Η παρουσίαση φορτώνεται. Παρακαλείστε να περιμένετε

Η παρουσίαση φορτώνεται. Παρακαλείστε να περιμένετε

Διαφορικές Εξισώσεις Πρόβλημα αρχικών τιμών: Γενίκευση 1: Γενίκευση 2: Απαιτήσεις Αριθμητικής Μεθόδου Συμβατότητα, Ακρίβεια, Σταθερότητα, Απόδοση.

Παρόμοιες παρουσιάσεις


Παρουσίαση με θέμα: "Διαφορικές Εξισώσεις Πρόβλημα αρχικών τιμών: Γενίκευση 1: Γενίκευση 2: Απαιτήσεις Αριθμητικής Μεθόδου Συμβατότητα, Ακρίβεια, Σταθερότητα, Απόδοση."— Μεταγράφημα παρουσίασης:

1

2 Διαφορικές Εξισώσεις Πρόβλημα αρχικών τιμών: Γενίκευση 1: Γενίκευση 2: Απαιτήσεις Αριθμητικής Μεθόδου Συμβατότητα, Ακρίβεια, Σταθερότητα, Απόδοση

3 Διαφορικές Εξισώσεις (πότε έχω λύση) Πρόβλημα αρχικών τιμών καλά δομημένο αν έχει ακριβώς μία λύση f(t,y) συνεχής [α,b] Συνθήκη Lipschitz π.χ. 1  t  2,  0  t  2, x

4 Διαφορικές Εξισώσεις Μέθοδος Euler Γενικά: Δημιουργώ διακριτό πλέγμα: {t 0  α, t 1,t 2,…, t N  b} t i =α+iτ για i=0,1,2,…,N με βήμα τ = (b-α)/Ν Μέθοδος Euler w 0 =c w i+1 =w i +τf(t i, w i ) Εξίσωση διαφορών

5 Διαφορικές Εξισώσεις Μέθοδος Euler ΙΙ Παρατηρήσεις: Ακρίβεια πρώτης τάξης ως προς το χρόνο dy/dt  δy/δt = [y(t i+1 )-y(t i )]/δt (forward derivative) dy/dt  δy/δt = [y(t i+1 )-y(t i-1 )]/2δt (centred derivative) Μέθοδος Euler  Όχι προτιμηταία στην πράξη * Και για λόγους σταθερότητας

6 Διαφορικές Εξισώσεις Σφάλματα Αποδεικνύεται: με Παρατηρήσεις: (α) (β) Γραμμική εξάρτηση σφάλματος από τ

7 Διαφορικές Εξισώσεις Σφάλματα στρογγυλοποίησης Έστω: w 0 =c + ε 0 w i+1 =w i +f(t i,w i ) + ε ι με ε ι το σφάλμα στρογγυλοποίησης Τότε με ε ι  ε προκύπτει : Παρατηρήσεις: (β) Βέλτιστο(α)

8 Διαφορικές Εξισώσεις Τοπικό Σφάλμα Τοπικό σφάλμα: Σφάλμα της μεθόδου που εξαρτάται από το συγκεκριμένο βήμα Για τη μέθοδο Euler: Θα θέλαμε ανώτερης τάξης εξάρτηση από το τ ! Γιατί δεν κάνουμε ανάπτυγμα ανώτερης τάξης; Γιατί απαιτεί τον αναλυτικό υπολογισμό των y’’(t) = f’ (t,y(t)) y’’’(t) = f’’(t,y(t)) κ.ο.κ

9 Διαφορικές Εξισώσεις Μέθοδοι Runge Kutta Όχι όμως, κατ’ ανάγκη! 2διάστατο ανάπτυγμα Taylor α=τ/2 b=τ/2 f(t,y) Μέθοδος Midpoint ή Runge Kutta 2ης τάξης w 0 =c w i+1 =w i +τf(t i +τ/2, w i +τ/2 f(t i,w i ))

10 Διαφορικές Εξισώσεις Runge Kutta 4ης τάξης με και σφάλμα ~ τ 4

11 Διαφορικές Εξισώσεις Runge Kutta 4ης τάξης II Single Precision Calculation Double Precision Calculation

