ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΕΣ ΚΑΜΠΥΛΕΣ

ΣΤΟΧΟΙ: Με τη συμπλήρωση της ενότητας αυτής ο/η μαθητής/τρια πρέπει: 1. Να σχεδιάζει γεωμετρικές καμπύλες (ελλειψοειδή, ωοειδή, παραβολή, υπερβολή, έλικα, σπείρα) εφαρμόζοντας τους κανόνες καλής σχεδίασης και γραμμογραφίας. 2. Να κατανοεί τη σημασία της εφαρμογής τους σε πολύπλοκες κατασκευές.

ΓΕΝΙΚΑ: Οι γεωμετρικές καμπύλες έχουν εφαρμογές σε σχέδια ορισμένων κατασκευών ή μηχανισμών όπως γεφύρια, κτίρια, άξονες, σκάλες, μηχανολογικά εξαρτήματα κ.α. Η γνώση της κατασκευής των γεωμετρικών καμπύλων είναι αναγκαία, διότι είναι απαραίτητη για τη σχεδίαση και την κατασκευή πολυσύνθετων αντικειμένων.

ΕΛΛΕΙΨΟΕΙΔΗΣ ΚΑΜΠΥΛΗ Η ελλειψοειδής καμπύλη είναι μια επίπεδη κλειστή καμπύλη που αποτελείται από τέσσερα τόξα κύκλου, από τα οποία τα δύο απέναντι είναι όμοια και ίσα.

Χάραξη ελλειψοειδούς καμπύλης, όταν δίνεται ο μεγάλος άξονας ΑΒ Χαράζουμε το μεγάλο άξονα ΑΒ, τον οποίο διαιρούμε σε 4 ίσα μέρη και ορίζουμε τα σημεί 1, 2, 3. Με κέντρο τα σημεία 1 και 3 και ακτίνα R1 = Α1 χαράζουμε δύο περιφέρειες κύκλου που εφάπτονται στο σημείο 2. Με κέντρο, επίσης, τα σημεία 1 και 3 και ακτίνα R2 = Α2, χαράζουμε τόξα τα οποία τέμνονται στα σημεία Μ και Ν. Χαράζοντας τα ευθύγραμμα τμήματα Μ1, Μ3, Ν1, Ν3 και

Χάραξη ελλειψοειδούς καμπύλης, όταν δίνεται ο μεγάλος άξονας ΑΒ (συνέχεια) προεκτείνοντάς τα μέχρι να τέμνουν τις περιφέρειες των κύκλων, που χαράξαμε με κέντρα τα σημεία 1 και 3, ορίζουμε τα σημεία Η, Θ, Ε, Ζ. Με κέντρο τα σημεία Μ και Ν και ακτίνα R3 = Α3, χαράζουμε τόξα κύκλου τα οποία ενώνονται στα σημεία Η, Θ και Ε, Ζ με τις περιφέρειες των κύκλων που χαράξαμε. Τα τόξα ΕΗ, ΖΘ και ΕΖ, ΗΘ σχηματίζουν τη ζητούμενη ελλειψοειδή καμπύλη.

Χάραξη ελλειψοειδούς καμπύλης, όταν δίνεται ο μικρός άξονας Χαράζουμε το μικρό άξονα ΓΔ. Κατασκευάζουμε ένα τετράγωνο ΓΝΔΜ με διαγώνιό του το ΓΔ. Με κέντρο τα σημεία Γ και Δ και ακτίνα ΓΔ χαράζουμε δύο τόξα που τέμνουν τις προεκτάσεις των πλευρών του τετραγώνου στα σημεία Η, Θ και Ε, Ζ αντίστοιχα. Με κέντρο τα σημεία Μ και Ν και ακτίνα R = ΜΕ χαράζουμε άλλα δύο τόξα κύκλου που ενώνονται με τα προηγούμενα στα σημεία Ε, Η και Ζ, Θ. Τα τόξα ΕΖ, ΗΘ και ΕΗ, ΖΘ σχηματί- ζουν τη ζητούμενη ελλειψοειδή καμπύλη

ΩΟΕΙΔΗΣ ΚΑΜΠΥΛΗ Η ωοειδής καμπύλη είναι μια επίπεδη κλειστή καμπύλη που αποτελείται από τέσσερα τόξα κύκλου, από τα οποία τα δύο είναι ίσα και τοποθετημένα απέναντι το ένα στο άλλο. Τα άλλα δύο τόξα είναι διαφορετικά.

