●Τα μαθηματικά του Νεύτωνα

Ισαάκ Νεύτων (1643-1727) Ο Σερ Ισαάκ Νεύτων ήταν Άγγλος Φυσικός, Μαθηματικός, Αστρονόμος, Φιλόσοφος, Αλχημιστής και Θεολόγος.

απειροστικού λογισμού Ο Νεύτωνας δημιούργησε τον απειροστικό λογισμό Μεγάλης ιστορικής σημασίας υπήρξε η καθοριστική συμβολή του στη θεμελίωση των σύγχρονων μαθηματικών και συγκεκριμένα του απειροστικού λογισμού Ο Νεύτωνας δημιούργησε τον απειροστικό λογισμό για να επεξηγήσει φυσικά φαινόμενα τα οποία αναλύονται στο έργο του Principia Mathematica.

1.Διαφορικος Λογισμος  Διαφορικός λογισμός είναι Θεωρία λογισμού, που ασχολείται με ποσότητες που μεταβάλλονται στην αύξηση τους κατά απείρως μικρές διαφορές σε μερικά μεταβλητά μεγέθη.

Πρόβλημα εφαπτομένης 1. Ποια είναι η καλύτερη γραμμική προσέγγιση μίας καμπύλης; 2. Πώς εντοπίζονται μέγιστα ή ελάχιστα; 3. Ποιά είναι η διεύθυνση της ταχύτητας ενός σώματος που κινείται σε καμπύλη;

2.Ολοκληρωτικός λογισμός Πώς υπολογίζω το εμβαδόν ενός καμπυλόγραμμου χωρίου; Πώς υπολογίζω το έργο δύναμης;

Παρά το γεγονός ότι ο Νεύτωνας ανακάλυψε και κατάλαβε την χρήση του διαφορικού και ολοκληρωτικού λογισμού, στις αποδείξεις στα Principia χρησιμοποίησε την Ευκλείδεια Γεωμετρία ως μαθηματικά πλήρη αποδεικτική μέθοδο.

Principia Ο Νεύτωνας στο έργο του Principia Mathematica ασχολήθηκε με την γεωμετρική αναπαράσταση των φυσικών κινήσεων.

Στα Principia αναφέρει ότι ένα σωματίδιο υπό την επίδραση της κεντρομόλου δύναμης από ένα σταθερό σημείο διαγράφει σε ίσους χρόνους ίδιο εμβαδό, γενικεύοντας έτσι τον δεύτερο νόμο του Κέπλερ. Επίσης περιγράφει μέσα σε αυτά διάφορες τροχιές από την εστία μίας έλλειψης.

Γιατί όλα αυτά; Αρχικά ο Νεύτωνας και ο Κέπλερ σχεδίασαν τις πλανητικές τροχιές με γεωμετρικό τρόπο. Ωστόσο, οι ελλείψεις δεν έχουν φυσική ύπαρξη στο χώρο. Είναι αόρατες τροχιές που διαγράφουν οι πλανήτες. H εύρεση ενός μαθηματικού εργαλείου που θα περιέγραφε τούς πλανήτες σε κίνηση αντί να κατασκευάζονται οι τροχιές τους γεωμετρικά ένα-ένα σημείο θα ήταν πολύ χρήσιμη.

Προηγούμενες προσπάθειες Όσοι προσπάθησαν να περάσουν από μία σειρά ευθύγραμμων κινήσεων σε μια γνήσια και ομαλή τροχιά επανέφεραν στο προσκήνιο το πρόβλημα του απείρου και των απειροστών. Αυτός που πρώτος προσπάθησε να κάνει χρήση του απειροστικού λογισμού ήταν ο Αρχιμήδης ο οποίος είχε αναπτύξει δύο μεθόδους εύρεσης εμβαδών που περικλείονται από καμπύλες γραμμές.

