ΜΑΘΗΜΑ:ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ

Παρουσίαση με θέμα: "ΜΑΘΗΜΑ:ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ"— Μεταγράφημα παρουσίασης:

1 ΜΑΘΗΜΑ:ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ
ΔΙΔΑΣΚΩΝ:Χ. ΛΕΜΟΝΙΔΗΣ ΜΙΑ ΕΡΓΑΣΙΑ ΤΩΝ ΦΟΙΤΗΤΡΙΩΝ: ΠΑΤΑΚΙΑ ΟΛΓΑ ΑΕΜ:4096 ΒΟΥΛΓΑΡΗ ΙΩΑΝΝΑ ΑΕΜ:3994 ΘΕΜΑ ΕΡΓΑΣΙΑΣ:<<ΠΥΘΑΓΟΡΙΟΙ ΚΑΙ ΑΡΙΘΜΟΙ>>

2 Ο ΠΥΘΑΓΟΡΑΣ Ο Πυθαγόρας ο Σάμιος (580 π.Χ π.Χ.) ήταν σημαντικός Έλληνας φιλόσοφος, μαθηματικός, γεωμέτρης και θεωρητικός της μουσικής. Είναι ο κατεξοχήν θεμελιωτής των ελληνικών μαθηματικών, δημιούργησε ένα άρτιο σύστημα για την επιστήμη των ουρανίων σωμάτων που κατοχύρωσε με όλες τις σχετικές αριθμητικές και γεωμετρικές αποδείξεις και ήταν ιδρυτής ενός μυητικού φιλοσοφικού κινήματος που λέγεται Πυθαγορισμός (Pythagorism ή Pythagoreanism).

3 ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟ ΘΕΩΡΗΜΑ Το Πυθαγόρειο θεώρημα ή θεώρημα του Πυθαγόρα στα μαθηματικά, είναι σχέση της ευκλείδειας γεωμετρίας ανάμεσα στις πλευρές ενός ορθογώνιου τριγώνου. Συνεπώς αποτελεί θεώρημα της επίπεδης γεωμετρίας.[1] Σύμφωνα με το Πυθαγόρειο Θεώρημα, που εξ ονόματος αποδίδεται στον αρχαίο Έλληνα φιλόσοφο Πυθαγόρα : «το τετράγωνο της υποτείνουσας (της πλευράς που βρίσκεται απέναντι από την ορθή γωνία) ενός ορθογώνιου τριγώνου ισούται με το άθροισμα των τετραγώνων των δύο κάθετων πλευρών». Το θεώρημα μπορεί να γραφεί ως εξίσωση συσχετίζοντας τα μήκη των πλευρών α,β και γ, που ονομάζεται πυθαγόρεια εξίσωση: γ2 + β2 = α2 (όπου β και γ τα μήκη των δύο κάθετων πλευρών και α το μήκος της υποτείνουσας)Ισχύει και το αντίστροφο Πυθαγόρειο Θεώρημα: ότι δηλαδή, αν ισχύει η παραπάνω σχέση μεταξύ των πλευρών ενός τριγώνου, τότε το τρίγωνο είναι ορθογώνιο.

4 ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟ ΘΕΩΡΗΜΑ

5 ΑΠΟΔΕΙΞΗ ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ
Το πυθαγόρειο θεώρημα ήταν γνωστό πολύ πριν τον Πυθαγόρα, αλλά φαίνεται να είναι αυτός ο πρώτος που κατάφερε να το αποδείξει. Σε κάθε περίπτωση, η απόδειξη που του αποδίδεται είναι πολύ απλή και ονομάζεται απόδειξη με ανακατανομή. Καθένα από τα δύο μεγάλα τετράγωνα της εικόνας περιέχει τέσσερα όμοια τρίγωνα και η μόνη διαφορά τους είναι ότι τα τετράγωνα κατανέμονται διαφορετικά. Για αυτό το λόγο, η λευκή περιοχή των δύο τετραγώνων πρέπει να έχει ίσο εμβαδόν. Ο υπολογισμός των εμβαδών των λευκών περιοχών, οδηγεί στο πυθαγόρεια θεώρημα και αποδεικνύει το ζητούμενο.