Χάραξη ωοειδούς, όταν δίνεται ο μικρός άξονας ΓΔ Χαράζουμε το μικρό άξονα ΓΔ. Με κέντρο το Ο και ακτίνα R = ΓΔ/2 χαράζουμε περιφέρεια κύκλου. Χαράζουμε τη διάμετρο ΑΜ, κάθετη στη ΓΔ και την προεκτείνουμε. Χαράζουμε τα ευθύγραμμα τμήματα ΓΜ και ΔΜ και τα προεκτείνουμε. Με κέντρο τα σημεία Γ και Δ και ακτίνα R1 = ΔΓ χαράζουμε δύο τόξα που τέμνουν τις προεκτάσεις των ΓΜ και ΔΜ στα σημεία Ζ και Ε αντίστοιχα. Με κέντρο το Μ και ακτίνα R2=ΜΕ=ΜΖ χαράζουμε το τόξο ΕΒΖ. Η ημιπεριφέρεια ΔΑΓ μαζί με τα τόξα ΓΕ, ΕΒΖ και ΖΔ σχηματίζουν το ζητούμενο ωοειδές σχήμα.

Χάραξη ωοειδούς, όταν δίνεται ο μεγάλος άξονας Χαράζουμε το μεγάλο άξονα ΑΒ. Χαράζουμε κάθετη στο ΑΒ, στο σημείο Α και ορίζουμε πάνω σε αυτήν ευθύγραμμο τμήμα ΑΕ = ΑΒ/2. Ενώνοντας τα σημεία Ε και Β ορίζουμε πάνω στο ευθύγραμμο τμήμα ΕΒ, τμήμα ΕΖ = ΕΑ. Με κέντρο το Β και ακτίνα ΒΖ χαράζουμε τόξο το οποίο τέμνει το ΑΒ στο σημείο Ο. Με κέντρο το Ο και ακτίνα το ΟΑ χαράζουμε κύκλο που τέμνει το ΑΒ στο σημείο Η. Χαράζουμε τη διάμετρο ΓΔ κάθετη στο ΑΒ. Η ΓΔ είναι ο μικρός άξονας του ωοειδούς.

Χάραξη ωοειδούς, όταν δίνεται ο μεγάλος άξονας (συνέχεια) Ενώνουμε με ευθείες τα σημεία Γ και Δ με το Η και τις προεκτείνουμε. Με κέντρο τα σημεία Γ και Δ και ακτίνα R = ΔΓ χαράζουμε τόξα που τέμνουν τις προεκτάσεις των ευθειών ΓΗ και ΔΗ στα σημεία Λ και Μ αντίστοιχα. Με κέντρο το Η και ακτίνα R1 = ΗΛ = ΗΜ χαράζουμε τόξο. Η ημιπεριφέρεια ΓΑΔ, τα τόξα ΓΜ, ΔΓ και ΜΒΛ σχηματίζουν το ζητούμενο ωοειδές σχήμα.

ΕΛΛΕΙΨΗ Έλλειψη είναι η γεωμετρική επίπεδη κλειστή καμπύλη γραμμή, της οποίας το άθροισμα των αποστάσεων κάθε σημείου της από δύο άλλα σταθερά σημεία που λέγονται εστίες, είναι σταθερό.

Χάραξη έλλειψης, όταν δίνονται και οι δύο άξονες (μέθοδος γεωμετρικών τόπων) Δίνονται ο μεγάλος άξονας της έλλειψης ΑΒ (οριζόντιος) και ο μικρός ΓΔ (κατακόρυφος). Με κέντρο το Γ (ή το Δ) και ακτίνα R = ΑΟ (ΑΒ/2) χαράζουμε τόξο κύκλου, το οποίο τέμνει το μεγάλο άξονα ΑΒ στα σημεία Ε1 και Ε2 (εστίες). Ορίζουμε πάνω στο ευθύγραμμο τμήμα Ε1Ο σημεία έστω 1, 2, 3, 4, 5, 6 που απέχουν ίσες αποστάσεις μεταξύ τους. Με κέντρο τις εστίες Ε1 και Ε2 και με ακτίνες 1Α και 1Β χαράζουμε

