ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΚΑΙ ΦΥΣΙΚΕΣ ΕΠΙΣΤΗΜΕΣ

Παρουσίαση με θέμα: "ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΚΑΙ ΦΥΣΙΚΕΣ ΕΠΙΣΤΗΜΕΣ"— Μεταγράφημα παρουσίασης:

1 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΚΑΙ ΦΥΣΙΚΕΣ ΕΠΙΣΤΗΜΕΣ
Προσδοκίες που δημιουργεί ο τίτλος του μαθήματος. Συνάντηση 11η 9/4/2017 Μαθηματικές έννοιες και Φυσικές Επιστήμες

2 Στόχοι του μαθήματος Η κατανόηση των θεωριών ανάπτυξης των μαθηματικών εννοιών παιδιών προσχολικής ηλικίας. ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ α) Επίπεδα και στερεά σχήματα β) Γωνία γ) Εξωτερικές και εσωτερικές σχέσεις ομοιότητας δ) Αίσθηση του χώρου ΜΕΤΡΗΣΗ α) Μέτρηση μήκους ευθυγράμμου τμήματος β) Μέτρηση εμβαδού γεωμετρικού σχήματος γ) Μέτρηση όγκου στερεού σχήματος δ) Μέτρηση ανοίγματος γωνίας

3 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Τα τελευταία χρόνια αποδίδεται μια μεγαλύτερη σημασία στην ανάπτυξη χωρικής και γεωμετρικής σκέψης καθώς ο χώρος και οι εμπειρίες μέσα σ’ αυτόν, εκτός από το να αποτελούν μια πρώτη πηγή εννοιών, στηρίζουν τη μαθηματική σκέψη των παιδιών και αποτελούν τη βάση ανάπτυξης του μαθηματικού συλλογισμού σε πολλά επίπεδα. Π.χ. τα κλάσματα και οι πράξεις του πολλαπλασιασμού και της διαίρεσης παρουσιάζονται με την βοήθεια σχημάτων, ή την έννοια της αριθμητικής ευθείας. (Τζεκάκη 2007: σελ. 148)

4 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Ως χωρική αίσθηση (spatial sense – spatial thinking) νοείται μια διαισθητική αντίληψη για το χώρο που μας περιβάλλει και τα αντικείμενα μέσα σ’ αυτόν (Τζεκάκη 2007: σελ. 150). Η ανάπτυξη της στηρίζεται σε χωρικές εμπειρίες που εμπλέκουν τις σχέσεις των αντικειμένων με έννοιες όπως η διεύθυνση και ο προσανατολισμός (κατεύθυνση).

5 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Ως γεωμετρική σκέψη (geometrical sense – geometrical thinking) νοείται η νοητική δραστηριότητα που οργανώνει και επεξεργάζεται τα στοιχεία του βιωμένου χώρου ώτσε να τα μετασχηματίσει σε γεωμετρικά αντικείμενα και σχέσεις (Τζεκάκη 2007: σελ. 152). Η ανάπτυξη της γεωμετρικής σκέψης δεν ερμηνεύεται απλά ως αναγνώριση μορφών ή εκμάθηση όρων και εννοιών αλλά ως μια σύνδεση τη χωρικής εμπειρίας με ένα μοντέλο που την παριστά (Τζεκάκη 2007: σελ. 153). Η μελέτη του χώρου και η ανάπτυξη γεωμετρικής σκέψης συνδέεται στενά με μια διαδικασία που μπορεί να περιγραφεί απλά ως «σκέψη μέσω οπτικών εικόνων», ως μια ικανότητα ανάγνωσης, ερμηνείας, μετασχηματισμού μιας «εικονοποιημένης» κατάστασης («οπτικοποιημένη σκέψη» - optical thinking) (Τζεκάκη 2007: σελ. 154).

6 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Μάθηση γεωμετρικών εννοιών
Ανάπτυξη της οπτικής αντιληπτικής ικανότητας Μάθηση γεωμετρικών εννοιών Αντιληπτικές ικανότητες και μάθηση των γεωμετρικών εννοιών (Ζαχάρος 2006: σελ. 121).