6

7 ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟΣ ΠΙΝΑΚΑΣ Ο Πυθαγόρας είναι αυτός που δημιούργησε τον Πυθαγόρειο Πίνακα ή Άβακα, τον πασίγνωστο σε όλους μας πίνακα πολλαπλασιασμού ή αλλιώς προπαίδεια. Είναι δηλαδή ο πίνακας που δίνει τα γινόμενα των δέκα πρώτων ακέραιων αριθμών Παρακάτω βλέπουμε τον Πυθαγόρειο Πίνακα όπου μπορούμε να βρούμε το γινόμενο οποιωνδήποτε αριθμών από το 1 μέχρι το 12.

8 ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟΣ ΠΙΝΑΚΑΣ

9 ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟΣ ΠΙΝΑΚΑΣ Αν θέλω, για παράδειγμα, να βρω πόσο κάνει 4 x 6 = ; βάζω το ένα μου δαχτυλάκι στο 4 και το άλλο στο 6 και τα κινώ το ένα κάθετα και το άλλο οριζόντια μέχρι να βρω που θα συναντηθούν. Αν το κάνω θα δω ότι συναντιούνται στο 24. Άρα 4 x 6 = 24

10 Ο πίνακας του Πυθαγόρα Δεν περιέχει περιττές πληροφορίες.
Μαθαίνει τους μαθητές να σκέφτονται, και όχι να απομνημονεύουν πράξεις. Βοηθά τους μαθητές να απομνημονεύσουν τον πίνακα πιο εύκολα. Βοηθά τους μαθητές να εντοπίσουν οι αριθμοί που είναι συμμετικοί στην διαγώνιο, είναι ίσοι. Βοηθά τους μαθητές να εντοπίσουν τη συμμετρία εύκολα. με αποτέλεσμα να μάθουν την προπαίδεια πιο εύκολα και πιο γρήγορα. Το βασικό πλεονέκτημα του πίνακα είναι ότι ο μαθητής μπορεί να δει τα αριμητικά μοτίβα μόνος του

11 ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟΙ ΦΙΛΟΣΟΦΟΙ ΚΑΙ ΑΡΙΘΜΟΙ
Οι πυθαγόρειοι αφοσιώθηκαν στα μαθηματικά και ήταν οι πρώτοι στην ανάπτυξη αυτής της επιστήμης. Μέσα από την μελέτη των μαθηματικών, πίστεψαν πως οι αρχές των μαθηματικών είναι οι αρχές όλων. Ξέρουμε ότι οι Πυθαγόρειοι είχαν ένα μυστικό σύμβολο για να αναγνωρίζουν ο ένας τον άλλον. Αυτό το σύμβολο ήταν ένα σχέδιο δέκα σημείων γνωστό ως Τετρακτύς. Το σύμβολο αποτελούταν από τέσσερα επίπεδα που διαμόρφωναν σε ένα τρίγωνο με μια βάση τεσσάρων σημείων, ακολουθούσε ένα επίπεδο τριών σημείων, μετά ένα με δύο και τελικά ένα σημείο στο ανώτερο επίπεδο του συμβόλου.

12 ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟΙ ΦΙΛΟΣΟΦΟΙ ΚΑΙ ΑΡΙΘΜΟΙ
Οι Πυθαγόρειοι αντιλαμβάνονταν τους αριθμούς ως πλήθος ορισμένων αντικειμένων και τους απεικόνιζαν σε ψήφους. Με αυτό τον τρόπο παράστασης των αριθμών κατόρθωσαν να προβούν σε μια πρώτη βασική ταξινόμηση κατηγοριοποιώντας τους σε «άρτιους» και «περιττούς». Έτσι ένας άρτιος αριθμός απεικονιζόταν με μια σειρά ψήφων που μπορεί να χωριστεί σε δύο ίσα μέρη, ενώ το αντίθετο συνέβαινε με έναν περιττό. Μια άλλη θεωρία της αριθμητικής των Πυθαγορείων είναι αυτή των «παραστατικών αριθμών» όπου κάθε αριθμός (ως σύνολο ψήφων) μπορεί να απεικονίσει κάποιο γεωμετρικό σχήμα. .

13 ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟΙ ΦΙΛΟΣΟΦΟΙ ΚΑΙ ΑΡΙΘΜΟΙ
Η μελέτη των παραστατικών αριθμών οδήγησε τους Πυθαγορείους στην ανακάλυψη της μεθόδου για την εύρεση των «πυθαγορείων τριάδων». Τέλος, η ανακάλυψη της ασυμμετρίας είναι, σύμφωνα με τον έγκυρο σχολιαστή Πάππο από την Αλεξάνδρεια, επίτευγμα που επίσης ανήκει στους Πυθαγόρειους.

