ANAKOINWSH H 2η Ενδιάμεση Εξέταση μεταφέρεται στις 1300-1500 αντί για 1000-1200, την 24 Νοεμβρίου στις αίθουσες ΧΩΔ01 109 και 110 λόγω μη-διαθεσιμότητας των αιθουσών

Κίνηση σε δύο και τρεις διαστάσεις Κεφάλαιο 3 Κίνηση σε δύο και τρεις διαστάσεις Σε αυτό το κεφάλαιο θα μελετήσουμε την κίνηση αντικειμένων σε δύο (επίπεδο) και τρεις διαστάσεις (χώρο). Θα ορίσουμε σε αυτή την περίπτωση τα διανύσματα της Μετατόπισης Μέσης και Στιγμιαίας Ταχύτητας Μέσης και Στιγμιαίας Επιτάχυνσης Θα μελετήσουμε τέλος ένα χαρακτηριστικό παραδείγματα κίνησης σε δύο διαστάσεις, την κίνηση σώματος κατά την διάρκεια βολής

Διάνυσμα θέσης Το διάνυσμα θέσης r ενός αντικειμένου ορίζεται ως το διάνυσμα του οποίου η αρχή βρίσκεται σε ένα σημείο αναφοράς (συνήθως αυτό είναι η αρχή των συντεταγμένων Ο) και το τέλος του βρίσκεται στο εν λόγω αντικείμενο. P Στο παράδειγμα του σχήματος:

Διάνυσμα Μετατόπισης Για ένα αντικείμενο του οποίου το διάνυσμα θέσης αλλάζει από r1 σε r2, ορίζουμε το διάνυσμα μετατόπισης Δr ως: Τα διανύσματα θέσης r1 και r2 γράφονται συναρτήσει των συνιστωσών: Tο διάνυσμα μετατόπισης Δr δίνεται τότε: t2 t1

Μέση και Στιγμιαία Ταχύτητα Μέση ταχύτητα Στιγμιαία ταχύτητα

Όταν Δt → 0: 1.To r2 κινείται προς το r1 και το Δr → 0 2.Η διεύθυνση του διανύσματος Δr/Δt πλησιάζει την διεύθυνση της εφαπτομένης στη διαδρομή στην θέση 1 3. Στο όριο αυτό η μέση ταχύτητα ταυτίζεται με την στιγμιαία uavg → u όπου t t + Δt Συνιστώσες στιγμιαίας ταχύτητας για 2 διαστάσεις

Μέση και Στιγμιαία Επιτάχυνση Η μέση επιτάχυνση ορίζεται ως: Η στιγμιαία επιτάχυνση ορίζεται για το όριο: Σημείωση: Αντίθετα από την ταχύτητα το διάνυσμα της επιτάχυνσης δεν μπορεί να οριστεί με απλό τρόπο ως προς την διαδρομή που ακολουθεί το σώμα

Μέση και Στιγμιαία Επιτάχυνση

Κίνηση Βολής Η κίνηση αντικειμένου σε κατακόρυφο επίπεδο (δισδιάστατη κίνηση) κάτω από την επίδραση της δύναμης της βαρύτητας είναι γνωστή ως κίνηση βολής. -Ποια προσέγγιση θεωρούμε για να έχουμε κίνηση βολής; -Γιατί το σώμα κατά την βολή κινείται σε δύο διαστάσεις; Η βολή αναλύεται σε μια οριζόντια και μια κάθετη κίνηση, κατά μήκος των αξόνων x/y αντίστοιχα. Οι δύο κινήσεις είναι ανεξάρτητες η μία από την άλλη (αρχή της επαλληλίας) g

Οριζόντια κίνηση: Ευθύγραμμη Ομαλή Κατακόρυφη κίνηση: Ελεύθερη Πτώση xo και yo είναι οι συντεταγμένες του σημείου βολής. Συνήθως ορίζουμε το σημείο αυτό ως την αρχή των συντεταγμένων, οπότε xo = 0, yo = 0. Αναλύοντας την ταχύτητα :

Αν απαλείψουμε τον χρόνο από τις x = x(t) και y = y(t) τότε: Αυτή ονομάζεται η εξίσωση τροχιάς y = y(x) Τι είδους καμπύλη περιγράφει η εξίσωση;

R γίνεται μέγιστο για θ0 = 45º Βεληνεκές: Ορίζεται ως η συνολική μετατόπιση R του αντικειμένου στον οριζόντιο άξονα. Οπότε για y = 0 από την (4): Αυτή η εξίσωση έχει δύο λύσεις: Λύση 1: Αυτή η λύση αναφέρεται στο σημείο βολής (Ο) Λύση 2: Αυτή η λύση αναφέρεται στο βεληνεκές Λύνοντας ως προς t: Αν αντικαταστήσουμε το t στην eqs 2: O A R t R γίνεται μέγιστο για θ0 = 45º

Παρατηρήστε πως μεταβάλλεται το βεληνεκές συναρτήσει της γωνίας βολής για σταθερό μέτρο της αρχικής ταχύτητας ui

A t H g Μέγιστο Ύψος H Το μέγιστο ύψος κατά την βολή λαμβάνεται από την κίνηση στον άξονα y κατά την στιγμή μηδενισμού της vy Για

Μεθοδολογία Επίλυσης Προβλημάτων Βολής: 1. Σχεδιάστε ένα σύστημα συντεταγμένων. Στο μεγαλύτερο μέρος των περιπτώσεων συμφέρει να ορίσετε την αρχή των συντεταγμένων στο σημείο βολής (x0 = y0 =0) 2. Αναλύστε την αρχική ταχύτητα στις δύο συνιστώσες της στους άξονες x και y 3. Γράψτε τις εξισώσεις ευθύγραμμης ομαλής κίνησης για τον οριζόντιο άξονα x 4. Γράψτε τις εξισώσεις κίνησης με σταθερή επιτάχυνση (επιβράδυνση) για τον κατακόρυφο άξονα y 5. Χρησιμοποιήστε τα δεδομένα του προβλήματος και αντικαταστήστε στις παραπάνω εξισώσεις για να προσδιορίσετε τα ζητούμενα μεγέθη