e, ex , eiθ , πολικές συντεταγμένες

Παρουσίαση με θέμα: "e, ex , eiθ , πολικές συντεταγμένες"— Μεταγράφημα παρουσίασης:

1 e, ex , eiθ , πολικές συντεταγμένες
Γιάννης Βαρβαρίγγος Έλσα Σιάννου Διονύσης Σπηλιόπουλος Αιμίλιος Σπηλιόπουλος

2 Το ενδιαφέρον του ανθρώπου για χρήμα από την αρχαία εποχή
Τόκος: Όπου: P: το αρχικό κεφάλαιο i: το επιτόκιο I = P i t Πόσος χρόνος χρειάζεται για να διπλασιαστεί ένα κεφάλαιο αν τοκιστεί με επιτόκιο 20% και ανατοκίζεται κάθε χρόνο. Πήλινη πινακίδα Μεσοποταμίας 1700 π.Χ.,Λούβρο

3 Όπως φαίνεται: Ανατοκιζόμενα  περισσότερα
Ανατοκισμός χρόνος κεφάλαιο 5% ανατοκισμός τέλος χρόνου 1 100€ 100(1+0,05) 105€ 2 105(1+0,05) 110,25€ 3 110,25(1+0,05) 115,76€ Εάν ο λογαριασμός ήταν με απλό τόκο τότε το ετήσιο επιτόκιο θα αναφερόταν διαρκώς στο αρχικό κεφάλαιο και το ποσό μας θα αυξανόταν κατά 5€ κάθε χρόνο, δηλαδή σαν αριθμητική πρόοδος. ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ: Το ποσό αυξάνεται με μια γεωμετρική πρόοδο με λόγο: 1,05. Όπως φαίνεται: Ανατοκιζόμενα  περισσότερα

4 S=P(1+r)t S=P(1+(r/n))nt S=(1+(1/n))n n (1+(1/n))n 1 2 2,25 5 2,48832
Έστω ότι ο ανατοκισμός γίνεται n φορές τον χρόνο, έτσι το επιτόκιο γίνεται r/n και επειδή σε χρόνο t περιέχονται (nt) περίοδοι μετατροπής έπειτα από t χρόνια έχουμε: S=P(1+r)t S=P(1+(r/n))nt S=(1+(1/n))n Για r=1, P=1€ και t=1 χρόνος έχουμε: n (1+(1/n))n 1 2 2,25 5 2,48832 10 2,59374 1000 2,71692 2,71827 2,71828

5 Sn = 1 + 1/1! + 1/2! +…+ 1/n! n! = 1 2 3 … n > 1 2 2 2 2 … 2 = 2n-1
Έχουμε την ακολουθία: Sn = 1 + 1/1! + 1/2! +…+ 1/n! n = 1,2,3… Η ακολουθία είναι γνησίως αύξουσα αφού ισχύει ότι Sn < Sn+1 Για τιμές του n μεγαλύτερες ή ίσες με 3 ισχύει: n! = … n > … 2 = 2n-1 Άρα προκύπτει: Sn < /2 + 1/22 + … + 1/2n-1 n = 3,4,5… Από 2ο όρο και μετά αποτελούν όρους γεωμετρικής προόδου με λ=1/2, της οποίας το άθροισμα τω όρων είναι: 1 - (1/2)n = 2[1-(1/2)n] < 2 __________ /2 Tn = (1 + 1/n)n , προκύπτει ότι αυτή η ακολουθία συγκλίνει στο ίδιο όριο με την Sn αφού αποδεικνύεται ότι Τn ≤ Sn και Τn ≥ Sn επομένως Tn = Sn και άρα T = S. Το όριο της Τ είναι ο αριθμός e. Άρα Sn < = 3, δηλαδή η ακολουθία είναι φραγμένη πάνω από το 3.

6 Εκθετικές συναρτήσεις
Δεν τέμνουν τον άξονα x’x. Ρυθμός αύξησης ανάλογος του εαυτού τους (dαx / dx = kαx). Υπερβατικές καμπύλες. Είναι γνησίως αύξουσες ή φθίνουσες.

7 Η συνάρτηση ex Η ex είναι μια εκθετική συνάρτηση με βάση τον αριθμό e.
Έχει παράγωγο τον εαυτό της. Εκφράζει πολλά φυσικά φαινόμενα των οποίων ο ρυθμός μεταβολής είναι ανάλογος του εαυτού τους.

8 Γραφική παράσταση της ex

9 lnx Ο λογάριθμος με βάση το e λέγεται φυσικός λογάριθμος.
Έχει παράγωγο την υπερβολή => οι λογάριθμοι μπορούν να εκφραστούν ως εμβαδά κάτω από την υπερβολή.

10 Άλλες εκφράσεις του e Ως άπειρο κλάσμα:

11 Μπορεί να εκφραστεί επίσης:
Ως άπειρο άθροισμα. Ως άπειρο γινόμενο. Ως όριο ακολουθίας.

12 eiθ i = −1 Ισχύει ότι: i2 = -1 i3 = -i i4 = 1

13 𝑒 𝑥 =1+ 𝑥 1! + 𝑥 2 2! + 𝑥 3 3! +…, −∞<𝑥<∞
Για x = 1, 𝑒 =1+ 1 1! ! ! +… O Euler αντικαθιστά το x με ix. 𝑒 𝑖𝑥 =1+ 𝑖𝑥 1! − 𝑥 2 2! − 𝑖𝑥 3 3! +… Και καταλήγει ότι, για x = θ, 𝑒 𝑖𝜃 = συνθ + i*ημθ

14 𝒆 𝒊𝝅 + 1 = 0

15 ΠΟΛΙΚΕΣ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ
Σύστημα Συντεταγμένων που προσδιορίζεται από μία γωνία και ένα διάνυσμα σε αντιστοιχία προς τα δύο κάθετα μεταξύ τους διανύσματα των Καρτεσιανών Συντεταγμένων. r: Ακτινική Συντεταγμένη (Ακτίνα) θ: Γωνιακή Συντεταγμένη (Αζιμούθιο) Κάθε σημείο προσδιορίζεται από τις συντεταγμένες (r,θ), ως τομή κύκλου ακτίνας r=r₀ και ημιευθείας κορυφής Ο(0,0) της οποίας η κλίση καθορίζεται από τη γωνία θ=θ₀. Σχηματισμός «πολικού πλέγματος».

16 Μετατροπή Πολικών σε Καρτεσιανές Συντεταγμένες:
x = r*συνθ (1) y = r*ημθ (2)

17 Μετατροπή Καρτεσιανών σε Πολικές Συντεταγμένες:
r = sqrt(x²+y²) θ = τοξεφ(y/x)

18 ΤΕΛΟΣ Ευχαριστούμε πολύ
ΤΕΛΟΣ Ευχαριστούμε πολύ