7 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Οι πρώτες εμπειρίες των παιδιών βασίζονται στην παρατήρηση (οπτική επαφή, άγγιγμα…), όπως είναι, για παράδειγμα, η αίσθηση του σχήματος των αντικειμένων και η παρατήρηση των ιδιοτήτων τους ( π.χ. το μπαλάκι και ο βόλος κυλάνε) (Καφούση & Σκουμπουρδή 2008: σελ. 110).

8 1. Επίπεδα και στερεά σχήματα (1)
Τα σχήματα που μπορούν να προσεγγιστούν στην προσχολική εκπαίδευση είναι ο κύκλος, το τετράγωνο, το τρίγωνο και το ορθογώνιο. Πολλές έρευνες έχουν δείξει ότι τα περισσότερα παιδιά προσχολικής ηλικίας αναγνωρίζουν με μεγάλη ακρίβεια τους κύκλους και τα τετράγωνα, ενώ είναι λιγότερο ακριβή στην αναγνώριση των τριγώνων και των ορθογωνίων παραλληλογράμμων (Καφούση & Σκουμπουρδή 2008: σελ. 111). Όταν για παράδειγμα ζητήθηκε από παιδια ηλικίας, 4, 5 και 6 ετών, να επιλέξουν τους κύκλους από μια συλλογή σχημάτων τα ποσοστά ήταν 92%, 96% και 99% αντίστοιχα, ενώ οι κύκλοι περιγράφονταν ως στρογγυλά (Ζαχάρος 2006: σελ ). Επίσης, παιδιά από 3-6 ετών είναι ικανά να ταξινομούν σωστά τα σχήματα. Δυσκολεύονται όμως να περιγράψουν τα χαρακτηριστικά τους.

9 1. Επίπεδα και στερεά σχήματα (2)
Η σκέψη των παιδιών για τα επίπεδα σχήματα εξελίσσεται με βάση τα παρακάτω επίπεδα (Clements 2004, Καφούση & Σκουμπουρδή 2008: σελ. 115): Στο πρώτο επίπεδο, τα παιδιά δεν μπορούν να συνδυάσουν τα σχήματα και τα χρησιμοποιούν μεμονωμένα. Στο δεύτερο επίπεδο, μπορούν να συνδέουν τα σχήματα και να φτιάξουν εικόνες στις οποίες κάθε σχήμα έχει μοναδικό ρόλο ή λειτουργία στην εικόνα π.χ. το τετράγωνο ως πόδι. Στο τρίτο επίπεδο, μπορούν να συνδυάσουν τα σχήματα και να φτιάξουν εικόνες στις οποίες διάφορα συνδεδεμένα σχήματα έχουν μια λειτουργία στην εικόνα (π.χ. τρία συνεχόμενα τετράγωνα αποτελούν ένα πόδι).

10 1. Επίπεδα και στερεά σχήματα (3)
Στο τέταρτο επίπεδο, τα παιδιά συνδυάζουν τα σχήματα φτιάχνοντας κάτι νέο, ταιριάζοντας πλευρές μήκη και γωνίες. Στο πέμπτο επίπεδο, συνδυάσουν σχήματα για να δημιουργήσουν σύνθετες μονάδες (δυο ίδια τραπέζια δημιουργούν ένα εξάγωνο). Στο έκτο επίπεδο, τα παιδιά συνδέοντας πολλά ίδια σχήματα μπορούν να δημιουργήσουν ένα μεγαλύτερο ίδιο σχήμα (π.χ. να δημιουργήσουν ένα τετράγωνο με 4 μικρότερα ίδια τετράγωνα). - Στο έβδομο επίπεδο, τα παιδιά κατασκευάσουν και χρησιμοποιούν σύνθετες μονάδες για να δημιουργήσουν ακόμη πιο σύνθετα σχήματα ή εικόνες.

11 1. Επίπεδα και στερεά σχήματα (4)
Τα μικρά παιδιά μπορούν να κατανοήσουν καλύτερα τα γεωμετρικά σχήματα αν ακολουθούνται κάποιες συγκεκριμένες κατευθύνσεις (Clements 2004, Καφούση & Σκουμπουρδή 2008: σελ. 116): - Ποικίλα παραδείγματα και αντιπαραδείγματα του σχήματος. - Συζήτηση σχετικά με το σχήμα και τα χαρακτηριστικά του. - Παρουσίαση ευρύτερης ποικιλίας από άλλα είδη σχημάτων και ενασχόληση με θέματα που παρουσιάζουν ενδιαφέρον για τα μικρά παιδιά. - Ενώ σημαντικό είναι τα παιδιά να εμπλέκονται σε δραστηριότητες αναγνώρισης σχημάτων με διαφορετικούς τρόπους διευθέτησής τους.