Χάραξη έλλειψης, όταν δίνονται και οι δύο άξονες (μέθοδος γεωμετρικών τόπων) (συνέχεια) τέσσερα τόξα κύκλου, τα οποία στα σημεία τομής τους ορίζουν 4 σημεία της έλλειψης (α). Συνεχίζοντας με τον ίδιο τρόπο και με ακτίνες 2Α και 2Β και τα ίδια κέντρα Ε1 και Ε2, ορίζουμε άλλα 4 σημεία της έλλειψης (β). Με τον ίδιο τρόπο ορίζουμε τα υπόλοιπα σημεία της έλλειψης, τα οποία ενώνουμε με τη βοήθεια καμπυλογράμμων για να σχημα- τίσουμε τη ζητούμενη έλλειψη.

Χάραξη έλλειψης (μέθοδος ομόκεντρων κύκλων) Δίνεται ο μεγάλος άξονας ΑΒ και ο μικρός άξονας ΓΔ μιας έλλειψης. Με κέντρο το σημείο τομής Ο των δύο αξόνων ΑΒ και ΓΔ και με ακτίνες ΑΒ/2 και ΓΔ/2 χαράζουμε δύο ομόκεντρους κύκλους. Χωρίζουμε τους κύκλους σε 12 ίσα μέρη, φέροντας από το κέντρο Ο ακτίνες οι οποίες τέμνουν τις περιφέρειες των κύκλων. Η περιφέρεια του μικρού κύκλου τέμνεται στα σημεία 1΄, 2΄, 3΄, 4΄ ... 1΄, 12΄ και του μεγάλου στα σημεία 1, 2, 3, 4 ... 11, 12.

Χάραξη έλλειψης (μέθοδος ομόκεντρων κύκλων) (συνέχεια) Από τα σημεία 1΄, 2΄, 3΄, 4΄, ... χαράζουμε οριζόντιες γραμμές, ενώ από τα σημεία 1, 2, 3, 4, ... χαράζουμε κάθετες. Τα σημεία τομής των οριζόντιων και των κάθετων γραμμών είναι σημεία της έλλειψης. Ενώνοντας όλα τα σημεία με τη βοήθεια καμπυλογράμμων σχηματίζεται η ζητούμενη έλλειψη.

Χάραξη έλλειψης (μέθοδος παραλληλογράμμου) Δίνονται οι δύο άξονες ΑΒ και ΓΔ. Κατασκευάζουμε ορθογώνιο παραλληλόγραμμο ΚΛΜΝ με τις πλευρές ίσες με τους άξονες. Διαιρούμε το τμήμα ΑΚ και το τμήμα ΑΟ σε ίσα μέρη, (έστω 4). Στο ΑΚ ορίζονται τα σημεία 1΄, 2΄, 3΄ ενώ στο ΑΟ τα 1, 2, 3. Χαράζουμε ευθείες Γ1΄, Γ2΄, Γ3΄ και Δ1, Δ2, Δ3 οι οποίες τέμνονται στα σημεία της έλλειψης. Επαναλαμβάνουμε το ίδιο και στα άλλα τεταρτημόρια, για να ορίσουμε τα σημεία της έλλειψης με τα οποία, αφού τα ενώσουμε με τη βοήθεια καμπυλογράμμων, σχηματίζεται η ζητούμενη έλλειψη.

ΠΑΡΑΒΟΛΗ Παραβολή είναι μια ανοιχτή καμπύλη γραμμή, της οποίας κάθε σημείο απέχει ίση απόσταση από ένα σταθερό σημείο, την εστία Ε και από μια σταθερή ευθεία, την οδηγήτρια ή διευθετούσα Υ-Υ΄. ΕΑ = ΑΛ ΕΒ = ΒΜ ΕΓ = ΓΝ Ε: εστία παραβολής

Χάραξη παραβολής (μέθοδος γεωμετρικών τόπων) Δίνονται η θέση της εστίας Ε ως προς την σταθερή ευθεία (οδηγήτρια) ΥΥ΄. Χαράζουμε τον άξονα ΜΝ με τρόπο που να περνά από το σημείο Ε και να είναι κάθετη στην οδηγήτρια. Διχοτομούμε τη ΜΕ, για να βρούμε την κορυφή της παραβολής (σημείο Ο). Παίρνουμε έναν αριθμό σημείων 1, 2, 3 ... πάνω στην ευθεία ΟN. Στα σημεία 1, 2, 3 ... χαράζουμε κάθετες.

