ΕΘΝΙΚΟ ΚΑΙ ΚΑΠΟΔΙΣΤΡΙΑΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Τμήμα ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ – ΠΡΑΚΤΙΚΗ ΑΣΚΗΣΗ ΣΕ ΣΧΟΛΕΙΟ ΤΗΣ ΔΕΥΤΕΡΟΒΑΘΜΙΑΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Καλαμάρα Αγγελική Μαρκουλιδάκης Ανδρέας Συνοδός: Ροδίτη Ελένη

Ζάννειο Πρότυπο Γυμνάσιο Πειραιά Μαθηματικά Γ’ Γυμνασίου Καθηγήτρια: Στουπά Ειρήνη

Θεματική Ενότητα: Ισότητα Τριγώνων Φύλλο Εργασίας: Οι Μηλιές του Μπαρμπα-Γιώργο

Σύμφωνα με το αναλυτικό πρόγραμμα…. Οι μαθητές έχουν διδαχθεί σε προηγούμενες τάξεις τις βασικές ιδιότητες των τριγώνων, καθώς και τα κύριο και δευτερεύοντα στοιχεία.

Ακολουθεί… Λόγος ευθυγράμμων τμημάτων. Θεώρημα του Θαλή. Ομοιότητα ευθυγράμμων σχημάτων.

Στο συγκεκριμένο φύλλο εργασία θέλουμε να ελένξουμε: ●την παραγοντοποίηση αλγεβρικών παραστάσεων, ●την επίλυση εξισώσεων με την χρήση ανάλυσης σε γινόμενο παραγόντων, ●γενίκευση τύπου, ●γνώση και κατανόηση των κριτηρίων σύγκρισης τριγώνων, ●την αποδεικτική τους ικανότητα.

Οι Μηλιές του Μπαρμπα-Γιώργο Ένας αγρότης θέλει να φυτέψει μηλιές σε σειρές και σε τετράγωνο σχήμα. Σκέφτεται να προστατέψει τις μηλιές από τον αέρα, περιφράσσοντάς τις με κυπαρίσσια. Στο παρακάτω διάγραμμα βλέπετε τη διάταξη των δέντρων όπως τα φαντάζεται ο αγρότης. Κάθε διάγραμμα περιλαμβάνει διαφορετικές σειρές από μηλιές (ν=σειρές από μηλιές).

Ερώτημα Α:Συμπληρώστε τα στοιχεία που λείπουν στον παρακάτω πίνακα: Ερώτημα Β:Μπορείτε να βρείτε κάποιον τύπο που να υπολογίζει το πλήθος των δέντρων των μηλιών και των κυπαρισσιών συναρτήσει τους ν, όπου ν οι σειρές από μηλιές.

Ερώτημα Δ:Ο Μπαρμπα-Γιώργος (όταν έχει φτάσει το ν = 8) έχει δύο γιους και αποφασίζει να τους γράψει το κτήμα, και σκέφτεται πώς να το χωρίσει. Ο ένας γιος υποστηρίζει πως πρέπει να το χωρίσει με τη διαγώνιο ΑΓ και ο άλλος με την διαγώνιο ΒΔ, όπως φαίνεται στο σχήμα παρακάτω. Ποια είναι η δική σας άποψη; Υπάρχει περίπτωση να αδικηθεί ο ένας γιος; Ερώτημα Ε:Αποδείξτε ότι οι διαγώνιοι του τετραγώνου είναι ίσες.

Ερώτημα Γ:Οι τύποι που μπορείτε να χρησιμοποιήσετε, για να υπολογίσετε το πλήθος των δέντρων μηλιάς και το πλήθος των κυπαρισσιών στο παραπάνω διάγραμμα είναι: Πλήθος δέντρων μηλιάς = Πλήθος κυπαρισσιών = Υπάρχει μία τιμή του ν για την οποία το πλήθος των δέντρων μηλιάς ισούται με το πλήθος των κυπαρισσιών; Να βρείτε αυτή την τιμή του ν και να περιγράψετε τον τρόπο με τον οποίον την υπολογίσατε.

Κρίσιμο Συμβάν… (+) Ερώτημα Ε:Αποδείξτε ότι οι διαγώνιοι του τετραγώνου είναι ίσες. Στο παραπάνω ερώτημα, οι μαθητές χρησιμοποίησαν για τη απόδειξη, το Πυθαγόρειο Θεώρημα, ενώ ένας μαθητής είχε την απορία γιατί δεν χρησιμοποιήσαμε σύγκριση τριγώνων…

Κρίσιμο Συμβάν… (-) Ερώτημα Δ:Ο Μπαρμπα-Γιώργος (όταν έχει φτάσει το ν = 8) έχει δύο γιους και αποφασίζει να τους γράψει το κτήμα, και σκέφτεται πώς να το χωρίσει. Ο ένας γιος υποστηρίζει πως πρέπει να το χωρίσει με τη διαγώνιο ΑΓ και ο άλλος με την διαγώνιο ΒΔ, όπως φαίνεται στο σχήμα παρακάτω. Ποια είναι η δική σας άποψη; Υπάρχει περίπτωση να αδικηθεί ο ένας γιος;

Κρίσιμο Συμβάν… (-) Στο (δ) ερώτημα μία μαθήτρια (που σηκώθηκε στον πίνακα) πήρε να συγκρίνει τα τρίγωνα ΑΔΓ και ΒΓΔ, όπου για τη σύγκρισή τους δεν εφάρμοσε σωστά το κριτήριο Π-Γ-Π.

Κρίσιμο Συμβάν… (-) …δηλαδή δεν χρησιμοποίησε τη περιεχόμενη γωνία των πλευρών ΑΔ & ΔΓ – ΒΓ & ΓΔ αλλά τις γωνίες ΔΑΓ και ΔΒΓ αντίστοιχα, που δεν αποτελούν κριτήριο.

Στο Λύκειο… Στο Γυμνάσιο γίνεται άμεση χρήση των Κριτηρίων Ισότητας Τριγώνων, χωρίς την απόδειξη των θεωρημάτων, ενώ στο Λύκειο αποδεικνύουν τα θεωρήματα, καθώς καθώς και τις σχετικές προτάσεις και πορίσματα που προκύπτουν ως συνέπειες.

Αναστοχασμός… 1)Το σχήματα στον πίνακα να γίνουν με γεωμετρικά όργανα, ώστε να διαπιστώσουμε εάν είναι σε θέση να σχεδιάσουν γεωμετρικά ένα τετράγωνο.

Αναστοχασμός… 2)Στο ερώτημα (δ) δεν διευκρινίσθηκε ότι το σχήμα είναι λάθος εσκεμμένα (εδώ ν=4), ενώ η εκφώνηση αναφέρεται για ν=8, όπως υπολογίσαμε στο προηγούμενο ερώτημα, κάτι που επέφερε σύγχυση.

Αναστοχασμός… 3)Τόσο οι ερωτήσεις που δόθηκαν στο φύλλο εργασίας, όσο και οι ερωτήσεις του φοιτητή είχαν υψηλή καθοδήγηση.

Πηγές: ●Βιβλίο PISA ●Προσωπικές μας ιδέες ●Σχολικό βιβλίο – βιβλίο καθηγητή Γ’ Γυμνασίου

Σας ευχαριστούμε!