12 2. Γωνία (1) Τα παιδιά έχουν άτυπες γνώσεις για τις γωνίες και σε ηλικία ακόμα και 5 ετών μπορούν να αντιστοιχίζουν γωνίες μεταξύ τους. Αν και τα παιδιά της προσχολικής ηλικίας χρησιμοποιούν στο παιχνίδι τους διαισθητικά τις γωνίες (π.χ. όταν κάνουν κατασκευές μπορεί να τοποθετούν τα αντικείμενα κάθετα –κατασκευή τοιχωμάτων σπιτιού- ή υπό κάποια άλλη γωνία), έχουν πολλές λανθασμένες αντιλήψεις για αυτές. Οι ιδέες των παιδιών ποικίλουν και συνδέονται με: ένα σχήμα, μια κατεύθυνση, μια πλευρά ενός σχήματος, μια κεκλιμένη γραμμή, έναν προσανατολισμό μια στροφή και ένωση δυο γραμμών (Clements & Batista 1990, στο Καφούση & Σκουμπουρδή 2008: σελ. 118).

13 2. Γωνία (2) Κατά το σχεδιασμό και την υλοποίηση μαθησιακών δραστηριοτήτων πρέπει να συμπεριλαμβάνονται οι ακόλουθες μαθηματικές ερμηνείες για τη γωνία (Freudenthal 1973, Καφούση & Σκουμπουρδή 2008: σελ. 118): η γωνία ως κίνηση, όπως η στροφή της γωνίας. Η γωνία ως γεωμετρικό σχήμα, δηλαδή ο χώρος που περικλείεται σε δυο τεμνόμενες γραμμές και Η γωνία ως μέτρηση, κάτι που περικλείει τα δυο παραπάνω.

14 3. Εξωτερικές και εσωτερικές σχέσεις ομοιότητας (1)
Τα μικρά παιδιά διαθέτουν άτυπες γνώσεις όχι μόνο για τα σχήματα, αλλά και για τις σχέσεις μεταξύ των σχημάτων με πιο χαρακτηρίστηκες από τις σχέσεις που μπορούν να εντοπιστούν από τα παιδιά αυτές της ταυτότητας (ομοιότητα & ισότητα) από τις εξωτερικές και της συμμετρίας από τις εσωτερικές (Καφούση & Σκουμπουρδή 2008: σελ. 119):

15 3. Εξωτερικές και εσωτερικές σχέσεις ομοιότητας (2)
Βασικά συμπεράσματα που προκύπτουν από τις έρευνες, σε σχέση με εξωτερικές και εσωτερικές σχέσεις ομοιότητας στην προσχολική ηλικία (Καφούση & Σκουμπουρδή 2008: σελ. 119): Από την ηλικία των 4 ετών, τα παιδιά μπορούν να εφευρίσκουν και να χρησιμοποιούν στρατηγικές, όπως το να κινούν σχήματα, για να συγκρίνουν τα κομμάτια τους. Τα προνήπια και τα νήπια έχουν τη δυνατότητα να περιστρέφουν νοερά τα σχήματα σε συγκεκριμένες καταστάσεις. Τα μικρά παιδιά δείχνουν προτίμηση στην κάθετη συμμετρία και δημιουργούν και τα ίδια σχήματα με κάθετη αλλά και με οριζόντια συμμετρία. Η έννοια της συμμετρίας δεν σταθεροποιείται πριν από την ηλικία των 12 ετών.

