Διάλεξη 6 Η μετρική του χωροχρόνου Βοηθητικό Υλικό Liddle A1.1 σελ , A2.1 σελ Πρόβλημα A2.1 απο Liddle.

Σύνοψη Διάλεξης 5 Η καμπυλότητα του χωροχρόνου καθορίζεται από την ύλη/ενέργεια και με την σειρά της καθορίζει καθορίζει την κινητική συμπεριφορά της ύλης. Ένας ομογενής και ισοτροπικός χώρος μπορεί να έχει τριών ειδών γεωμετρίες: Σφαιρική (θετική καμπυλότητα), Επίπεδη (μηδενική καμπυλότητα) και Υπερβολική (αρνητική καμπυλότητα). Η μετρική είναι η ‘συνταγή’ με την οποία μετατρέπουμε διαφορές συν/νων σε αποστάσεις σε γενικούς χώρους. Η μετρική που περιγράφει ομογενείς και ισοτροπικούς χώρους είναι η μετρική Robertson Walker.

Απόσταση Τι είναι μετρική; Είναι ο μόνος τρόπος να μετατρέπουμε διαφορές συντεταγμένων σε αποστάσεις σε γενικούς χώρους. Παράδειγμα: Ευκλείδειος χώρος σε 2D (επίπεδο). Από το Πυθαγόρειο θεώρημα: Αν ο χώρος διαστέλλεται Όπου a(t) είναι ο παράγοντας διαστολής. Σε 3D: Δx 1 Δx 2 Δs 2 Συνκινούμενες σύν/νες

Σφαιρικές συν/νες Σε 3 χωρικές διαστάσεις μπορουμε να χρησιμοποιήσουμε σφαιρικές συν/νες: r: απόσταση από την αρχή  : αζιμουθιακή γωνία απο 0 ως 2   : πολική γωνία από 0 ως .

Σφαιρικές συν/νες, Ευκλείδειος χώρος Ποια είναι η απόσταση μεταξύ δύο σημείων που οι συν/νες τους διαφέρουν κατα dr, d , d  ; Κόκκινο 2 = πράσινο 2 +b 1 2 =b 1 2 +b 2 2 +b 3 2 b1b1 b3b3 b2b2

Για 3 χωρικές διαστάσεις περιλαμβάνοντας και την καμπυλότητα k: ΣΗΜΕΙΩΣΗ: r είναι η συνκινούμενη συν/νη που δεν αλλάζει με τον χρόνο. Ένα γεγονός περιγράφεται απο 3 χωρικές συν/νες+χρόνο. Θεωρείστε δύο γεγονότα σε χρονική απόσταση dt, που συμβαίνουν σε δύο γειτονικές θέσεις με διαφορές συν/νων dr, d , d . Η χωροχρονική απόσταση μεταξύ των δύο γεγονότων σ’ ένα διαστελόμενο Σύμπαν δίνεται από την μετρική Robertson-Walker: Η μετρική του χωρό-χρονου

Φωτοειδής γεωδαισιακή: η τροχιά των φωτονίων Τα φωτόνια διαδίδονται στο χώρο σε τροχιές που λέγονται φωτοειδείς γεωδαισιακές και ορίζονται από την σχέση ds 2 =0. Θεωρείστε ένα φωτόνιο που κινείται σε ακτινική τροχιά από ή προς την αρχή των συν/νων. Τότε d  =d =0 και Για επίπεδη (Ευκλείδια) γεωμετρία, k=0, έχουμε Σημείωση: a(t)dr είναι η φυσική απόσταση που διανύει το φως σε χρόνο dt, dr είναι η συνκινούμενη συν/νη που είναι χρονικά ανεξάρτητη.

Σχέση μεταξύ παράγοντα κλίμακας a και ερυθράς μετατόπισης z: Γενική Περίπτωση Θεωρείστε ένα φωτόνιο που εκπέμπεται την στιγμή t e στη θέση r=0, και κινείται ακτινικά προς τα εμάς όπου ανιχνεύεται την στιγμή t r στην θέση r 0. Τότε Ένα δεύτερο φωτόνιο εκπέμπεται την στιγμή t e +dt e στη θέση r=0, και φθάνει στο r 0 την στιγμή t r +dt r. Έχουμε δηλ. Αφου r είναι η συνκινούμενη συν/νη, αυτή είναι χρονικά ανεξάρτητη και χωρικά ολοκληρώματα στα δεξιά είναι ταυτόσημα. Επομένως

c/a(t) dt e dt r Αφού τα δύο ολοκληρώματα είναι ίσα, τα μη επικαλυπτόμενα μέρη τους θα είναι ίσα: Αντί να είναι δύο ξεχωριστές ακτίνες θα μπορούσαν να είναι δύο διαδοχικά μέτωπα του ίδιου κύματος (tote dt είναι μια περίοδος κύματος Τ). Αφού  dt  a(t), έχουμε: Σχέση μεταξύ παράγοντα κλίμακας a και ερυθράς μετατόπισης z: Γενική Περίπτωση t

Το μήκος κύματος του φωτός αυξάνεται καθώς το φως ταξιδεύει στο Σύμπαν. Για ερυθρή μετατόπιση z ο παράγοντας κλίμακας (και οι φυσικές αποστάσεις) ήταν μικρότερες κατά παράγοντα 1+z. Όταν παρατηρούμε ένα γαλαξία με z=2, τον παρατηρούμε όπως ήταν όταν το Σύμπαν είχε παράγοντα κλίμακας a(t)=1/3. Η ερυθρή μετατόπιση που παρατηρούμε για ένα μακρινό αντικείμενο εξαρτάται μόνο από τον σχετικό παράγοντα κλίμακας μεταξύ της στιγμής εκπομπής και της στιγμής. Δεν εξαρτάται από τον ρυθμό αύξησης του παράγοντα κλίμακας μεταξύ των δύο τιμών. Σχέση μεταξύ παράγοντα κλίμακας a και ερυθράς μετατόπισης z: Γενική Περίπτωση

Σύνοψη Η μετρική Robertson-Walker είναι: Η σχέση μεταξύ παράγοντα κλίμακας και ερυθρής μετατόπισης είναι: c/a(t) dt e dt r