12 Διαφορικές Εξισώσεις Σταθερότητα Για τη μέθοδο Euler: w n+1 = w n + f(w n,t n )τ Εισάγοντας τοπικό σφάλμα: w n+1 + ε n+1 = w n + ε n + τf(w n +ε n,t n ) Κάνοντας το ανάπτυγμα Taylor: f(w n +ε n,t n ) = f(w n,t n ) + (  f/  w)ε n +  (ε 2n ) Προκύπτει: ε n+1 = ε n + (  f/  w)τε n g=1+ (  f/  w)τ Παράγοντας Ενίσχυσης  f/  w <0 Απόσβεση >0 Ενίσχυση i Ταλάντωση Σταθερότητα : |g|  1

13 Διαφορικές Εξισώσεις Σταθερότητα: Παράδειγμα 1 Έστω για παράδειγμα: dy/dt = -y/t 0   f/  w = -1/t 0  g=1-τ/ t 0 Η σταθερότητα επιτυγχάνεται λοιπόν για : τ  2t 0 τ = 0.2 t 0 τ = 1.0 t 0 τ = 2.0 t 0 τ = 2.1 t 0

14 Διαφορικές Εξισώσεις Σταθερότητα: Παράδειγμα 2 Αρμονική κίνηση: d 2 x/dt 2 +ω 2 x= 0  dx/dt - ωv= 0 dv/dt +ωx= 0 Θέτοντας u=x+iv  du/dt +iωu= 0  g=1-iωτ |g| 2 = gg * = 1+ω 2 τ 2 Η μέθοδος Euler δεν μπορεί να είναι σταθερή σε ταλαντωτικές Δ.Ε. για καμιά τιμή χρονικού βήματος

15 Διαφορικές Εξισώσεις Mέθοδος Leapfrog w i+1 =w i-1 +2τf(t i, w i ) w i+2 =w i +2τf(t i+1, w i+1 ) Στην περίπτωση αυτή προκύπτει: ε n+1 = ε n-1 + (  f/  w)2τε n g 2 =1+(  f/  w)2τg που είναι μια δευτεροβάθμια εξίσωση με δύο ρίζες, άπό τις οποίες μία είναι εν γέννει μεγαλύτερη της μονάδας Όμως για  f/  w=ib, g=ib  (-b 2 +1) και gg * = 1 για b  1, δηλαδή για τ  1/ω

16 Διαφορικές Εξισώσεις Έμμεσες (Implicit) Mέθοδοι w i+1 =w i +τ/2{f(t i, w i )+ f(t i+1, w i+1 )} g=1+(  f/  w)| n τ/2+(  f/  w)| n+1 τ/2 g Πλεονέκτημα: Σταθερότητα για κάθε βήμα g=[1+(  f/  w)| n τ/2 ] / [1-(  f/  w)| n+1 τ/2] Μειονέκτημα: Επίλυση εξίσωσης

17 Διαφορικές Εξισώσεις επιδιώκοντας τη μέγιστη ακρίβεια w i+1 =w i +τ/24{55f(t i, w i )-59f(t i-1, w i-1 ) +37f(t i-2, w i-2 ) -9f(t i-3, w i-3 )}  Μέθοδοι πολλαπλών βημάτων ή τιμών: Adams-Bashforth (άμεση / explicit) Adams-Moulton (έμμεση / implicit) w i+1 =w i +τ/24{9f(t i+1, w i+1 )+19f(t i, w i ) -5f(t i-1, w i-1 ) +f(t i-2, w i-2 )}  Μέθοδοι Predictor-Corrector Adams-Bashforth (Predictor) Adams-Moulton (Corrector)  Μέθοδοι προσαρμοζόμενου βήματος  Μέθοδοι προέκτασης


Κατέβασμα ppt "Διαφορικές Εξισώσεις Πρόβλημα αρχικών τιμών: Γενίκευση 1: Γενίκευση 2: Απαιτήσεις Αριθμητικής Μεθόδου Συμβατότητα, Ακρίβεια, Σταθερότητα, Απόδοση."

Παρόμοιες παρουσιάσεις


Διαφημίσεις Google