Οι επόμενες προσπάθειες έγιναν από τον Κέπλερ, ο οποίος χρησιμοποιεί απειροστικές μεθόδους για να υπολογίσει το εμβαδόν που διαγράφεται από έναν πλανήτη σε ελλειπτική τροχιά. στο βιβλίο του Stereometria το 1615 και από τον Γαλιλαίο. Την ίδια περίοδο ο Μποναβεντούρα Καβαλιέρι μαθητής του Γαλιλαίου με το βιβλίο του Geometria indivisibilibus continuorum( Γεωμετρία των αδιαιρέτων συνεχών) το 1635 ασχολήθηκε και αυτός με τον απειροστικό λογισμό

Όμως πιο κοντά στον σημερινό διαφορικό λογισμό ήταν ο Πιερ ντε Φερμά, ο οποίος δεν χρησιμοποίησε την έννοια της οριακής προσέγγισης . Σε κανένα από τα γραπτά του για την απειροστική ανάλυση δεν αναφέρει την κατεξοχήν ιδιότητα της, που είναι η εύρεση των εφαπτόμενων και των εμβαδών είναι στην ουσία αντίστροφες πράξεις. Ούτε μπόρεσε να επεκτείνει το είδος των συναρτήσεων που λύνονταν με τις μεθόδους του.

Η πληθώρα μεθόδων που προηγήθηκαν του απειροστικού λογισμού σύντομα αποκρυσταλλώθηκε σε έναν νέο κλάδο μαθηματικών. Όπως συμβαίνει συχνά στην ιστορία , ότι θεωρείται επαναστατικό υπάρχει ήδη στην περιρρέουσα ατμόσφαιρα, περιμένοντας να το συλλάβει κάποιος και να το διατυπώσει κατάλληλα.

Στη περίπτωση αυτή δυο ήταν οι «κάποιοι» που κατάφεραν να το κάνουν.

ΛΙΓΑ ΛΟΓΙΑ ΓΙΑ ΤΟΝ ΛΑΙΜΠΝΙΤΣ

Ο Γκότφριντ Βίλχελμ Λάιμπνιτς (Gottfried Wilhelm Leibnitz 1 Ιουλίου 1646, Λειψία - 14 Νοεμβρίου 1716, Αννόβερο) ήταν γερμανός φιλόσοφος καθώς και επιστήμονας, μαθηματικός, διπλωμάτης, φυσικός, ιστορικός, βιβλιοθηκονόμος και διδάκτορας των λαϊκών και εκκλησιαστικών Νομικών. Ο Λάιμπνιτς ήταν ένας από τους βασικούς φιλοσόφους του 17ου και του 18ου αιώνα και θεωρείται ως καθολικό πνεύμα της εποχής του (homo universalis): έχει αποκληθεί «ο πολυμαθέστερος ανήρ μετά τον Αριστοτέλην»).

ΝΕΥΤΩΝ vs ΛΆΙΜΠΝΙΤΣ

. Οι κατηγορίες O Leibniz δημοσίευσε το λογισμό του σε μια πραγματεία το 1684 στο Acta Eruditorium(περιοδικό που πρωτοεκδόθηκε το 1682 με αρχισυντάκτη τον Leibniz). Επί δεκαπέντε χρόνια θεωρούνταν ως ο μόνος πνευματικός πατέρας του λογισμού. Ούτε στους φίλους του δεν είχε κάνει λόγο για την αλληλογραφία του με το Newton. Ένας από τούς φόβους του ήταν τα συμπεράσματα που θα έβγαζαν οι Άγγλοι και οι αντιδράσεις των δικών του οπαδών .Ο Keill, φανερός υποστηρικτής του Newton, σε μία εργασία του το 1708 εκφράζει ξεκάθαρα την άποψη ότι πέραν πάσης αμφιβολίας ο Newton επινόησε πρώτος την περίφημη μέθοδο των ροών. Ο Leibniz αποφασίζει να στείλει επιστολή διαμαρτυρίας στη Βασιλική Εταιρία το 1711 για την “ανάρμοστη κατηγορία” του Keill και να απαιτήσει να αναγνωριστεί η αθωότητά του..Για κακή του τύχη την περίοδο εκείνη ο Newton καθόταν στην προεδρική καρέκλα της Βασιλικής Εταιρίας γεγονός που, όπως καταλαβαίνετε, του έδινε επιπρόσθετη δύναμη .