16 4. Αίσθηση του χώρου (1) Η διαδικασία κατανόησης προσανατολισμού στο χώρο είναι μακρόχρονη και ξεκινάει από την βρεφική ηλικία. Ο προσανατολισμός στο χώρο είναι η γνώση του πού βρισκόμαστε και πώς θα κινηθούμε στον κόσμο, κατανοώντας και χρησιμοποιώντας τη λειτουργία μεταξύ των διαφορετικών θέσεων στο χώρο, ειδικά σε σχέση με τη θέση που κατέχουμε εμείς (Καφούση & Σκουμπουρδή 2008: σελ. 120). Σύμφωνα με το Piaget, το παιδί καθώς αναπτύσσεται, διακρίνει πρώτα τις ποιοτικές σχέσεις, όπως είναι οι ανοικτές και κλειστές γραμμές, ο διαχωρισμός και ο εγκλεισμός, τα σύνορα, η συνέχεια, η διαδοχή, οι γειτνιάσεις (τις λεγόμενες τοπολογικές σχέσεις), στη συνεχεία τις σχέσεις ευθυγράμμισης, συγγραμμικότητας και πλευρικότητας (τις λεγόμενες προβολικές) και τελικά τις ευκλείδειες και μετρικές σχέσεις, όπως είναι οι αποστάσεις, τα μεγέθη, οι αναλογίες κ.λπ. (Τζεκάκη 2007: σελ ).

17 4. Αίσθηση του χώρου (2) Οι Oikonomou & Tzekaki (2005) παρουσιάζουν εννέα μεταβλητές που εμπλέκονται σε καταστάσεις τοποθέτησης στο χώρο και είναι σημαντικό να ασκούνται σταδιακά τα παιδιά προσχολικής ηλικίας.

18 4. Αίσθηση του χώρου (3) Βασικά συμπεράσματα που προκύπτουν από τις έρευνες, σε σχέση με την αίσθηση του χώρου (Καφούση & Σκουμπουρδή 2008: σελ , Τζεκάκη 2007: σελ ): Τα παιδιά 3 ½ ετών μπορούν να περπατήσουν με ακρίβεια σε ένα καθορισμένο δρομάκι μέσα στην τάξη τους. Εκφράσεις, όπως «πάνω από», «κάτω από» δε φαίνεται να δημιουργούν πρόβλημα κατανόησης στα παιδιά, όσο εκφράσεις «μπροστά»-«πίσω», «δεξιά»-«αριστερά». Στόχος σε τέτοιου είδους δραστηριότητες θα πρέπει να είναι να κατανοηθεί η συμβατική αξία των διαφόρων σχέσεων. Από πολύ μικρά τα παιδιά (ακόμη και από την ηλικία 3 ετών) μπορούν να μαθητικοποιούν τις εμπειρίες τους στην πλοήγηση, χρησιμοποιώντας και δημιουργώντας απλούς χάρτες, αλλά και κατασκευάζοντας νοητικές αναπαραστάσεις τους χώρου γύρω τους (π.χ. μέσω δραστηριοτήτων όπου πρέπει φτιάχνοντας ένα χάρτη να βοηθήσουν ένα ήρωα να βρει τον κρυμμένο θησαυρό, μέσω δραστηριοτήτων που τα προσκαλούν να τοποθετήσουν αντικείμενα σε συγκεκριμένες θέσεις).

19 4. Αίσθηση του χώρου (4) Οι ερευνητές έχουν δώσει ιδιαίτερη σημασία στην απτική αντίληψη (haptic evidence), όπου παρουσιάζονται σο παιδιά πραγματικά αντικείμενα, τα οποία καλείται να τα «αναγνωρίσει» χωρίς να τα βλέπει και στη σχεδιαστική αντίληψη (drawing evidence). Όσον αφορά τη σχεδιαστική αντίληψη διακρίνονται τρία επίπεδα: Στο πρώτο επίπεδο (πριν από την ηλικία των 3 ετών) δεν υπάρχει καμιά πρόθεση και κανένας σκοπός, τα παιδιά απλά μουτζουρώνουν. Στο δεύτερο επίπεδο (μέχρι περίπου την ηλικία των 3 ετών και 11 μηνών), το παιδί σχεδιάζει τον κύκλο ως μια ακανόνιστη κλειστή καμπύλη ενώ δε διαχωρίζει τα τετράγωνα και τα τρίγωνα από τους κύκλους. Στο τρίτο επίπεδο (περίπου στην ηλικία των 4 ετών) υπάρχει σταδιακή διαφοροποίηση των γεωμετρικών σχημάτων.

