Ο Διπλασιασμός του Κύβου για Μαθητές ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ, Α.Π.Θ. Ο Διπλασιασμός του Κύβου για Μαθητές Ν. Καστάνη Δημιουργικές Ιδέες Βιβλιογραφικές Αναζητήσεις Δομημένες Εργασίες

Ευκλείδεια Γεωμετρία-Α’ Λυκείου, 11ο Κεφάλαιο Μια αφορμή : Ευκλείδεια Γεωμετρία-Α’ Λυκείου, 11ο Κεφάλαιο

Εκτός σχολείου; Πρόκειται για ένα μαθηματικό μυθιστόρημα, με αναφορές στο Δήλιο Πρόβλημα και με τη σχετική αναζήτηση μιας ιστορικής διασαφήνισης. Στη λογοτεχνική αυτή αφήγηση διαπλέκονται επιφανείς διανοούμενοι του Αρχαίου Ελληνικού Πολιτισμού και διακεκριμένοι Ευρωπαίοι μαθηματικοί των πρώτων δεκαετιών του 20ου αιώνα. Προβάλλεται έτσι η διαχρονικότητα του μαθηματικού ενδιαφέροντος για το Δήλιο Πρόβλημα. Έτσι είναι; Ή αποτελεί μια λογοτεχνική μυθοπλασία;

Ένα σύγχρονο βιβλίο σηματοδοτεί το πρόσφατο ενδιαφέρον για τα άλυτα προβλήματα του Αρχαίου Ελληνικού Πολιτισμού Φέλιξ Κλάιν (1849-1925) Τα Περίφημα Προβλήματα της Στοιχειώδους Γεωμετρίας (πρώτη έκδοση 1897-τελευταία 2007)

Ωραία, φαίνεται ότι υπάρχει ένα ενδιαφέρον για τα τρία Περίφημα Προβλήματα της Αρχαίας Ελλάδας και μεταξύ αυτών για τον Διπλασιασμό του Κύβου. Διαφαίνεται, ωστόσο, ότι πρόκειται για μια θεωρητική περιέργεια και προσήλωση, δηλ. για έναν εσωτερικό στοχασμό στη Γεωμετρία. Υπάρχει, όμως, κάποιο πιο ρεαλιστικό ενδιαφέρον; Δηλαδή, υπάρχει κάποια πρακτική χρησιμότητα των ιδεών αυτών; Ή είναι σκέτη “θεωρητικολογία” και τίποτα άλλο; Είναι αλήθεια ότι το σχετικό ενδιαφέρον επικεντρώνεται, σε μεγάλο βαθμό, στις έξυπνες μαθηματικές τεχνικές και στις δημιουργικές αναθεωρήσεις των αντίστοιχων μαθηματικών γνώσεων.

Μια σύντομη ματιά στην πρώτη λύση του Διπλασιασμού του Κύβου, που δόθηκε από τον Αρχύτα, γύρω στο 400 π.Χ. Αρχύτας ο Ταραντίνος (Α΄ μισό του 4ου αιώνα) Σύμφωνα με τη λύση αυτή (που στηρίζεται σε 4 όμοια τρίγωνα), αν ΑΜ=α είναι η πλευρά του αρχικού κύβου, τότε η ΑΔ΄ θα είναι η πλευρά του διπλάσιου κύβου. Αυτό επιτυγχάνεται με συνδυασμό δύο κυκλικών κινήσεων στο χώρο. Μια του σημείου Κ στον κύκλο ΑΚΔ΄ και μια του κύκλου ΑΚΔ΄ γύρω από τον κατακόρυφο άξονα στο σημείο Α.

Μια αναπαράσταση αυτών των κινήσεων είναι η εξής:

Αυτές οι γεωμετρικές κινήσεις είναι παρόμοιες με τις κινήσεις των αρθρωτών, όπως π.χ. του ελλειψογράφου: Και εφαρμόζονται σε διάφορα αρθρωτά μηχανήματα ή ρομπότ.