Χάραξη παραβολής (μέθοδος γεωμετρικών τόπων) (συνέχεια) Με κέντρο την εστία Ε και ακτίνα ίση με την απόσταση 1Μ χαράζουμε δύο τόξα με τρόπο που να τέμνουν την κάθετη που περνά από το σημείο 1, στα σημεία Α και Α΄. Με κέντρο και πάλι την εστία Ε και ακτίνα ίση με την απόσταση 2Μ χαράζουμε δύο τόξα με τρόπο που να τέμνουν την κάθετη που περνά από το σημείο 2, στα σημεία Β και Β΄. Εργαζόμαστε με τον ίδιο τρόπο, για να βρούμε τα σημεία Γ και Γ΄, Δ και Δ΄ κλπ.

Χάραξη παραβολής (μέθοδος παραλληλογράμμου) Δίνονται το μήκος ΟΚ και το πλάτος ΒΓ μιας παραβολής. Με βάση το μήκος και το πλάτος κατασκευάζουμε ορθογώνιο ΑΒΓΔ. Ορίζουμε ως κορυφή της παραβολής το σημείο Ο στο μέσο της ΑΔ. Διαιρούμε την ΑΒ σε 5 ίσα μέρη και ορίζουμε τα σημεία 1΄, 2΄, 3΄, 4΄. Χαράζουμε τα ευθύγραμμα τμήματα Ο1, Ο2, Ο3, Ο4. Από τα σημεία 1΄, 2΄, 3΄, 4΄ χαράζου- με ευθείες παράλληλες με την ΑΒ οι οποίες τέμνουν τα ευθύγραμμα τμήματα Ο1, Ο2, Ο3, Ο4 στα σημεία Ε, Ζ, Η, Θ τα οποία είναι σημεία της παραβολής.

Χάραξη παραβολής (μέθοδος παραλληλογράμμου) (συνέχεια) Με τη ίδια πορεία ορίζουμε και τα σημεία Ε΄, Ζ΄, Η΄, Θ΄ της παραβολής. Ενώνοντας όλα τα σημεία με τη βοήθεια καμπυλόγραμμων σχημα- τίζεται η παραβολή.

ΥΠΕΡΒΟΛΗ Υπερβολή είναι μια επίπεδη ανοιχτή γεωμετρική καμπύλη. Αποτελείται από δύο συμμετρικούς κλάδους (μέρη) και σχηματίζεται από ένα σημείο που κινείται, έτσι ώστε η διαφορά των αποστάσεών του από δύο σταθερά σημεία Ε και Ε΄ (εστίες) να είναι σταθερή και ίση με την απόσταση ΚΚ΄ (απόσταση των δύο κορυφών της υπερβολής) πάνω στον άξονα Υ-Υ΄.

Χάραξη υπερβολής (μέθοδος γεωμετρικών τόπων) Δίνεται ο κατακόρυφος κύριος άξονας Υ-Υ΄. Ορίζουμε πάνω σ’ αυτόν τις δύο εστίες Ε και Ε΄, καθώς και το μήκος του κυρίως άξονα ΚΚ΄. Ορίζουμε πάνω στον κύριο άξονα Υ-Υ΄ διαδoχικά σημεία (κατά προτίμηση να ισαπέχουν μεταξύ τους) 1, 2, 3, 4, 5 και 1΄, 2΄, 3΄, 4΄, 5΄. Με κέντρο την εστία Ε και ακτίνα1Κ χαράζουμε τόξα δεξιά και αριστερά του άξονα Υ-Υ΄. Με κέντρο την εστία Ε και ακτίνα 1Κ χαράζουμε τόξα που τέμνουν τα προηγούμενα στα σημεία Α και Α1 αντίστοιχα.

