Η παρουσίαση φορτώνεται. Παρακαλείστε να περιμένετε

Η παρουσίαση φορτώνεται. Παρακαλείστε να περιμένετε

1 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΤΩΝ ΔΙΑΦΟΡΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΜΕ ΜΕΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥΣ Ακαδημαϊκό Έτος 2005-2006 Κυριακή, 7 Σεπτεμβρίου 2014 2η Εβδομάδα ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΟΙ ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ.

Παρόμοιες παρουσιάσεις


Παρουσίαση με θέμα: "1 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΤΩΝ ΔΙΑΦΟΡΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΜΕ ΜΕΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥΣ Ακαδημαϊκό Έτος 2005-2006 Κυριακή, 7 Σεπτεμβρίου 2014 2η Εβδομάδα ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΟΙ ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ."— Μεταγράφημα παρουσίασης:

1 1 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΤΩΝ ΔΙΑΦΟΡΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΜΕ ΜΕΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥΣ Ακαδημαϊκό Έτος Κυριακή, 7 Σεπτεμβρίου η Εβδομάδα ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΟΙ ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ Πεπερασμένων Διαφορών για Παραβολικές Δ. Ε. Μ. Π, ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ

2 2 ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΑ :Τα προβλήματα παραβολικών Δ.Ε.Μ.Π. που θα μελετήσουμε θα έχουν τον εξής γενικό τύπο: με Τ ( το πεδίο ορισμού ) να έχει μία από τις εξής τρεις μορφές Τ 1, Τ 2 και Τ 3 : Συνοριακές Συνθήκες

3 3 α) Υπολογιστικοί αλγόριθμοι λελυμένης μορφής Οι υπολογιστικοί αλγόριθμοι που θα παραχθούν, βασίζονται στην ίδια φιλοσοφία με την οποία αντιμετωπίσαμε το πρόβλημα του πρώτου συνοριακού προβλήματος των Ελλειπτικών Δ.Ε. στην §12 του Α.Μ.Δ.Ε. 1. Δηλαδή, κάλυψη του πεδίου ορισμού με δικτυωτό και αντικατάσταση των μερικών παραγώγων με κατάλληλες διαφορές, σε κάθε σημείο του πεδίου ορισμού, οπότε θα έχουμε για κάθε σημείο- κόμβο, μία αλγεβρική εξίσωση, με αγνώστους τις τιμές της λύσεως στους κόμβους του δικτυωτού. Το ιδιαίτερο σημείο των παραβολικών εξισώσεων, αλλά και όλων των εξελισσόμενων προβλημάτων, είναι ότι η αριθμητική λύση κτίζεται σε «διαδοχικά επίπεδα», με βάση τις αρχικές συνθήκες των προβλημάτων και με τη βοήθεια των συνοριακών συνθηκών. Για την σαφήνεια της όλης μεθοδολογίας, ας λάβουμε το τυπικό πρόβλημα της μετάδοσης της θερμότητας με πεδίο ορισμού έναν τόπο της μορφής Τ 3, που αποδίδεται από το Δ.Σ.: Επιβάλλουμε στο T 3 ένα δικτυωτό πλάτους h, κατά την κατεύθυνση του άξονα των x, και πλάτους κ κατά την κατεύθυνση του άξονα των t, όπως φαίνεται στο σχήμα 2 που ακολουθεί.

4 4 Οι αντικαταστάσεις των παραγώγων, με την αντίστοιχη ακρίβεια, θα είναι της μορφής: Έτσι, η πρώτη των (5) θα γίνει:

5 5 Προφανώς, η (7) ισχύει για κάθε εσωτερικό κόμβο του σχήματος 2 και εάν αυτή εφαρμοσθεί για όλα τα σημεία του αρχικού επιπέδου j=0, τότε για κάθε i=1,2,3,… του πρώτου επιπέδου (j=1), η (7) δίδει, κάθε φορά, μία εξίσωση με έναν μόνο άγνωστο, την τιμή u i j+1, την οποία μπορούμε να έχουμε σε λελυμένη μορφή, την: Έτσι, αφού προσδιορίστηκαν οι τιμές της λύσεως στο πρώτο επίπεδο (j=1), με βάση αυτές και τις συνοριακές συνθήκες, μπορούμε με εφαρμογή του (8) να προσδιορίσουμε την λύση στο επόμενο επίπεδο (j=2), και κατά συνέπεια, να προωθούμε την λύση, εκάστοτε, κατά ένα επίπεδο. Π.χ. για το δεύτερο επίπεδο θα έχουμε τις τιμές (για κ/h 2 =r) της λύσεως : εάν δέ αξιοποιήσουμε τις δεδομένες συναρτήσεις των συνθηκών, τότε η (8) εύκολα γράφεται συναρτήσει των δεδομένων:

6 6 Φυσικά, κατά την διάρκεια της αριθμητικής ολοκληρώσεως, τα υπάρχοντα σφάλματα, λόγω προσέγγισης των παραγώγων, των προηγουμένων επιπέδων, επηρεάζουν τις τιμές της λύσεως στο τρέχον επίπεδο, η δε μελέτη της μεταδόσεώς τους θα μας εξασφαλίσει, εφόσον αυτά συρρικνώνονται, την ευστάθεια της λύσεως, όπως θα δούμε αργότερα. Οι εξισώσεις (8), όπως και η λεπτομερές έκφραση αυτών (10) μπορεί να τεθεί σε μορφή πίνακα, την ακόλουθη: Η συμμετρία του εμπλεκόμενου πίνακα εύκολα μας οδηγεί στο συμπέρασμα, όπως θα δούμε αργότερα, ότι η ευστάθεια της λύσεως εξασφαλίζεται όταν οι ιδιοτιμές του είναι απολύτως μικρότερες της μονάδας. Αλλά,ως γνωστόν,οι ιδιοτιμές του είναι οι: οπότε η τελική συνθήκη εύκολα γίνεται:

7 7 Σημείωση Η παραπάνω αντιμετώπιση, χωρίς καμία δυσκολία μπορεί να εφαρμοσθεί και στις περιπτώσεις των πεδίων ορισμού τύπου T 1 και T 2. β) Υπολογιστικός αλγόριθμος πεπλεγμένης μορφής Οι τιμές του r≤1/2 επιβάλλουν μεγάλο πλήθος χρονικών επιπέδων για ρεαλιστικές περιπτώσεις προβλημάτων, πράγμα μας οδηγεί σε αναζητήσεις για βελτιώσεις στην απόδοση της αριθμητικής διαδικασίας. Μια τέτοια βελτίωση μπορεί να παραχθεί από την εξής τροποποίηση του τύπου (7). Η δεύτερη παράγωγος ∂ 2 u/ ∂x 2 αντικαταστάθηκε με την κεντρική διαφορά, στο γνωστό επίπεδο πράγμα που οδήγησε στην έκφραση (8), όπου υπάρχει ένας μόνο άγνωστος, οπότε η εύρεση της τιμής του ήταν απλούστατη. Αυτή όμως η απλούστευση επέβαλλε την «σκληρή» συνθήκη (11). Μια παραλλακτική αντιμετώπιση μπορεί να υπάρξει εάν την παραπάνω παράγωγο την προσεγγίσουμε κατά το ήμισυ σε δύο επίπεδα· στο γνωστό και στο υπό αναζήτηση(Μέθοδος Crank – Nikolson):, δηλαδή, να έχουμε την αντικατάσταση: οπότε, αντί της (8), θα είχαμε στον κόμβο (i,j) την εξίσωση: που μετά τις απλοποιήσεις γράφεται:

8 8 ενώ, η ανάλυσή του για όλα τα σημεία του επιπέδου,δίδει την ακόλουθη έκφραση των τιμών της λύσεως, στο επόμενο επίπεδο συναρτήσει του γνωστού,με χρήση πινάκων: Προφανώς, στην περίπτωση αυτή, η αριθμητική λύση στα επόμενα χρονικά επίπεδα θα προκύπτει από την λύση του τριδιαγώνιου γραμμικού συστήματος (13), που μπορεί να γραφεί: Οι ιδιοτιμές του πίνακα T είναι, ως γνωστόν, οι ακόλουθες: Με τον πίνακα Τ να είναι:

9 9 που προφανώς είναι πάντοτε μικρότερες από τη μονάδα, οπότε το πεπλεγμένο σχήμα (12) είναι πάντοτε ευσταθές. Σημείωση: Συχνά στις αριθμητικές επιλύσεις μας, θα παρουσιάζεται ο τριδιαγώνιος πίνακας N×N (συνέπεια της δομής της δεύτερης κεντρικής διαφοράς): του οποίου οι ιδιοτιμές λ κ και τα ιδιοδιανύσματα είναι: Έτσι στον πίνακα Τ, οι ιδιοτιμές του συνάγονται από τις ιδιοτιμές των παραγόντων πινάκων, που γράφονται:

10 10 οι ιδιοτιμές των οποίων βάσει της (17) θα είναι: και συνδέει κάθε τιμή του επόμενου επιπέδου με τρεις τιμές του προηγούμενου, γι’ αυτό και ονομάζεται τύπος των 3-σημείων, με υπολογιστικό κύτταρο το ακόλουθο 2. Το σχήμα (18) δεν είναι μοναδικό. Θα μπορούσε κανείς να αντικαταστήσει την δεύτερη παράγωγο με τον ακριβέστερο τύπο: εκ των οποίων προκύπτει άμεσα η (16). Παρατηρήσεις: 1. Ο βασικός υπολογιστικός αλγόριθμος (Υ.Α.) της λελυμένης (explicit) μορφής (8), μπορεί να γραφεί ως εξής:

11 11 που εμπλέκει 5 τιμές της συνάρτησης και να καταλήξει στον Υ.Α. των 5-σημείων, που εύκολα παράγεται και είναι: Ο Υ.Α. (19) είναι ακριβέστερος του (18), παρουσιάζει όμως δυσκαμψία στις εφαρμογές· π.χ. δεν μπορεί να εφαρμοσθεί για την αριθμητική λύση του Δ.Σ. (5). Φυσικά μπορεί όμως να αξιοποιηθεί στην αριθμητική επίλυση προβλημάτων με αρχικές μόνο συνθήκες. Τέλος, αναφορικά με την ευστάθεια, του Υ.Α. των 5-σημείων, αποδεικνύεται ότι είναι ευσταθής για r≤2/3. Εφαρμογή Στο ακόλουθο παρόμοιο Δ.Σ. του προβλήματος (5):

12 12 Θα λάβουμε τις εξής 3 διαμερίσεις του T: (α) h=0.1 και κ=0.001 (το r=κ/h 2 =1/10<1/2) (β) h=0.1 και κ=0.005 (το r=0.5=1/2) (γ) h=0.1 και κ=0.01 (το r=1.>1/2) και θα υπολογίσουμε τις τιμές της αριθμητικής λύσεως όπως εξελίσσεται στα διάφορα επίπεδα για τα σημεία: i=1,2,3,4,5 μαζί με το i=6 για έλεγχο συμμετρίας. Τα δε αποτελέσματα της αριθμητικής ολοκλήρωσης δίδονται στους πίνακες 1 στην περίπτωση (α), 2 στην περίπτωση (β) και 3 στην περίπτωση (γ) για την διαπίστωση ευστάθειας. Τέλος, λόγω ειδικής περίπτωσης, το Δ.Σ. (20) επιδέχεται και αναλυτική λύση: οπότε μπορούμε να υπολογίσουμε σφάλματα στις αριθμητικές λύσεις που βρέθηκαν για την σχετική σύγκριση τιμών στο σημείο x=0.3, που είναι πλησίον του σημείου ασυνέχειας της παραγώγου της αρχικής συνθήκης.