Και δεν είναι καθόλου τυχαίο το επιστημονικό ενδιαφέρον γι’ αυτά τα ζητήματα της κινηματικής στο Τμήμα Μαθηματικών του Α.Π.Θ. Μαθηματικά και Ρομποτική

και αξιοποιήθηκαν σε αρθρωτά ή όργανα χάραξης καμπυλών. Μπορεί να διαπιστωθεί ότι κι άλλες λύσεις, που προτάθηκαν στην Αρχαία Ελλάδα, για το Διπλασιασμό του Κύβου χρησιμοποιούν γεωμετρικές ιδιότητες της κινηματικής και αξιοποιήθηκαν σε αρθρωτά ή όργανα χάραξης καμπυλών. Π.χ. η λύση του Διοκλή, που δόθηκε με τη βοήθεια της κισσοειδούς καμπύλης η οποία προέκυψε με κίνηση, ώθησε τον Νεύτωνα στην κατασκευή ενός σχετικού οργάνου. Ισαάκ Νεύτων (1642-1727)

Δημιουργικές Ιδέες Με τις προηγούμενες νύξεις φάνηκε, λίγο, ότι το θέμα του Διπλασιασμού του Κύβου έχει ευρύτερες διαστάσεις από έναν θεωρητικό συλλογισμό, στεγανοποιημένο στη γλώσσα της Αρχαίας Ελληνικής Γεωμετρίας. Έχει κι άλλες πλευρές που σηματοδοτούν τα διαφορετικά πολιτισμικά, ιστορικά και γνωσιολογικά πλαίσια εξέλιξής του, εκτός από τις καθαρά γεωμετρικές τεχνικές. Μια τέτοια πλευρά είναι η καταγωγή του συγκεκριμένου προβλήματος. Συνήθως αναφέρεται η πληροφορία από τον Πλούταρχο (1ο με 2ο αιώνα μ.Χ.), σύμφωνα με την οποία απαιτήθηκε, για θρησκευτικούς λόγους, ο διπλασιασμός ενός βωμού στο ιερό νησί της Δήλου.

Μ’ αυτό τον τρόπο, το συγκεκριμένο πρόβλημα περιβάλλεται μ’ ένα πέπλο μεταφυσικού, θρησκευτικού, πνεύματος . Δεν είναι τυχαίο ότι ο Πλούταρχος ήταν υψηλόβαθμος στο ιερατείο του Μαντείου των Δελφών. Και η πληροφορία αυτή, φαίνεται ότι είναι πολύ αδύναμη, γιατί δεν ενισχύεται από καμιά παρόμοια ιστορική ένδειξη, π.χ. δεν υπάρχει καμία αναφορά για απαίτηση διπλασιασμού ναού ή πυραμίδας ή κάτι ανάλογου. Μόνο για διπλασιασμό ενός, και μόνο ενός, τάφου υπάρχει μια νύξη, που διαπνέεται κι αυτή από την ίδια νοοτροπία του Πλούταρχου. Επομένως, είναι ενδιαφέρον να αποκαλυφθεί ποιοι ενστερνίστηκαν τον μύθο του Πλούταρχου, ποιοι τον αγνόησαν και πως καθιερώθηκε.

Μια άλλη προσέγγιση, πιο “λογική”, είναι η εξής: Ένα πραγματικό πρόβλημα που είχαν οι Αρχαίοι Έλληνες ήταν ο προσδιορισμός του εμβαδού του κύκλου, δηλ. ο τετραγωνισμός του κύκλου. Φαίνεται κατάλαβαν, γρήγορα, ότι ο κάθε κύκλος βρίσκεται ανάμεσα στο εγγεγραμμένο τετράγωνό του και στο περιγεγραμμένο τετράγωνό του, που είναι διπλάσιο του αντίστοιχου εγγεγραμμένου τετραγώνου.

Για το ζήτημα του διπλασιασμού του τετραγώνου, υπάρχει ο περίφημος διάλογος του Σωκράτη μ’ έναν δούλο, που τον παρουσιάζει ο Πλάτωνας στο βιβλίο του “Μένων”. Μέσα σ’ αυτό το κλίμα μπορεί να προκλήθηκε, π.χ. από κάποιο σοφιστή, η εξής ερώτηση: είναι δυνατόν να επεκταθεί αυτή η διδασκαλία και για τον κύβο;

Άλλες δημιουργικές ιδέες, για τον Διπλασιασμό του Κύβου, είναι οι εξής: Γιατί υπήρχαν τόσες διαφορετικές λύσεις στο συγκεκριμένο πρόβλημα; Μήπως υπήρχαν, στο παρασκήνιο, ζητήματα νομιμότητας και αποδοχής ή μη, των σχετικών γεωμετρικών κατασκευών; Αξίζει να σημειωθεί ότι στην Αρχαία Ελλάδα υπήρχαν διαφορετικές αντιλήψεις και συμπεριφορές στα Μαθηματικά, όπως και στη Φιλοσοφία.