Χάραξη υπερβολής (μέθοδος γεωμετρικών τόπων) (συνέχ.) Συνεχίζοντας με τον ίδιο τρόπο και με ακτίνες 2Κ και 2Κ΄ και κέντρο τις εστίες Ε και Ε΄ αντίστοιχα, προσδιορίζουμε τα σημεία Β και Β1. με τον ίδιο τρόπο προσδιορίζουμε τα υπόλοιπα σημεία (Γ και Γ1, Δ και Δ1 κ.τ.λ.) του πάνω κλάδου της υπερβολής. Για να χαράξουμε τον κάτω κλάδο της υπερβολής, συνεχίζουμε με τον ίδιο τρόπο, με κέντρο τις εστίες Ε και Ε΄ και ακτίνες 1΄Κ΄ και 1΄Κ. Με κέντρο την εστία Ε΄και ακτίνα 1΄Κ΄ χαράζουμε τόξα δεξιά και αριστερά του κυρίως άξονα, στη συνέχεια με κέντρο την εστία Ε και ακτίνα 1΄Κ χαράζουμε τόξα που τέμνουν τα προηγούμενα στα σημεία Α΄ και Α΄1

Χάραξη υπερβολής (μέθοδος γεωμετρικών τόπων) (συνέχ.) Συνεχίζοντας με τον ίδιο τρόπο προσδιορίζουμε τα σημεία Β΄ και Β1΄, Γ΄ και Γ1΄, Δ΄ και Δ1΄ κ.τ.λ. Ενώνοντας τα σημεία με τη βοήθεια καμπυλογράμμων σχηματίζεται η υπερβολή.

Χάραξη υπερβολής (μέθοδος παραλληλογράμμου) Δίνεται το πλάτος της υπερβολής ΑΒ, το ύψος της ΚΖ και το μήκος του κύριου άξονά της (ΚΚ΄). Κατασκευάζουμε ορθογώνιο ΑΒΓΔ με πλευρές ΑΒ και ΒΓ, όπου η ΒΓ είναι ίση με το ύψος ΚΖ. Διαιρούμε τις πλευρές ΑΔ και ΔΖ σε ίσα μέρη, έστω πέντε, και σημειώ- νουμε 1΄, 2΄΄, 3΄΄, 4΄΄ και 1΄, 2΄, 3΄, 4΄ αντίστοιχα. Στην προέκταση της ΖΚ σημειώνου- με το Κ΄, ώστε το ευθύγραμμο τμήμα ΚΚ΄ να είναι ίσο με το δοσμένο μήκος του κυρίως άξονα Κ Κ΄.

Χάραξη υπερβολής (μέθοδος παραλληλογράμμου) (συνέχεια) Ενώνουμε τα σημεία 1΄, 2΄, 3΄, 4΄ με το Κ΄, ενώ τα σημεία 1΄΄, 2΄΄, 3΄΄, 4΄΄ με το Κ. Τα ευθύγραμμα τμήματα που προκύπτουν τέμνονται στα σημεία 1, 2, 3, 4 τα οποία είναι σημεία του αριστερού τμήματος της υπερβολής. Με τον ίδιο τρόπο προσδιορίζουμε τα σημεία του δεξιού τμήματος της υπερβολής. Ενώνουμε με καμπυλόγραμμα όλα τα σημεία και σχηματίζεται η ζητούμενη υπερβολή.

ΕΛΙΚΑ Έλικα είναι η καμπύλη η οποία παράγεται από ένα σημείο που κινείται με σταθερή ταχύτητα πάνω σε μια κυλινδρική επιφάνεια κατά τη διεύθυνση του άξονά της, ενώ ταυτόχρονα η κυλινδρική επιφάνεια περιστρέφεται με σταθερή ταχύτητα γύρω από τον άξονά της. Ανάλογα με τη φορά της κίνησης του κυλίνδρου, η έλικα λέγεται δεξιόστροφη ή αριστερόστροφη. Βήμα της έλικας ονομάζεται η απόσταση στην οποία μετατοπίζεται ένα σημείο κατά μήκος του άξονά της, όταν η κυλινδρική επιφάνεια κάνει μια πλήρη περιστροφή (360˚). Δηλαδή βήμα της έλικας είναι η απόσταση δύο διαδοχικών σημείων της που βρίσκονται πάνω στην ίδια γενέτειρα.