20 4. Αίσθηση του χώρου (5) Έρευνες έχουν δείξει ότι τα παιδιά αποκτούν ευκολότερα την αίσθηση του χώρου όταν χειρίζονται μοντέλα ή όταν χρησιμοποιούν διαγράμματα. Η ικανότητα προσανατολισμού και τοποθέτησης στο χώρο δεν εξελίσσεται από μόνη της και δεν ακολουθεί απλά την ηλικία. Η έλλειψη εμπειριών με αντίστοιχες δραστηριότητες δεν επιτρέπει σε κάποια παιδιά να οικειοποιηθούν με τον επιθυμητό τρόπο ικανότητες προσανατολισμού και τοποθέτησης στον χώρο.

21 5. Διδακτικές προτάσεις Σύμφωνα με την (Τζεκάκη 2007: σελ. 171) τα συμπεράσματα που προκύπτουν από τις έρευνες των τελευταίων χρόνων οδηγούν στις παρακάτω κατευθύνσεις για την υλοποίηση πιο αποτελεσματικών μαθησιακών δραστηριοτήτων: Η χωρική σκέψη αναπτύσσεται μέσα από την εξερεύνησης των παιδιών και τη δράση τους μέσα στο χώρο, σε μια μεγάλη ποικιλία εμπειρικών καταστάσεων και παιδαγωγικών δραστηριοτήτων με κατάλληλο υλικό. Η δράση αυτή εκτός από το (βιωμένο) μεσο-χώρο (τάξη), πρέπει να επεκτείνεται στο μικρο-χώρο και στο μακρο-χώρο. Ενώ πρέπει να δύνεται η δυνατότητα και συζήτησης πάνω σε αυτά τα θέματα. Η γεωμετρική σκέψη, στηρίζεται στην γενίκευση εμπειριών από τον πραγματικό χώρο και τα αντικείμενα που αναδεικνύουν χαρακτηριστικά, αλλά απαιτείται να είναι προσανατολισμένη προς την κατεύθυνση της ανάπτυξης εννοιών εικονιστικών (figural concepts) και εννοιών στην πράξη (action concepts)] της εξέτασης και περιγραφής ιδιοτήτων και σχέσεων.

22 ΜΕΤΡΗΣΗ Η μέτρηση είναι μια πολύ σημαντική έννοια για τη μαθηματική εκπαίδευση στην προσχολική και στην πρώτη σχολική ηλικία, γιατί είναι απαραίτητη για την κατανόηση των μονάδων, οι οποίες είναι το θεμελιώδες μέσο μέτρησης (συχνά μπορεί να αλλάζει η βασική μονάδα μέτρησης ή να χρησιμοποιούνται πολλαπλάσια και υποδιαιρέσεις) (Καφούση & Σκουμπουρδή 2008: σελ. 125). Στην προσχολική εκπαίδευση τα παιδιά ασχολούνται με το χειρισμό συνεχών μεγεθών, όπως είναι το μήκος, το εμβαδό, η χωρητικότητα, εισάγονται στη διαδικασία της σύγκρισης και επιχειρούν κάποιες πρώτες μετρήσεις (Ζαχάρος 2006: σελ. 157). Βέβαια ταυτόχρονα ασχολούνται και με διαδικασία μέτρησης διακριτών μεγεθών, μέσω δραστηριοτήτων απαρίθμησης.

23 ΜΕΤΡΗΣΗ Τα βασικά συμπεράσματα των ερευνών για τη μέτρηση είναι τα ακόλουθα (Καφούση & Σκουμπουρδή 2008: σελ ).: Η μέτρηση δεν πρέπει να διδάσκεται ως απλή δεξιότητα, καθώς είναι ένας σύνθετος συνδυασμός εννοιών και δεξιοτήτων, που εξελίσσεται σιγά σιγά στο πέρασμα του χρόνου. Οι αρχικές δραστηριότητες πρέπει να εστιάζονται στο χαρακτηριστικό μέγεθος του μήκους, να αναπτύσσουν έννοιες όπως «μακρύτερο», «κοντύτερο», «ίσου μεγέθους» και να επιτρέπουν την εμφάνιση άτυπων στρατηγικών, όπως η άμεση σύγκριση. Θα πρέπει να δίνεται έμφαση στη λύση αυθεντικών προβλημάτων μέτρησης από τα παιδιά. Οι εκπαιδευτικοί πρέπει να βοηθούν τα παιδιά να συνδέουν τις χειροπιαστές μονάδες (κυβάκια του εκατοστού) με το χάρακα.

