Θεμελιώδεις Αρχές της Μηχανικής Οι παρακάτω βασικές διατηρητικές αρχές έχουν διατυπωθεί για ένα σύστημα

Σύστημα - Όγκος Ελέγχου Ως Σύστημα ορίζεται δεδομένη ποσότητα μάζας, τα όρια της οποίας δεν διαπερνώνται από υλικό. Ως Όγκος ελέγχου ορίζεται περιοχή του χώρου η οποία επιλέγεται προς ανάλυση, μέσω των ορίων της οποίας μπορεί να διέρχεται υλικό. Οι Θεμελιώδεις νόμοι της φυσικής, π.χ. διατήρηση μάζας, ενέργειας και ορμής, εφαρμόζονται σε Συστήματα. Όμως στα περισσότερα προβλήματα της Ρευστομηχανικής η ανάλυση μέσω Όγκου Ελέγχου είναι προτιμητέα αυτής μέσω Συστήματος (όπως η Οιλεριανή περιγραφή είναι προτιμητέα της Λαγκραντζιανής στην διαφορική ανάλυση της ροής διότι, μεταξύ άλλων, στην δεύτερη περίπτωση τα περισσότερα προβλήματα διατυπώνονται ως μεταβατικά) Συνεπώς είναι χρήσιμο να μετασχηματίσουμε τις βασικές αρχές διατήρησης ώστε να εκφρασθούν για Όγκο Ελέγχου. Αυτό επιτυγχάνεται μέσω του Θεωρήματος Μεταφοράς Reynolds (Reynolds Transport Theorem ή RTT).

Θεώρημα Μεταφοράς Reynolds

Κινούμενος ΟΕ Υλικός Όγκος όπου περιέχεται σε κάθε χρονική στιγμή το εξεταζόμενο σύστημα Κινούμενος Όγκος Ελέγχου Έστω εκτατική ποσότητα ΒΣυστ(x(t),t) και η αντίστοιχή της ανά μονάδα όγκου Β μέσα σε υλικό όγκο Vm(t). Κάθε σημείο του όγκου αυτού ορίζεται με βάση την αρχική του θέση και το πεδίο ταχυτήτων

Η μεταβολή της συνολικής ποσότητας ΒΣυστ μέσα στον Υλικό Όγκο, που αποτελεί μέρος κινούμενου ρευστού, μέσα σε απειροστό χρόνο δt δίνεται από την σχέση

Μάζα Ορμή Ενέργεια Στροφορμή Γενικευμένο θεώρημα Leibniz για κινούμενο όγκο ελέγχου ταχύτητας ο οποίος ταυτίζεται με το σύστημα κατά την χρονική στιγμή t=0 Γενικευμένο θεώρημα μεταφοράς Reynolds για κινούμενο Όγκο Ελέγχου – Εφαρμογή στην Ολοκληρωτική Ανάλυση της Ροής μέσω Όγκου Ελέγχου Εισαγωγή εντατικής ιδιότητας b Το θεώρημα μεταφοράς Reynolds χρησιμοποιείται για την διατύπωση των αρχών διατήρησης μάζας, ενέργειας, γραμμικής ορμής και στροφορμής σε διαφορική και ολοκληρωτική μορφή Μάζα Ορμή Ενέργεια Στροφορμή BΣυσ, Εκτατική Ιδιότητα m E b BΣυσ/m, Εντατική Ιδιότητα 1 e

Θεώρημα Μεταφοράς Reynolds Ερμηνεία: Η χρονική μεταβολή της ιδιότητας B του συστήματος ισούται με το άθροισμα (Όρος 1) + (Όρος 2) Όρος 1: Χρονική μεταβολή της B μέσα στον Όγκο Ελέγχου Όρος 2: Καθαρή εκροή της ιδιότητας Β από τον Όγκο Ελέγχου μέσω των τοιχωμάτων της διεπιφάνειάς του με το περιβάλλον 1ος Όρος 2ος Όρος για ακίνητο ΟΕ

Ειδικές Μορφές Για κινούμενους ή παραμωρφούμενους Όγκους Ελέγχου Η απόλυτη ταχύτητα στον δεύτερο όρο έχει αντικατασταθεί από την σχετική ταχύτητα είναι η ταχύτητα του ρευστού ως προς σύστημα που κινείται με την ταχύτητα του Όγκου Ελέγχου.

Ειδικές Μορφές Για μόνιμη κατάσταση η χρονοπαράγωγος μηδενίζεται Για όγκους ελέγχου με καλά καθορισμένες και σχετικά λεπτές εισόδους και εξόδους Για ασυμπίεστο ρευστό ρ=σταθερό

Διατήρηση Μάζας - Διαφορική Μορφή Ρυθμός ροής μάζας ανά μονάδα επιφάνειας Εάν δεν υπάρχουν πηγές ή καταβόθρες στον ΟΕ Εξίσωση Συνέχειας Οιλεριανή αναπαράσταση Χρήση Μερικής Παραγώγου Λαγκραντζιανή αναπαράσταση Χρήση Υλικής Παραγώγου για κάθε σωματίδιο Για ασυμπίεστο ρευστό Για μόνιμη ροή

Διατήρηση Μάζας - Ολοκληρωτική Μορφή Γενική αρχή διατήρησης μάζας για ακίνητο Όγκο Ελέγχου οποιουδήποτε σχήματος Ρυθμός μεταβολής μάζας μέσα στον ΟΕ Καθαρή εκροή μάζας από τα τοιχώματα του ΟΕ

Παράδειγμα: Ισοζύγιο μάζας σε δεξαμενή που γεμίζει με νερό Για να βρούμε τον ρυθμό αύξησης της στάθμης της δεξαμενής εφαρμόζουμε την αρχή διατήρησης μάζας ως εξής: 1 2 Ως Όγκος Ελέγχου ορίζεται το εσωτερικό της δεξαμενής με άνω όριο το νοητό επίπεδο στην κορυφή της Νερό εισέρχεται και εξέρχεται στην δεξαμενή μέσω των διατομών 1 και 2 ενώ η διατομή της δεξαμενής Α και το ύψος της h θεωρούνται σταθερά Το νερό είναι ασυμπίεστο

Διεργασίες σε Μόνιμη Κατάσταση Σε μόνιμη κατάσταση η συνολική μάζα μέσα στον ΟΕ παραμένει σταθερή. Η συνολική μάζα που εισέρχεται στον ΟΕ ισούται με την εξερχόμενη Για ασυμπίεστη ροή ρ=σταθερό Για ασυμπίεστο ρευστό ακόμα και σε μη μόνιμη κατάσταση η μάζα που περιέχεται στον ΟΕ παραμένει αμετάβλητη Οι χρονικές μεταβολές της ταχύτητας στην είσοδο αντανακλούν άμεσα στις ταχύτητες εξόδου χωρίς να επηρεάζεται η μάζα του ΟΕ, π.χ. για μία είσοδο και μία έξοδο