Χάραξη δεξιόστροφης έλικας Δίνεται το βήμα (Β) της έλικας και διάμετρος D Χαράζουμε κύκλο με διάμετρο D και διαιρούμε την περιφέρειά του σε αριθμό ίσων μερών, έστω 12. Προβάλλουμε τα σημεία διαίρεσης της περιφέρειας στο επίπεδο της πρόσοψης και ορίζουμε το βήμα Β της έλικας. Στη συνέχεια χαράζουμε κατακόρυφες γραμμές προς τα πάνω, ώστε να σχηματιστεί η όψη του κυλίνδρου με ύψος το βήμα Β. Διαιρούμε το βήμα (ύψος) σε 12 ίσα μέρη όσα και η κάτοψη (η διαίρεση κατά προτίμηση να γίνεται με γραφική μέθοδο) και τα αριθμούμε 1΄, 2΄, 3΄, 4΄, 5΄, 6΄, ...12΄. Χαράζουμε οριζόντιες γραμμές οι οποίες τέμνουν τις κατακόρυφες στα σημεία της έλικας. Ενώνουμε τα σημεία με καμπυλόγραμμα και σχηματίζεται η ζητούμενη έλικα.

Χάραξη αριστερόστροφης έλικας Για να σχεδιάσουμε αριστερόστροφη έλικα, εφαρμόζουμε την ίδια μέθοδο όπως και στη δεξιόστροφη. Η μόνη διαφόρα είναι στην αρίθμηση των σημείων στην κάτοψη του κύκλου που αρχίζει από τα δεξιά προς τα αριστερά.

ΣΠΕΙΡΑ Σπείρα ονομάζεται η καμπύλη που σχηματίζεται από ένα σημείο που κινείται, με σταθερή ταχύτητα, πάνω σε μια ευθεία η οποία περιστρέφεται ταυτόχρονα, με σταθερή ταχύτητα γύρω από ένα σημείο.

Χάραξη σπείρας του Αρχιμήδη Δίνεται το βήμα της σπείρας ΟΑ. Χαράζουμε ευθύγραμμο τμήμα ίσο με το βήμα ΟΑ και το διαιρούμε σε 12 ίσα τμήματα. Διαιρούμε τη γωνιά Ο, δηλ. 360˚, σε τόσα τμήματα όσα χωρίσαμε και το ευθύγραμμο τμήμα, δηλ. 12, και χαρά- ζουμε τις ευθείες Ο1, Ο2, Ο3, Ο4, .... Ο12. Με κέντρο πάντοτε το Ο και ακτίνες Ο11, Ο10, Ο9, Ο8... Ο1, χαράζουμε τόξα που τέμνουν τις αντίστοιχες ευθείες στα αντίστοιχα σημεία της σπείρας. Για να συνεχίσουμε τη σπείρα με περισσότερα βήματα, μεταθέτουμε τα σημεία κατά ένα βήμα στην αντίστοιχη ευθεία και ακολουθούμε την ίδια διαδικασία.

Χάραξη σπείρας (μέθοδος τεσσάρων εναλλασσόμενων κέντρων που είναι κορυφές τετραγώνου) Δίνεται το βήμα της σπείρας 1Γ. Με πλευρά το ¼ του βήματος 1Γ κατασκευάζουμε το τετράγωνο 1 2 3 4. Προεκτείνουμε τις πλευρές του τετραγώνου 2-1, 1-4, 4-3, 3-2. Με κέντρο το σημείο 2 και με ακτίνα 2-1 χαράζουμε τόξο το οποίο τέμνει την προέκταση της 3-2 στο Α. Με κέντρο το σημείο 3 και με ακτίνα 3Α χαράζουμε τόξο το οποίο τέμνει την προέκταση της 3-2 στο Α.

Χάραξη σπείρας (μέθοδος τεσσάρων εναλλασσόμενων κέντρων που είναι κορυφές τετραγώνου) (συνέχεια) Με κέντρο το σημείο 4 και ακτίνα 4Β χαράζουμε το τόξο το οποίο τέμνει την προέκταση της 1-4 στο Γ. Με κέντρο το σημείο 1 και ακτίνα το 1Γ (δηλαδή το βήμα) χαράζουμε τόξο το οποίο τέμνει την προέκταση της 2-1 στο Δ. Μετά, εναλλάσσοντας τα 4 κέντρα, χαράζουμε τεταρτοκύκλια ως συνέχεια του προηγούμενου και έτσι σχηματίζεται σπείρα 2, 3, 4 ... βημάτων.