24 ΜΕΤΡΗΣΗ Δυο βασικά θέματα που σχετίζονται με τη μέτρηση είναι η αναγνώριση της μονάδας μέτρησης (συνεπώς και οι υποδιαιρέσεις της με βάση αυτή τη μονάδα) και ο τρόπος τοποθέτησης (με συνεχή επανάληψη) αυτής της μονάδας (Καφούση & Σκουμπουρδή 2008: σελ. 127). Η πορεία εξοικείωσης με τη μέτρηση περιλαμβάνει τη χρήση γλωσσικών όρων που περιγράφουν ποσότητες ή το μέγεθος ενός συγκεκριμένου αντικειμένου, την άμεση σύγκριση δυο ή περισσότερων μεγεθών και τη δυνατότητα της απόφανσης σχετικά με την ισότητά τους ή όχι, και τέλος την εισαγωγή στη διαδικασία μέτρησης και την αντιστοίχιση αριθμών με ποσότητες (Clements & Stephan 2004, στο Ζαχάρος 2006: σελ. 157).

25 ΜΕΤΡΗΣΗ Η διαδικασία της μέτρησης μπορεί να έχει ποικίλες μορφές και βαθμούς δυσκολίας. Ενδεικτικές περιπτώσεις μέτρησης είναι οι ακόλουθες (Ζαχάρος 2006: σελ ): - Μέτρηση με τη μορφή της άμεσης σύγκρισης (π.χ. «Ποιο είναι μακρύτερο, παχύτερο, βαρύτερο …;», «Πόσο μακρύτερο είναι» ερώτηση σύγκρισης που απαιτεί συλλογισμούς που βασίζονται στις πράξεις της αφαίρεσης ή της πρόσθεσης, «Πόσες φορές είναι μακρύτερο;» ερώτηση που περιέχει την έννοια της αναλογίας και βασίζεται στην πράξη της διαίρεσης ή του πολλαπλασιασμού.) - Μέτρηση με τη μορφή της έμμεσης σύγκρισης: στην περίπτωση αυτή έχουμε ένα κοινό διαμεσολαβητή, για παράδειγμα τη χρήση ενός σφουγγαριού ή ενός χάρακα για τη σύγκριση δυο μεγεθών. Έρευνες έχουν δείξει ότι παιδιά ηλικίας 5 και 6 ετών ανταποκρίνονται θετικά σε τέτοιας μορφής έργα. - Μονάδες και μέτρα μέτρησης: χαρακτηριστικό της διαδικασίας της μέτρησης είναι ότι σχετίζεται με την οικοδόμηση της μονάδας μέτρησης (συμβατική-συμφωνημένη ή αυθαίρετη).

26 ΜΕΤΡΗΣΗ Υπάρχει μια κατεύθυνση που λέει ότι τα παιδιά προσχολικής ηλικίας καλό είναι να ενθαρρύνονται στην χρήση και αξιοποίηση μονάδων μέτρησης που έχουν νόημα για τους ίδιους όπως: Για το μήκος: χρήση μελών τους σώματός τους, όπως τα χέρια, τα πόδια, τα δάχτυλα κ.λπ. Για το εμβαδόν: επιφάνειες διαφόρων σχημάτων, όχι κατ’ ανάγκην τετραγωνικών. Για τη χωρητικότητα: κουτάλια, φλιτζάνια, ποτήρια κλπ.

27 ΜΕΤΡΗΣΗ Υπάρχουν όμως και ερευνητές που διατυπώνουν την άποψη ότι η χρήση και η αξιοποίηση τυπικών μονάδων, όπως χαράκων από πολύ νωρίς, βοηθά τα παιδιά να εξοικειωθούν γρηγορότερα με το εννοιολογικό πλαίσιο της μέτρησης. Σε παιδία 6-8 ετών που έλαβαν μέρος σε έρευνα και είχαν στη διάθεσή τους για τη μέτρηση μηκών σπάγκο, χάρακα εκατοστών και σπασμένο χάρακα που εκκινούσε από το 4 εκ. φάνηκε ότι ο κλασσικός χάρακας αλλά ακόμη και ος σπασμένος χάρακας στήριξαν καλύτερα το συλλογισμό τους σε σχέση με το σπάγκο (Καφούση & Σκουμπουρδή 2008: σελ. 131).

