Γιάννης Σταματίου Τεχνικές αντιστροφής γεννητριών συναρτήσεων Webcast 7

Συχνά εμφανιζόμενες γεννήτριες συναρτήσεις Όταν εργαζόμαστε με γεννήτριες συναρτήσεις, ανακύπτουν συχνά κάποιες συγκεκριμένες μορφές γεννητριών συναρτήσεων:

Συχνά εμφανιζόμενες γεννήτριες συναρτήσεις Όταν εργαζόμαστε με γεννήτριες συναρτήσεις, ανακύπτουν συχνά κάποιες συγκεκριμένες μορφές γεννητριών συναρτήσεων:

Συχνά εμφανιζόμενες γεννήτριες συναρτήσεις Όταν εργαζόμαστε με γεννήτριες συναρτήσεις, ανακύπτουν συχνά κάποιες συγκεκριμένες μορφές γεννητριών συναρτήσεων: Π.χ.:

Συχνά εμφανιζόμενες γεννήτριες συναρτήσεις Όταν εργαζόμαστε με γεννήτριες συναρτήσεις, ανακύπτουν συχνά κάποιες συγκεκριμένες μορφές γεννητριών συναρτήσεων: Π.χ.:

Συχνά εμφανιζόμενες γεννήτριες συναρτήσεις Όταν εργαζόμαστε με γεννήτριες συναρτήσεις, ανακύπτουν συχνά κάποιες συγκεκριμένες μορφές γεννητριών συναρτήσεων: Π.χ.:

Η περίπτωση n=1 είναι απλή: έχουμε άθροισμα άπειρων όρων γεωμετρικής προόδου Γεννήτριες της μορφής

Η περίπτωση n=1 είναι απλή: έχουμε άθροισμα άπειρων όρων γεωμετρικής προόδου Γεννήτριες της μορφής

Η περίπτωση n=1 είναι απλή: άθροισμα άπειρων όρων γεωμετρικής προόδου Γεννήτριες της μορφής Η ακολουθία μας είναι η

άθροισμα άπειρων όρων γεωμετρικής προόδου Η περίπτωση n = 1 είναι απλή: άθροισμα άπειρων όρων γεωμετρικής προόδου Γεννήτριες της μορφής Η ακολουθία μας είναι η Παράδειγμα:

Η περίπτωση n  1 είναι πιο ενδιαφέρουσα!

Στηριζόμαστε στο γενικευμένο διωνυμικό ανάπτυγμα:

Η περίπτωση n  1 είναι πιο ενδιαφέρουσα! Στηριζόμαστε στο γενικευμένο διωνυμικό ανάπτυγμα: Συνήθως χρησιμοποιούμε τη μορφή του για b = 1:

Η περίπτωση n  1 είναι πιο ενδιαφέρουσα! Στηριζόμαστε στο γενικευμένο διωνυμικό ανάπτυγμα: Συνήθως χρησιμοποιούμε τη μορφή του για b = 1: «Δουλεύει», βέβαια, και για εκθέτη = -1 αλλά μας βολεύει καλύτερα να δούμε την ακολουθία, σε αυτή την περίπτωση, από τη σκοπιά των γεωμετρικών προόδων

Θα εφαρμόσουμε, τώρα, το γενικευμένο διωνυμικό θεώρημα για να βρούμε την ακολουθία που κωδικοποιείται από τη γεννήτρια συνάρτηση

Θέτοντας, απλά, n=1/2 και όπου z το -4z έχουμε το εξής:

Θα εφαρμόσουμε, τώρα, το γενικευμένο διωνυμικό θεώρημα για να βρούμε την ακολουθία που κωδικοποιείται από τη γεννήτρια συνάρτηση Θέτοντας, απλά, n=1/2 και όπου z το -4z έχουμε το εξής: Οι πράξεις είναι λίγο κουραστικές και θέλουν προσοχή!