ΕΞΕΛΙΓΜΕΝΗ Εξελιγμένη ονομάζεται η καμπύλη που παράγεται από ένα σημείο μιας ευθείας, που κυλίεται χωρίς να γλιστρά πάνω σε μια περιφέρεια.

Χάραξη εξελιγμένης κύκλου Δίνεται η περιφέρεια κύκλου την οποία διαιρούμε σε αριθμό ίσων μερών, έστω 12. Χαράζουμε τις ακτίνες και τις εφαπτομένες στα σημεία αυτά. Πάνω στην εφαπτομένη του κύκλου στο σημείο 1 σημειώνουμε τμήμα 1Α ίσο με το ανάπτυγμα του τόξου 0-1, δηλαδή το 1/12 της περιφέρειας. Στη συνέχεια πάνω στην εφαπ- τομένη του κύκλου στο σημείο 2 σημειώνουμε τμήμα 2Β ίσο με το ανάπτυγμα του τόξου 0-2, δηλαδή τα 2/12 της περιφέρειας. Ακολουθώντας την ίδια πορεία και τα σημεία 3, 4, 5 ... 12 και σημειώνοντας πάνω στην κάθε εφαπτομένη τμήμα ίσο με το ανάπτυγμα του αντίστοιχου τόξου, προσδιορίζουμε όλα τα σημεία τα οποία ενώνοντάς τα με τη βοήθεια καμπυλόγραμμων σχηματίζουν την εξελιγμένη του κύκλου.

Χάραξη εξελιγμένης τριγώνου Δίνεται το ισόπλευρο τρίγωνο ΑΒΓ. Προεκτείνουμε τις πλευρές ΒΑ, ΓΒ ,ΑΓ. Με κέντρο την κορυφή Α του τριγώνου και ακτίνα R ίση με την πλευρά του τριγώνου ΑΓ χαράζουμε τόξο που τέμνει την προέκτασή της ΒΑ στο σημείο Δ. Με κέντρο το Β και ακτίνα 2R, ίση με το διπλάσιο της πλευράς, χαράζουμε τόξο το οποίο τέμνει την προέκταση της ΓΒ στο σημείο Ε. Επίσης, με κέντρο το Γ και ακτίνα 3R χαράζουμε τόξο το οποίο τέμνει την προέκταση της ΑΓ στο σημείο Ζ. Ακολουθώντας την ίδια πορεία και εναλλάσσοντας τα κέντρα, σχηματίζεται η εξελιγμένη τριγώνου.

Χάραξη κυκλοειδούς καμπύλης Κυκλοειδής είναι η καμπύλη που παράγεται από ένα σημείο της περιφέρειας ενός κύκλου ο οποίος κυλίεται χωρίς να ολισθαίνει πάνω σε μια ευθεία. Χαράζουμε το δοσμένο κύκλο Κ και τη σταθερή ευθεία ΧΧ πάνω στην οποία θα κυλίεται ο κύκλος. Διαιρούμε την περιφέρεια του κύκλου Κ σε ίσο αριθμό μερών έστω 8 και αριθμούμε τα μέρη 1, 2, 3, ...8. Πάνω στην ευθεία ΧΧ παίρνουμε τμήμα ίσο με το μήκος της περιφέρειας του κύκλου. Διαιρούμε το τμήμα αυτό σε τόσα ίσα μέρη όσα διαιρέθηκε και η περιφέρεια του κύκλου, δηλαδή 8, και τα αριθμούμε 1΄, 2΄, 3΄ ... 8΄.