28 1. Μέτρηση μήκους ευθυγράμμου τμήματος (1)
Το μήκος ευθυγράμμου τμήματος είναι αναγκαίο να κατανοηθεί από διάφορες πλευρές: ως μέγεθος καθεαυτό (magnitude), ως μήκος ή πλάτος σχήματος, ή ύψος στερεού (span), ως απόσταση δυο σημείων που έχει διανυθεί (distance traveled) ή ως κίνηση (motion) ανάμεσα σε δυο σημεία ή από ένα σημείο σε ένα άλλο (Kilpatrick et al. 2001, στο Καφούση & Σκουμπουρδή 2008: σελ. 127). Αρχικά τα παιδιά προσεγγίσουν τη μέτρηση του μήκους ευθυγράμμου τμήματος από την άμεση και στη συνέχεια από την έμμεση σύγκριση τω αντικειμένων (Καφούση & Σκουμπουρδή 2008: σελ. 127).

29 1. Μέτρηση μήκους ευθυγράμμου τμήματος (2)
Η μέτρηση του μήκους ενός ευθυγράμμου τμήματος απαιτεί τις ακόλουθες διαδικασίες (Καφούση & Σκουμπουρδή 2008: σελ ).: i) Το χωρισμό σε τμήματα (partitioning): είναι η νοητική δραστηριότητα της διαμέρισης ενός αντικειμένου σε μονάδες ίσου μεγέθους. ii) Τη συνεχή επανάληψη της μονάδας (iterating): είναι η ικανότητα της θεώρησης του μήκους ενός μικρού κομματιού (μονάδα) ως τμήματος του μήκους που μετράται και της επαναλαμβανόμενης τοποθέτησης του μικρότερου κομματιού (μονάδας) κατά μήκος της επιφάνειας ώστε η αρχή της κάθε μονάδας να συμπίπτει με το τέλος της προηγούμενης. iii) Τη μεταβατικότητα (transitivity): είναι η κατανόηση της μεταβατικής ιδιότητας σε σχέση με το μήκος ενός αντικειμένου (Αν Α=Β & Β=Γ τότε Α=Γ). vi) Τη διατήρηση (conservation): αφορά στην κατανόηση ότι το μήκος ενός αντικειμένου δεν αλλάζει από τις διαφορετικές τοποθετήσεις του στο χώρο. v) Τη συσσώρευση της απόστασης (accumulation of distance): είναι η κατανόηση ότι, καθώς τοποθετείται και επανατοποθετείται η μονάδα κατά μήκος του αντικειμένου και μετριέται ο αριθμός των τοποθετήσεων, η αριθμολέξη δηλώνει το χώρο που έχει καλυφθεί μέχρι αυτό το σημείο. vi) Τη συσχέτιση του αριθμού με τη μέτρηση (relation between number and measurement). Τα παιδιά από πολύ μικρή ηλικία οικειοποιούνται την ικανότητα της απαρίθμησης κάτι που μπορεί να τα βοηθήσει να οδηγηθούν σταδιακά στην επιθυμητή συσχέτιση.

30 1. Μέτρηση μήκους ευθυγράμμου τμήματος (3)
Οι δραστηριότητες για την εξοικείωση των παιδιών με τη μέτρηση μπορεί να αφορούν τη μέτρηση τους ύψους δοσμένων αντικειμένων, την κατασκευή ενός πύργου με ίδιο ύψος με δοσμένο πύργο, την μέτρηση αντικειμένων με αυθαίρετες μονάδες κ.λ.π.

31 2. Μέτρηση εμβαδού γεωμετρικού σχήματος (1)
Η εύρεση του εμβαδού μιας επιφάνειας μπορεί να θεωρηθεί ως η διαμέριση ή η κάλυψη με μια μονάδας μέτρησης δυο διαστάσεων. Τυπικά στην εκπαίδευση αυτή διαδικασία ξεκινά στην Τρίτη Δημοτικού. Άτυπες όμως προσεγγίσεις που σχετίζονται με παιγνιώδεις δραστηριότητες, όπως η επικάλυψη επιφανειών με σχήματα, μπορεί να υλοποιηθούν από πολύ μικρότερες ηλικίες.