Εάν προσέξουμε τις πράξεις, τότε θα πάρουμε ότι

Γεννήτριες της μορφής

ρητή Έστω η ρητή γεννήτρια συνάρτηση

Γεννήτριες της μορφής ρητή Έστω η ρητή γεννήτρια συνάρτηση Αρχικά, αγνοούμε τον αριθμητή και ασχολούμαστε μόνο με την παράσταση

ρητή Έστω η ρητή γεννήτρια συνάρτηση αγνοούμε τον αριθμητή Αρχικά, αγνοούμε τον αριθμητή και ασχολούμαστε μόνο με τον αριθμητή αντεστραμένο: Γεννήτριες της μορφής ανάλυση σε μερικά κλάσματα Η μέθοδος που θα εφαρμόσουμε ονομάζεται ανάλυση σε μερικά κλάσματα και συνίσταται στη γραφή της πιο πάνω παράστασης ως άθροισμα απλούστερων παραστάσεων

Το πρώτο μας βήμα είναι η εύρεση των ριζών του πολυωνύμου στον παρονομαστή:

διαφορετικές Έχουμε δύο (καθώς το πολυώνυμο είναι βαθμού 2) διαφορετικές ρίζες. Συνεπώς, μπορούμε να γράψουμε τό εξής: για κάποια A και B.

Πολλαπλασιάζουμε και τα δύο μέλη με z – 1 και θέτουμε z = 1:

Πολλαπλασιάζοντας και τα δύο μέλη με z + 2 τώρα, παίρνουμε και την τιμή του B:

Άρα, η αρχική μας παράσταση έχει γραφτεί ως άθροισμα δύο απλούστερων κλασμάτων:

Στη συνέχεια τροποποιούμε λίγο τους παρονομαστές των απλούστερων κλασμάτων για να τους μετατρέψουμε από τη μορφή στη μορφή : Άρα, η αρχική μας παράσταση έχει γραφτεί ως άθροισμα δύο απλούστερων κλασμάτων:

Συνεπώς, η μέχρι τώρα δουλειά μας έχει οδηγήσει στο εξής:

αθροίσματα άπειρων όρων γεωμετρικών προόδων Προσέξτε τώρα! Τα δύο απλούστερα κλάσματα στα δεξιά δεν είναι παρά τα αθροίσματα άπειρων όρων γεωμετρικών προόδων με λόγους 1z και –(1/2)z αντίστοιχα

Συνεπώς, η μέχρι τώρα δουλειά μας έχει οδηγήσει στο εξής: αθροίσματα άπειρων όρων γεωμετρικών προόδων Προσέξτε τώρα! Τα δύο απλούστερα κλάσματα στα δεξιά δεν είναι παρά τα αθροίσματα άπειρων όρων γεωμετρικών προόδων με λόγους 1z και –(1/2)z αντίστοιχα Οι γενικοί όροι των αντίστοιχων ακολουθιών είναι:

Άρα, συνοψίζοντας, η γεννήτρια συνάρτηση

αντιστοιχεί στην ακολουθία

Άρα, συνοψίζοντας, η γεννήτρια συνάρτηση αντιστοιχεί στην ακολουθία

Άρα, συνοψίζοντας, η γεννήτρια συνάρτηση αντιστοιχεί στην ακολουθία Θυμάστε και τον αριθμητή, το 2 δηλαδή; Βάζοντάς το και αυτό έχουμε το τελικό αποτέλεσμα

μη σταθερό Λίγο περισσότερη προσοχή χρειάζεται στην περίπτωση που στον παρονομαστή υπάρχει μη σταθερό πολυώνυμο

πολλαπλέςμιγαδικές ρίζες Προσοχή στις πολλαπλές και μιγαδικές ρίζες του αριθμητή!

μη σταθερό Λίγο περισσότερη προσοχή χρειάζεται στην περίπτωση που στον παρονομαστή υπάρχει μη σταθερό πολυώνυμο πολλαπλέςμιγαδικές ρίζες Προσοχή στις πολλαπλές και μιγαδικές ρίζες του αριθμητή! Δεν θα επεκταθούμε στα πλαίσια της διάλεξης αυτής