13 13 Στην γενικότερη μορφή της η (1) μπορεί να τεθεί στη μορφή: και ο στόχος μας ήταν να δημιουργήσουμε κατάλληλο αριθμητικό σχήμα που να προσδιορίζει την τιμή της άγνωστης συνάρτησης u σε ένα χρονικό επίπεδο t+k συναρτήσει των τιμών της στο προηγούμενο επίπεδο, που είτε είναι δοσμένες (από τις αρχικές συνθήκες) είτε έχουν ήδη υπολογιστεί. Έτσι, εάν στο πεδίο ορισμού Τ επιβάλουμε ένα δικτυωτό με πλάτη h (στην κατεύθυνση x) και k (στην κατεύθυνση t) και υποθέσουμε ότι η λύση u(x,t) έχει παραγώγους πάσης τάξεως, τότε από το γνωστό ανάπτυγμα Taylor, έχουμε: που προφανώς μπορεί να γραφεί με τον εκθετικό συμβολισμό και για κάθε κόμβο του δικτυωτού στο χρονικό επίπεδο λ+1, συναρτήσει των τιμών του λ επιπέδου: Επιπλέον, στην έκφραση (7) μπορούμε να αντικαταστήσουμε τα διακριτά ανάλογα των συναρτήσεων που εμπεριέχονται και έτσι να λάβουμε τη γενικότερη σχέση που συνδέει τις τιμές δύο διαδοχικών επιπέδων.

14 14 Π.χ. με χρήση κεντρικών διαφορών, μπορούμε να έχουμε τις εκφράσεις Λόγω των (8) η (7) γράφεται: που αποτελεί τον ακριβή τύπο που συνδέει τις τιμές της άγνωστης συνάρτησης u σ’ ένα χρονικό επίπεδο λ+1συναρτήσει των τιμών της στο προηγούμενο επίπεδο λ και όλοι οι υπολογιστικοί αλγόριθμοι που επιλύουν αριθμητικά τα διαφορικά συστήματα τύπου παραβολικού, είναι κάποια προσέγγιση της (9), που επιλέγεται με την ικανοποίηση των προϋποθέσεων για ακρίβεια (Accuracy), συνέπεια (Consistency), σύγκλιση (Convergence), και ευστάθεια (Stability).

15 15 Έτσι, για τις δυο μεγάλες περιπτώσεις σχημάτων (Λελυμένης και Πεπλεγμένης μορφής) έχουμε, για τις διάφορες περιπτώσεις τα ακόλουθα: I.Λελυμένης Μορφής (Explicit schemes) a)Μορφή Δ.Ε.Μ.Π.: Ο τύπος (9) γίνεται: Από τον (10) εάν πάρουμε 2 αρχικούς όρους του δεξιού μέλους, έχουμε το γνωστό αλγόριθμο των 3 σημείων του επιπέδου λ: Ενώ αν πάρουμε τους 3 πρώτους όρους, έχουμε τον αλγόριθμο των 5 σημείων: b)Αυτοσυζυγής μορφή: Στην περίπτωση αυτή, ο διαφορικός τελεστής L θα είναι:

16 16 Οπότε ο γενικός τύπος (9) γράφεται εν προκειμένου: με D x και D 2 x να δίδονται από τις σχέσεις (8). II.Υπολογιστικοί αλγόριθμοι Πεπλεγμένης μορφής (Implicit schemes) Όλοι οι υπολογιστικοί αλγόριθμοι αυτής της κατηγορίας παράγονται από την σχέση (7), που γράφεται διαδοχικά: ή ισοδύναμα Από την (12), εάν λάβουμε για ή το διακριτό ισοδύναμο καταλήγουμε στον υπολογιστικό αλγόριθμο των Crank και Nikolson: που με αντικατάσταση των κεντρικών διαφορών γίνεται το κλασσικό σχήμα:

17 17 Τέλος, εάν στην (13) θέσουμε r-1/6 αντί για r λαμβάνουμε το βελτιωμένο σχήμα Του Douglas: (ακριβές μέχρι τέταρτες διαφορές) που έχει Τ.Σ.Α. της τάξης Ο(k 3 +kh 4 ) και γίνεται ελάχιστο όταν Γενίκευση σε περισσότερες από μία «χωρικές» μεταβλητές a)Περίπτωση 2 χωρικών μεταβλητών Η εξίσωση: με τις συνοδεύουσες συνθήκες (αρχική και συνοριακές), αντιμετωπίζεται με τον ίδιο ακριβώς τρόπο, δηλ. αντικαθιστώντας την με εμπρόσθια διαφορά και τις με τις κεντρικές διαφορές, Μπορούμε εύκολα να έχουμε τα αριθμητικά σχήματα λελυμένης και πεπλεγμένης μορφής.

18 18 Έτσι, π.χ., για το πρόβλημα με τις συνθήκες Θα έχουμε για την περίπτωση των αλγορίθμων λελυμένης μορφής: που με ορισμό την γίνεται το αριθμητικό σχήμα των 5 σημείων του επιπέδου n: που αποδεικνύεται ότι είναι ευσταθές για r 1 =r 2 =r=1/4.

19 19 Εξάλλου για έναν αλγόριθμο πεπλεγμένης μορφής έχουμε το σχήμα: Παράλληλα, μπορούμε να έχουμε το αντίστοιχο Crank Nikolson σε δύο διαστάσεις, που σε συμπαγή μορφή αποδίδεται από τη σχέση

20 20 Σχήμα 1

21 21 Τώρα, για μεν το σχήμα 17 (Crank Nikolson) για τους κόμβους των δικτυωτών γράφεται, με χωρισμό γνωστών από αγνώστους, στη γενική μορφή: Έτσι, εάν υποθέσουμε ότι το δικτυωτό που επιβάλλουμε έχει Μ-1 και Ν-1 μη συνοριακά σημεία κατά κατεύθυνση (π.χ. M·h 1 =1 και N·h 2 =1 με Μ=5 και Ν=5, βλέπε στο σχήμα 1) τότε το γραμμικό σύστημα που θα προκύψει θα είναι (Μ-1)(Ν-1) εξισώσεων με ισάριθμους αγνώστους, τους που σε μορφή πίνακα δίνεται από την ακόλουθη πενταδιαγώνια μορφή: (20)

22 22

23 23 Έτσι, λοιπόν, είναι προφανές ότι για ρεαλιστικές τιμές του h, π.χ. h=101, η τάξη του πίνακα της 20 θα είναι και αυτό σε κάθε χρονικό επίπεδο. Αυτή η πραγματικότητα ώθησε τους ερευνητές να επινοήσουν αποτελεσματικούς τρόπους επίλυσης με αξιοποίηση της δομής του πίνακα της (20), προσπάθεια που στέφθηκε με επιτυχία, ακόμη και στην πιο σύνθετη μορφή της (18) που αποτελεί το Crank-Nikolson, σχήμα για 2 χωρικές μεταβλητές. Έτσι, πρώτοι οι Peaceman-Rachford το 1955 επινόησαν την ομώνυμη τακτική, στην οποία διέσπασαν το σύστημα (18) σε δύο άλλα, ισοδύναμα, που είχαν το πλεονέκτημα οι πίνακες των συντελεστών των αγνώστων να έχουν τριδιαγώνια μορφή, και αυτό με το να εισάγουν ένα βοηθητικό διάνυσμα u *, ως εξής (υποθέτουμε στα επόμενα ότι h 1 =h 2 =h) γράφοντας το σύστημα (18) στην ακόλουθη ισοδύναμη μορφή*: * Εάν πολλαπλασιάσουμε την 2η των (21) εξ αριστερών επί (1-(1/2)rδ 2 x ) και την πρώτη εξ αριστερών επί (1+(1/2)rδ 2 x ) και αντικαταστήσουμε στην 1η έκφραση της u * από τη δεύτερη (οι εμπεριεχόμενοι τελεστές είναι αντιμεταθετικοί) εύκολα λαμβάνεται η (17) πράγμα που αποδεικνύει την ισοδυναμία των (17) και (21).