Το 1712 όταν η διαμάχη είχε αποκτήσει αρκετή ορμή, Βασιλική Εταιρία σε ρόλο δικαστή όρισε μία επιτροπή με αντικείμενο την εξέταση των επιστολών και των χειρογράφων που σχετίζονταν με το ζήτημα. Μέλη της δεν ήταν παρά ορισμένοι από τους οπαδούς του Newton. Όπως ήταν αναμενόμενο η επιτροπή τάθηκε υπέρ...του Newton και ούτε λίγο ούτε πολύ καταδίκασε το Leibnιz. Ωστόσο η αίσθηση που είχε κάνει ο Leibnιz στον κόσμο των επιστημών ήταν πολύ μεγάλη για να εκτοπιστεί στο περιθώριο ως απατεώνας. Αντέδρασε με την charta volans μία υποτιθέμενη ανώνυμη δημοσίευση όπου κατηγορούσε ευθέως το Newton και τους οπαδούς του για κλοπή του διαφορικού λογισμού από τον ίδιο.

Η φιλοσοφία του Newton ήταν πειραματική ,του Leibnιz υποθετική. H διαμάχη για την πατρότητα επεκτάθηκε και στις φιλοσοφικές διαφορές που χώριζαν τους δύο άντρες και αυτές δεν ήταν λίγες. Για παράδειγμα ο Newton πίστευε ότι το σύμπαν θα μπορούσε να θεωρηθεί ως ρολόι το οποίο ο Θεός είχε θέσει σε λειτουργία στην αρχή της δημιουργίας. Η αντίθεση του Leibnιz εδώ είναι πως αν το ρολόι μπορούσε να λειτουργεί αιωνίως χωρίς τη βοήθεια του Θεού, δεν θα υπήρχε καμία ανάγκη για Θεό. Επιπλέον οι δύο άντρες είχαν ολότελα διαφορετικές αντιλήψεις για το χώρο και το χρόνο. Η φιλοσοφία του Newton ήταν πειραματική ,του Leibnιz υποθετική.

Ο Λάιμπνιτς υποστήριζε ότι η δύναμη είναι μια εσωτερική ιδιότητα της ύλης και η δύναμη είναι κάτι περισσότερο πραγματικό από την ίδια την ύλη. Διαιρώντας την ύλη σε όλο και λεπτότερα κομμάτια (κάτι που θυμίζει διαφορικό λογισμό), αυτό που καταλήγουμε δεν είναι πια ύλη αλλά άυλες μεταφυσικές οντότητες, οι οποίες είναι πηγές των δυνάμεων. Για να μπορέσει να περιγραφεί επαρκώς η φύση πρέπει, σύμφωνα με τον Λάιμπνιτς, εκτός από την ύλη και τις δυνάμεις, να συμπεριλάβουμε στις θεωρήσεις μας την ψυχή και τη βούληση. Το σύνολο αυτό των όντων και των διεργασιών που αποτελεί τη φύση, είναι ο ίδιος ο θεός!