Ποιες είναι οι μεθοδολογικές διαφορές δύο σχετικών λύσεων που προτάθηκαν στον Αρχαίο Ελληνικό Πολιτισμό; Π.χ. αυτή του Αρχύτα μ’ αυτή του Διοκλή. Ποια η τύχη και το ενδιαφέρον για το πρόβλημα αυτό σε άλλες ιστορικές περιόδους και σ’ άλλους πολιτισμούς; Π.χ. ποια ήταν η στάση των Βυζαντινών ή των Αράβων ή των Ινδών; Τι έγινε σχετικά με το θέμα αυτό, μετά την ανάπτυξη της Άλγεβρας και της Αναλυτικής Γεωμετρίας;

Μια πολύ ενδιαφέρουσα ιστορική ανάλυση έδειξε τη διαμάχη μεταξύ δύο νοοτροπιών για τον Τετραγωνισμό του Κύκλου (και με νύξεις για τον Διπλασιασμό του Κύβου), μεταξύ των παραδοσιακών μαθηματικών που υποστήριζαν τις ευκλείδειες μεθόδους και τους εκσυγχρονιστές που υποστήριζαν τις μεθόδους της Αναλυτικής Γεωμετρίας και της Άλγεβρας. Ο τετραγωνισμός του κύκλου. Η διαμάχη μεταξύ του Χομπς και του Γουάλλις

Υπάρχουν πληροφορίες για κάποιο ενδιαφέρον των Οθωμανικών Μαθηματικών σχετικά με τον Διπλασιασμό του Κύβου; Στα Ελληνικά Μαθηματικά την περίοδο της Τουρκοκρατίας και τη νεώτερη εποχή,γράφτηκε κάτι σχετικό; Τον 19ο αιώνα, που ο μαθηματικός τρόπος σκέψης είχε μια ριζοσπαστική αλλαγή, υπήρξαν κάποιες άλλες προσεγγίσεις στο πρόβλημα του Διπλασιασμού του Κύβου; Π.χ. ο Φέλιξ Κλάιν αντιμετώπισε διαφορετικά το πρόβλημα αυτό; Κι ένα τελευταίο ερώτημα: Η κισσοειδής καμπύλη του Διοκλή πως συσχετίζεται με τον κισσό; Τι γνώριζαν οι Αρχαίοι Έλληνες για τον κισσό;

Βιβλιογραφία:

http://www.hms.gr/

Δήλιο, Κύβου, Αρχύτας κ.ά.

http://users.sch.gr/thafounar/index.htm

http://www.math.uoa.gr/me/dipl/dipl_xrusanthakopoulou.pdf

Γενικά βιβλία για τα Αρχαία Ελληνικά Μαθηματικά:

Δύο αξιοσημείωτα ξενόγλωσσα βιβλία Ιστορίας της Αρχαία Ελληνικής Γεωμετρίας:

Δομημένες εργασίες: Καλό είναι η επιλογή ενός θέματος να είναι περιορισμένη (δηλ. όχι όλη η ιστορία του Διπλασιασμού του Κύβου) και να περιλαμβάνει δύο διαφορετικές περιπτώσεις. Στην αρχή να δίνεται το κίνητρο της εργασίας (δηλ. γιατί κάποιος να τη διαβάσει; τι μπορεί να τον παρακινήσει;), και να επισημανθούν τα ιστορικά ερωτήματα που θα πραγματευτεί. Μετά, να γίνουν οι σχετικές περιγραφές και συγκρίσεις, με τις αναγκαίες αναφορές σε ιστορικές καταστάσεις της συγκεκριμένης περιόδου, που επηρέαζaν τις συμπεριφορές των μαθηματικών οι οποίοι ασχολήθηκαν με τις αντίστοιχες περιπτώσεις. Αν χρησιμοποιηθούν και εικόνες είναι ακόμη καλύτερο Τέλος ο επίλογος, που θα επισημαίνει τα κύρια συμπεράσματα και τις προοπτικές για να εξεταστούν κι άλλα σχετικά ερωτήματα, στο μέλλον Επίσης, να προστεθεί και η βιβλιογραφία που χρησιμοποιήθηκε.