14 ΑΡΙΘΜΟΛΟΓΙΑ ΚΑΙ ΕΝΝΟΙΕΣ ΠΟΥ ΣΥΝΔΕΟΝΤΑΙ ΜΕ ΤΗΝ ΤΕΤΡΑΚΥ
Η αριθμολογία και οι έννοιες που συνδέονται με την Τετρακτύ είναι οι ακόλουθες: Μονάς: Ήταν το Ένα και αντιπροσώπευσε πολλές μεταφυσικές κυριότητες και έννοιες. Ήταν γνωστή ως Είδος, Πηγή ορίου και μορφής. Η Ευδαιμονία, ο Δημιουργός. Η ευτυχία, η αρμονία, η τάξη και η φιλία. Εξισώθηκε με τον Απόλλωνα, το Θεό του Λόγου και με τον Υπερίωνα, την κεντρική φλόγα και ταυτόχρονα με τον Ήλιο σαν κέντρο του κόσμου και το νόηση σαν κέντρο του ανθρώπινου σώματος. Δυάς: Ήταν το Δύο. Για τους πυθαγορείους, αυτός ο αριθμός αντιπροσώπευσε το πρώτο στάδιο προς τη διαδρομή της δημιουργίας. Η δυάδα αντιπροσώπευσε την πόλωση, την αντίθεση, την απόκλιση, την ανισότητα, και την αστάθεια. Καλείται συχνά Τόλμη, καθώς διασκορπίζει την τελειότητα και την ενότητα της Μονάδας.

15 ΑΡΙΘΜΟΛΟΓΙΑ ΚΑΙ ΕΝΝΟΙΕΣ ΠΟΥ ΣΥΝΔΕΟΝΤΑΙ ΜΕ ΤΗΝ ΤΕΤΡΑΚΥ
Τριάς: Ο επόμενος αριθμός είναι ο αριθμός τρία. Οι Πυθαγόρειοι τον έβλεπαν ως πρώτο αληθινό αριθμό. Είναι ένα σύνολο που αντιπροσωπεύει την αρχή, τη μέση και το τέλος. Ο αριθμός αντιπροσωπεύει τον αρχή όλων που είναι ολόκληρα και τέλεια, τις τρεις διαστάσεις, και την τριμερή ψυχή Τετράς: Είναι ο αριθμός τέσσερα. Το τέσσερα αντιπροσώπευε την ολοκλήρωση. Για τους Πυθαγορείους, όλα και φυσικά και αριθμητικά ολοκληρώθηκαν στην πρόοδο του ενός μέχρι το τέσσερα. Το εξέφρασαν με τις τέσσερις εποχές, τα τέσσερα στοιχεία (γη, αέρας, πυρ και ύδωρ), τα τέσσερα ζωτικής σημασίας μουσικά διαστήματα και τα τέσσερα είδη πλανητικής κίνησης. Το τέσσερα απεικόνιζε την ευθύτητα και τη σταθερότητα.

16 Οι Πυθαγόρειοι αξιολόγησαν τέσσερις μαθηματικές επιστήμες, της αριθμητικής, της μουσικής, της γεωμετρίας και της αστρονομίας τα θεμέλια της αληθινής γνώσης. Κατά συνέπεια η τετράς αντιπροσωπεύει τη Δικαιοσύνη στον Πυθαγόρα και τους μαθητές του. Ο αριθμός αυτός αντιπροσώπευσε την ολοκλήρωση όλων των πραγμάτων στην ακόλουθη πρόοδο = 10

17 ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ %8C-%CE%AF-i/ ef5.html %CF%80%CF%85%CE%B8%CE%B1%CE%B3%CF%8C%CF%81%CE %B5%CE%B9%CE%BF%CF%82- %CF%83%CF%85%CE%BC%CE%B2%CE%BF%CE%BB%CE%B9%CF %83%CE%BC%CF%8C%CF%82-%CF%84%CF%89%CE%BD- %CE%B1%CF%81%CE%B9%CE%B8%CE%BC%CF%8E%CE%BD B1%CE%B3%CF%8C%CF%81%CE%B1%CF%82 Σύγχρονη εγκυκλοπαίδεια Ελευθερουδάκη Εγκυκλοπαιδικαί εκδόσεις Ν.ΝΙΚΑΣ ΚΑΙ ΔΙΑ Ε.Ε.-ΑΘΗΝΑΙ