Ο Νεύτων είχε επίσης μηχανοκρατική αντίληψη των πραγμάτων, αλλά αναγνώριζε την ύπαρξη και τη σημασία των δυνάμεων. Για το μεγάλο αυτό ερευνητή η ύλη ήταν σύνολο αδρανών σωματιδίων και ανάμεσα σε κάθε ζεύγος αυτών των σωματιδίων δρα μια, ελκτική ή απωστική δύναμη! Πάντως και ο Νεύτων κάνει λόγο σε αλχημιστικές και θεολογικές μελέτες του για παρεμβολή θεϊκών δυνάμεων, οι οποίες όμως σε καμιά περίπτωση δεν ήταν εσωτερικές. Αν αρνηθούμε, έγραφε, την ύπαρξη και των δυνάμεων, είναι σαν να αρνούμαστε την ύπαρξη του θεού! μηχανιστική αντίληψη μηχανοκρατία Φιλοσοφική θεωρία η οποία ως κύριο στόχο της έχει να ερμηνεύσει καθετί που συμβαίνει με βάση το σχήμα αιτία - αποτέλεσμα. Ο όρος χρησιμοποιείται για να δηλώσει γνωστική μέθοδο που βασίζεται στην ιδέα ότι η μηχανική μορφή κίνησης της ύλης είναι η μόνη που μπορεί να οδηγήσει σε αντικειμενική γνώση της πραγματικότητας. Οι μηχανιστικές αντιλήψεις τοποθετούν στη βάση της ανάπτυξής τους τη σταθερή και αμετάβλητη σε ιδιότητες ύλη και επιχειρούν την ερμηνεία των φαινομένων με την αναγωγή τους στις αρχές της κίνησης και της ύλης

ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ Ποιος πέτυχε πρώτος; Ο Newton ή ο Leibniz; Εξαιτίας του όγκου των εργασιών του Newton που διασώθηκαν είναι πλέον αποδεκτό ότι ο Newton ήταν ο πρώτος που επινόησε το λογισμό. Αρχικά διαμόρφωσε τη θεωρία των ροών το 1665-1666 την εποχή εκείνη ο Leibnιz δεν είχε καμιά γνώση μαθηματικών. Έφτασε στο λογισμό ανεξάρτητα από το Νewton κατά τη χρονική περίοδο 1673-1676.Κάποιοι ιστορικοί έχουν θεωρήσει τον Leibnιz ως δεύτερο επινοητή του λογισμού γεγονός που δεν του στερεί την αναγνώριση του ότι σ' εκείνον οφείλεται επινόηση των αλγοριθμικών διαδικασιών αλλά και του σημερινού, ευρέως διαδεδομένου συμβολισμού.

Για κάποιους άλλους , ο Leibniz άξιζε όλα τα εύσημα εφόσον οι μέθοδοί του και ο συμβολισμός του άντεξαν στο χρόνο και εξελίχτηκαν από τους μεταγενέστερους μαθηματικούς . Επινόησε ανεξάρτητα τον Απειροστικό Λογισμό , δημοσίευσε πρώτος τις ιδέες του , ανέπτυξε τον Απειροστικό Λογισμό περισσότερο απ' ότι ο Newton δημιούργησε πολύ ανώτερο συμβολισμό , και εργάστηκε πολύ για να εξελίξει τον Απειροστικό Λογισμό και να τον θέσει σε ένα εύχρηστο μαθηματικό πλαίσιο.

ΑΠΟΨΕΙΣ ΙΣΤΟΡΙΚΩΝ Ο S.Bardi γράφει στο βιβλίο του για τη διαμάχη: πρόκειται για μία από τις πιο συναρπαστικές ιστορίες στην πορεία της επιστήμης επειδή σε αυτή συνδυάζονται τα πιο ένδοξα επιστημονικά επιτεύγματα με μία από τις πιο εξουθενωτικές και προσωπικές διαμάχες που διεξήχθησαν ποτέ στο χώρο της διανόησης .Και πιθανόν να είναι η μόνη τόσο σφοδρή αντιπαράθεση στην ιστορία της επιστήμης που δόθηκε από δύο τόσο μεγάλες διάνοιες τις μεγαλύτερες ,ίσως, της εποχής τους.

Ο Dirk Struik στο βιβλίο του Συνοπτική ιστορία των Μαθηματικών αναφέρει χαρακτηριστικά: είναι τώρα βέβαιο ότι και οι δύο επινόησαν τις μεθόδους τους ανεξάρτητα ο ένας από τον άλλο .Ο Newton βρήκε πρώτος το λογισμό (Ο Newton στα 1665-66,ο Leibnιz στα 1673-76),αλλά ο Leibniz τον δημοσίευσε πρώτος (ο Leibniz το 1684-86 Newton 1704-06).Η σχολή του Leibniz ήταν πολύ λαμπρότερη από αυτή του Newton ”