32 2. Μέτρηση εμβαδού γεωμετρικού σχήματος (2)
Η επιτυχής μέτρηση του εμβαδού απαιτεί την πρόσκτηση μιας σειρά ικανοτήτων όπως (Clements & Stephan 2004 & Reynolds & Wheatley 1996, στο Ζαχάρος 2006: σελ. 184): - Η διαμέριση (partitioning): Η ικανότητα ανάλυσης της μετρούμενης επιφάνειας σε διακριτά μέρη. - Η επανάληψη της μονάδας μέτρησης (unit iteration) στη μετρούμενη επιφάνεια. - Η διατήρηση (conservation): Η κατανόηση ότι η επιφάνεια παραμένει ίδια παρά τις διαφορετικές αντιληπτικές διευθετήσεις στο χώρο. - Η δόμηση της σειράς (structuring an array): Η ανάπτυξη της ικανότητας ανάλυσης της επιφάνειας σε γραμμές και στήλες. - Η γραμμική μέτρηση (linear measurement): Η ικανότητα απαρίθμησης των γραμμών που συνθέτουν την επιφάνεια

33 2. Μέτρηση εμβαδού γεωμετρικού σχήματος (3)
Οι δραστηριότητες για την εξοικείωση των παιδιών με τη μέτρηση εμβαδού μπορεί να αφορούν: το «στολισμό» μιας αυλής με πλακάκια, Ερωτήματα, όπως «ποια αγελάδα θα φάει περισσότερο γρασίδι;» από δοσμένες επιφάνειες κ.λ.π.

34 3. Μέτρηση όγκου στερεού σχήματος
3. Μέτρηση όγκου στερεού σχήματος Η μέτρηση του όγκου διαφέρει σημαντικά τόσο από τη γραμμική μέτρηση του μήκους όσο και από τη μέτρηση επιφανειών, όπου απαιτείται η ικανότητα του συντονισμού δυο διαστάσεων. Σε μικρές ηλικίες έχουμε κυρίως δραστηριότητες που αφορούν την εύρεση της χωρητικότητας ενός αντικειμένου η αλλιώς του εσωτερικού όγκου (π.χ. πρακτικές γεμίσματος δοχείων). Σε αυτές τι δραστηριότητες μπορεί να χρησιμοποιούνται δοχεία που διαφέρουν ως προς μια διάσταση (π.χ. ύψος), δοχεία με ίσα ύψη αλλά με διαφορετικά σήματα, δοχεία που διαφέρουν και ως προς το σχήμα και ως προς τις διαστάσεις κ.λπ.

35 4. Μέτρηση ανοίγματος γωνίας (1)
Οι τρόποι με τους οποίους μια γωνία γίνεται αντιληπτή ποικίλουν (Ζαχάρος 2006: σελ. 198): μπορεί να θεωρηθεί ως το γεωμετρικό σχήμα που κατασκευάζεται από δυο ακτίνες (ημιευθείες) οι οποίες ξεκινούν από ένα σημείο και εκτείνονται ή επίσης ως μια διαδικασία στροφής. Η γωνία και η μέτρησή της ή για τις μικρές ηλικίες η μέτρηση της στροφής είναι έννοιες δύσκολες στην κατανόησή τους και συνήθως τα παιδιά όταν καλούνται να αξιολογήσουν το μέγεθος μιας γωνίας εστιάζουν σε διάφορα αλλά στοιχεία της, όπως για παράδειγμα το μήκος των ημιευθειών (Ζαχάρος 2006: σελ ).

36 4. Μέτρηση ανοίγματος γωνίας (1)
Παρόλαυτα, καλό είναι τα παιδιά από μικρή ηλικία να εμπλέκονται άτυπα σε δραστηριότητες που αφορούν τη μέτρηση γωνία, π.χ. συγκρίνοντας γωνίες σχημάτων, γιατί (Καφούση & Σκουμπουρδή 2008: σελ. 136): Τα μικρά παιδιά κάνουν έτσι κι αλλιώς άτυπη χρήση μετρήσεων γωνιών στις δραστηριότητες που εμπλέκονται. Η γνώση του μεγέθους της γωνίας είναι απαραίτητη για την εργασία με τα σχήματα. Με βάση ερευνητικά δεδομένα, τα μικρά παιδιά μπορούν να μάθουν με επιτυχία αυτές τις έννοιες (Clements 2004).