –Appel-Haken-Koch 1977

9 Χρωματισμός ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων Χρωματισμός Χαρτών Θεώρημα: Ένας επίπεδος απλός γράφος G είναι k- χρωματίσιμος (ως προς τις κορυφές), αν και μόνον αν ο G* είναι k-χρωματίσιμος ως προς τις περιοχές Θεώρημα: Ένας χάρτης G είναι 2-χρωματίσιμος αν και μόνον αν είναι Eulerian Θεώρημα: Ένας κυβικός χάρτης είναι 3-χρωματίσιμος αν και μόνον αν κάθε περιοχή περικλείεται από άρτιο αριθμό ακμών

10 Χρωματισμός ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων Χρωματισμός Ακμών (1) χ’(C 2n )=2 χ’(C 2n+1 )=3 χ’(W n )=n-1, αν n>=4 Θεώρημα (Vizing 1964): Για κάθε απλό γράφο G ισχύει D(G)<=χ’(G)<=D(G)+1 Θεώρημα: Για κάθε πλήρη διμερή γράφο ισχύει χ’(K m,n )=D(K m,n )=max(m,n)

11 Χρωματισμός ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων Χρωματισμός Ακμών (2) Θεώρημα: Για κάθε πλήρη γράφο ισχύει χ’(K n )=n (n περιττό) =n-1 (n άρτιο)

12 Χρωματισμός ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων Χρωματικά Πολυώνυμα (1) Ερώτηση: Κατά πόσους διαφορετικούς τρόπους μπορούμε να χρωματίσουμε τις κορυφές ενός γράφου με k χρώματα; Απάντηση: Χρωματικό πολυώνυμο P G (k) (Birkhoff 1912) P Nn (k)=k n P T (k)=k(k-1) n P Kn (k)=k(k-1)…(k-n+1) P G (k)=0, αν k<χ(G) P G (k)>0, αν k>=χ(G) P G (k)>0, αν G απλός επίπεδος γράφος

13 Χρωματισμός ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων Χρωματικά Πολυώνυμα (2) Θεώρημα: Έστω γράφος G και δύο μη γειτονικές κορυφές u,w. Τότε ισχύει P G (k)=P G1 (k)+ P G2 (k), όπου G 1 =G+(u,w) και G 2 =G/(u,w) Θεώρημα: Το χρωματικό πολυώνυμο γράφου G με n κορυφές είναι πολυώνυμο ως προς k βαθμού n. Το πολυώνυμο έχει ακέραιους συντελεστές με εναλλασσόμενα πρόσημα, μεγαλύτερο όρο το k n και σταθερό όρο ίσο με 0 Κ 5 +3Κ 4 +2Κ 3 K(k-1) 3

14 Χρωματισμός ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων Προσεγγιστικοί Αλγόριθμοι Χρωματισμού (1) Ο προσδιορισμός του χρωματικού αριθμού είναι δυσχείριστο πρόβλημα Σειριακός αλγόριθμος (άπληστος): –Πολυπλοκότητα Ο(n*m) –Τι γίνεται σε διμερή γράφο; Πρώτα η μεγαλύτερη (largest first): –Ταξινόμηση κορυφών ως προς αύξοντα βαθμό. Μετά σειριακός

15 Χρωματισμός ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων Προσεγγιστικοί Αλγόριθμοι Χρωματισμού (2) Τελευταία η μικρότερη (smallest last): –Matula-Marble-Issacson 1972 –Ταξινόμηση κορυφών ως προς φθίνοντα βαθμό. Μία- μία διαγράφονται οι κορυφές, ώστε να προκύψει μια νέα διάταξη των κορυφών. Μετά σειριακός Μέθοδος βαθμού-χρώματος (color-degree): –Brelaz 1979 –Βαθμός χρώματος κορυφής: αριθμός χρωμάτων που χρησιμοποιήθηκαν σε γειτονικές κορυφές

16 Χρωματισμός ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων Ωρολόγιο Πρόγραμμα Ο Χ i (1<=i<=m) διδάσκει το Υ j (1<=j<=n) για P ij ώρες/εβδομάδα Κανείς Χ i δεν διδάσκει περισσότερο από p ώρες/εβδομάδα, αλλά και κανένα Υ j δεν διδάσκεται περισσότερο από p ώρες/εβδομάδα Λύση: Διμερής γράφος K m,n


Κατέβασμα ppt "Χρωματισμός ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων Θεωρία Γράφων Θεμελιώσεις-Αλγόριθμοι-Εφαρμογές Κεφάλαιο 6: Χρωματισμός."

Παρόμοιες παρουσιάσεις


Διαφημίσεις Google