Χάραξη κυκλοειδούς καμπύλης (συνέχεια) Από τα σημεία 1, 2, 3 ...8 της περιφέ- ρειας του κύκλου χαράζουμε παράλ- ληλες ευθείες προς τη σταθερή ευθεία ΧΧ. Από τα σημεία 1΄, 2΄, 3΄ ... 8΄ της ευθείας ΧΧ χαράζουμε κάθετες πάνω σε αυτή, έτσι που να τέμνουν την αξονική ευθεία ΚΚ8 στα σημεία Κ1, Κ2, Κ3 ...Κ8. Τα σημεία αυτά δίνουν τις διαδοχικές θέσεις που θα πάρει το κέντρο Κ του κυλιομενου κύκλου. Με κέντρο τα σημεία αυτά και ακτίνα ίση με την ακτίνα του κύκλου χαρά- ζουμε τόξα έτσι που να τέμνουν τις παράλληλες προς την ευθεία ΧΧ στα σημεία Α, Β, Γ, Δ, Ε, Ζ, Η.

Χάραξη κυκλοειδούς καμπύλης (συνέχεια) Ενώνουμε τα σημεία 8, Α, Β, Γ, Δ, Ε, Ζ, Η και 8΄, με καμπύλη γραμμή χρησιμοποιώντας καμπυλόγραμμο, για να πάρουμε τη ζητούμενη κυκλοειδή καμπύλη.

Χάραξη επικυκλοειδούς καμπύλης Επικυκλοειδής είναι η καμπύλη η οποία παράγεται από ένα σημείο περιφέρειας κύκλου, που κυλίεται, χωρίς να ολισθαίνει πάνω στην εξωτερική περιφέρεια άλλου κύκλου. Χαράζουμε τη δοσμένη περιφέρεια του κύκλου Κ και τμήμα της περιφέρειας ΧΧ πάνω στην οποία κυλίεται ο κύκλος Κ. Διαιρούμε την περιφέρεια του κύκλου Κ σε ίσο αριθμό μερών, έστω 8 και αριθμούμε τα μέρη 1, 2, 3, ...8.

Χάραξη επικυκλοειδούς καμπύλης (συνέχεια) Παίρνουμε πάνω στην περιφέρεια ΧΧ τόξο ίσο με το μήκος της του κύκλου Κ. Για να προσδιορίσουμε το τόξο, υπολογίζουμε τη γωνία θ = d/D x 360˚ όπου d = διάμετρος κύκλου Κ D = διάμετρος κύκλου πάνω στον οποίο κυλίεται ο κύκλος Κ. Διαιρούμε το τμήμα του τόξου σε τόσα ίσα μέρη όσα διαιρέθηκε και η περιφέρεια του κύκλου Κ, δηλαδή 8, και τα αριθμούμε 1΄, 2΄, 3΄ ... 8΄.

Χάραξη επικυκλοειδούς καμπύλης (συνέχεια) Από τα σημεία 1, 2, 3 και 4 της περιφέρειας του κύκλου Κ χαράζουμε τόξα παράλληλα προς την περιφέρεια ΧΧ του μεγάλου κύκλου. Από το κέντρο του μεγάλου κύκλου χαράζουμε ακτίνες που να περνούν από τα σημεία 1΄, - 2΄, - 3΄ ... 8΄ και να τέμνουν το κεντρικό τόξο ΚΚ στις θέσεις Κ1, Κ2, Κ3 ... Κ8. Οι θέσεις Κ1, Κ2, Κ3 ... Κ8. Με κέντρο τα σημεία Κ1, Κ2, Κ3 ... Κ8 και ακτίνα ίση με την ακτίνα του κύκλου Κ χαράζουμε περιφέρειες κύκλου που να τέμνουν τα τόξα τα παράλληλα προς το τόξο ΧΧ στα σημεία Α, Β, Γ, Δ, Ε, Ζ και Η.

Χάραξη επικυκλοειδούς καμπύλης (συνέχεια) Ενώνουμε τα σημεία 8 Α, Β, Γ, Δ, Ε, Ζ, Η και 8΄ με καμπύλη, χρησιμοποιώντας καμπυλόγραμμο, για να πάρουμε τη ζητούμενη επικυκλοειδή καμπύλη.

Χάραξη υποκυκλοειδούς καμπύλης Υποκυκλοειδής είναι η καμπύλη η οποία παράγεται από ένα σημείο περιφέρειας κύκλου, που κυλίεται, χωρίς να ολισθαίνει πάνω στην εσωτερική περιφέρεια άλλου κύκλου. Για τη χάραξη της καμπύλης αυτής χρησιμοποιείται η ίδια μέθοδος που χρησιμοποιήθηκε για τη χάραξη της επικυκλοειδούς καμπύλης.