24 24 Πιο αναλυτικά, εάν με εκτέλεση των πράξεων λάβουμε την γενική μορφή των γραμμικών εξισώσεων της (18) θα έχουμε τον τύπο (για r=r 1 =r 2 ): που προφανώς είναι ένα εννεαγώνιο, γραμμικό σύστημα. Όμοια μετά την εκτέλεση των πράξεων στο (21) λαμβάνουμε το ζεύγος Γ.Σ.: όπου στο πρώτο σύστημα γνωστό είναι το διάνυσμα u n, ενώ στο δεύτερο σύστημα με τη γνώση του u * ευρίσκεται η λύση u n+1 από την επίλυση των τριδιαγώνιων συστημάτων που εμπλέκονται. Παρατήρηση: Έχει ενδιαφέρον να επισημάνουμε τη μορφή των συστημάτων στην (23) εφαρμόζοντας τα σχετικά στο σχήμα 1, με τους 4 εσωτερικούς κόμβους σε κάθε μία από τις 2 χωρικές κατευθύνσεις (πρώτα παράλληλα της X και μετά παράλληλα της y).

25 25 Έτσι, λοιπόν, για τους κόμβους σε κάθε μία οριζόντια ευθεία θα έχουμε: που σε μορφή πίνακα έχουν την ακόλουθη παράσταση, όπου είναι σαφής η τριδιαγώνια μορφή του συστήματος που προκύπτει:

26 26 (24)

27 27 Όμοια για το δεύτερο σύστημα των (23) θα έχουμε μετά την εκτέλεση των πράξεων στους κόμβους σε κάθε μία των καθέτων ευθειών τα ακόλουθα: που σε μορφή πίνακα θα έχει την ακόλουθη παράσταση:

28 28 (25)

29 29 Από τις (24) και (25), που αποτελούν τις αναπτυγμένες μορφές των συστημάτων (23) στα οποία οι Peaceman και Rachford διέσπασαν το βασικό σύστημα (18), είναι σαφής η τριδιαγώνια μορφή των συστημάτων που προκύπτουν, που επί πλέον σε κάθε μία των (24) και (25) περιπτώσεων, μπορούμε εύκολα να δούμε ότι γίνεται «διαδοχική σάρωση» των τιμών της συνάρτησης λύσης στο μεν (24) κατά γραμμές ενώ στο (25) κατά στήλες, πράγμα που περιλαμβάνεται στην σημασία της στρατηγικής Πεπλεγμένες Μέθοδοι Εναλλασσόμενης Κατεύθυνσης (Alternating Direction Implicit – A.D.I. Methods). Η διάσπαση Peaceman-Rachford (23) των (18) δεν είναι η μόνη, αλλά Ακολούθησαν στο ίδιο πνεύμα και άλλες παραλλαγές, όπως: (α) η ακριβέστερη ακρίβεια, παρόμοια του Douglas, της: που δόθηκε από τους Mitchell και Fairweather.

30 30 Η διαφορετικής υφής του D’ Yakonov: ή και η αντίστοιχη της (27), στο πνεύμα της στρατηγικής του Douglas: Μια άλλη παραλλαγή είναι αυτή των Douglas – Rachford που αποδίδεται από το σχήμα:

31 31 Τέλος η (25) μπορεί να διασπαστεί κατά τον τρόπο D’ Yakonov και να δώσει το: Το πολύ σημαντικό με όλα τα A.D.I. σχήματα είναι ότι παρουσιάζουν ευστάθεια Για οποιαδήποτε τιμή του r όπως το βασικό σχήμα Crank Nikolson.


Κατέβασμα ppt "1 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΤΩΝ ΔΙΑΦΟΡΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΜΕ ΜΕΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥΣ Ακαδημαϊκό Έτος 2005-2006 Κυριακή, 7 Σεπτεμβρίου 2014 2η Εβδομάδα ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΟΙ ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ."

Παρόμοιες παρουσιάσεις


Διαφημίσεις Google