Παρουσίαση μαθήματος Α΄Γυμνασίου : Δυνάμεις ρητών αριθμών Περιέχονται: Δραστηριότητα Θεωρία: ορισμοί και ιδιότητες Προτεραιότητα πράξεων Βοηθητικό υλικό (links,αρχεία excel, geogebra) Αλέξης Π. Κόκκωνας ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΗΡΙΑ ΔΟΥΚΑ

ΔΥΝΑΜΕΙΣ ΡΗΤΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ Ένα ηλεκτρονικό αρχείο υπολογιστή μολύνθηκε από ιό, ο οποίος μεταδίδεται ως εξής : κάθε μολυσμένο με αυτόν τον ιό αρχείο μολύνει τρία άλλα αρχεία μέσα σε μία ώρα λειτουργίας του υπολογιστή. Ας προσπαθήσουμε να υπολογίσουμε πόσα αρχεία θα έχουν μολυνθεί σε πέντε ώρες λειτουργίας του υπολογιστή… ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ Αλέξης Π. Κόκκωνας ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΗΡΙΑ ΔΟΥΚΑ

ΔΥΝΑΜΕΙΣ ΡΗΤΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ Όπως γνωρίζουμε είναι 23 = 2 . 2 . 2 = 8, 42 = 4 . 4 = 16 , 34 = 3 . 3 . 3 . 3 = 81. Όμοια θα είναι (-2)3 = (-2) . (-2) . (-2) = -8 , (-4)2 = (-4) . (-4) =16 , (-3)4 = (-3) . (-3) . (-3) . (-3) = 81. Γενικά αν α είναι ρητός αριθμός και ν είναι φυσικός μεγαλύτερος του1 (ν > 1), τότε ορίζουμε ως νιοστή δύναμη του α και συμβολίζουμε αν το γινόμενο που αποτελείται από ν παράγοντες ίσους με α. Δηλαδή : αν = α . α . … . α με α ρητό και ν φυσικό, ν > 1. Ο ρητός α λέγεται β ά σ η της δύναμης. Ο φυσικός ν > 1 λέγεται ε κ θ έ τ η ς της δύναμης. Αλέξης Π. Κόκκωνας ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΗΡΙΑ ΔΟΥΚΑ

Αλέξης Π. Κόκκωνας ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΗΡΙΑ ΔΟΥΚΑ ΔΥΝΑΜΕΙΣ ΡΗΤΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ Δύναμη Εκθέτης Βάση Η δύναμη αν διαβάζεται : νιοστή δύναμη του α ή α στη νιοστή. Η δύναμη α2 διαβάζεται : τετράγωνο του α ή α στο τετράγωνο. Η δύναμη α3 διαβάζεται : κύβος του α ή α στον κύβο. Υπολογισμός δυνάμεων με χρήση Excel Μεταβολή βάσης - εκθέτη Geogebra Αλέξης Π. Κόκκωνας ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΗΡΙΑ ΔΟΥΚΑ

Αλέξης Π. Κόκκωνας ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΗΡΙΑ ΔΟΥΚΑ ΠΡΟΣΗΜΟ ΔΥΝΑΜΕΩΝ Αφού ο φυσικός αριθμός ν δηλώνει το πλήθος των ίσων παραγόντων της δύναμης, σύμφωνα με την ιδιότητα του πολλαπλασιασμού πολλών παραγόντων θα ισχύει : Όταν α > 0 τότε και αν > 0 δηλ. Θετική βάση θετικός εκθέτης Θετική δύναμη Όταν α < 0 και ν άρτιος τότε και αν > 0 δηλ. Αρνητική βάση άρτιος εκθέτης Θετική δύναμη Όταν α < 0 και ν περιττός τότε και αν < 0 δηλ. Αρνητική βάση περιττός εκθέτης Αρνητική δύναμη Αλέξης Π. Κόκκωνας ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΗΡΙΑ ΔΟΥΚΑ

Αλέξης Π. Κόκκωνας ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΗΡΙΑ ΔΟΥΚΑ Ι Δ Ι Ο Τ Η Τ Ε Σ ΔΥΝΑΜΕΩΝ Ι1 Το γινόμενο δυνάμεων με την ίδια βάση είναι δύναμη με την ίδια βάση και εκθέτη το άθροισμα των εκθετών. Ι2 Το πηλίκο δυνάμεων με την ίδια βάση (διάφορη του 0) είναι δύναμη με την ίδια βάση και εκθέτη τη διαφορά του εκθέτη του διαιρέτη από τον εκθέτη του διαιρετέου. Ι3 Για να υψώσουμε ένα γινόμενο σε έναν εκθέτη, υψώνουμε κάθε παράγοντα του γινομένου στον εκθέτη αυτό. Ι4 Για να υψώσουμε ένα πηλίκο ή κλάσμα σε έναν εκθέτη υψώνουμε κάθε όρο του στον εκθέτη αυτό. Ι5 Για να υψώσουμε μια δύναμη σε έναν εκθέτη γράφουμε την βάση και για εκθέτη γράφουμε το γινόμενο των εκθετών. http://teachertube.com/viewVideo.php?video_id=16387&title=A18_0_Exponent__properties http://teachertube.com/viewVideo.php?video_id=17519&title=A18_6_Division_of_Exponent_Properties Αλέξης Π. Κόκκωνας ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΗΡΙΑ ΔΟΥΚΑ

Η σχετική ιδιότητα δυνάμεων ισχύει μόνο για πολ / σμό - διαίρεση TIPS OF THE DAY… Θετική βάση οποιοσδήποτε εκθέτης + Αρνητική βάση άρτιος εκθέτης + Αρνητική βάση περιττός εκθέτης - χ + χ = 2 . χ ενώ χ . χ = χ2 ( 3 . χ )2 = 32 . Χ2 = 9 . χ2 ενώ ( 3 + χ )2 = ( 3 + χ ) . ( 3 + χ) = 3 .3 + 3 . χ + 3 . χ + χ . χ = = 9 + 6 . χ + χ2 Η σχετική ιδιότητα δυνάμεων ισχύει μόνο για πολ / σμό - διαίρεση Αλέξης Π. Κόκκωνας ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΗΡΙΑ ΔΟΥΚΑ

ΔΥΝΑΜΗ ΜΕ ΒΑΣΗ ΡΗΤΟ ΚΑΙ ΕΚΘΕΤΗ 1 Άρα ισχύει ……….=…….. Επομένως ορίζουμε : Αλέξης Π. Κόκκωνας ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΗΡΙΑ ΔΟΥΚΑ

ΔΥΝΑΜΗ ΜΕ ΒΑΣΗ ΡΗΤΟ (διάφορο του 0) ΚΑΙ ΕΚΘΕΤΗ 0 Άρα ισχύει ………..=…….. Επομένως ορίζουμε : Βίντεο: http://teachertube.com/viewVideo.php?video_id=17668&title=A18_Zero_and_Negative_Exponent_Properties Αλέξης Π. Κόκκωνας ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΗΡΙΑ ΔΟΥΚΑ

ΔΥΝΑΜΗ ΜΕ ΒΑΣΗ ΡΗΤΟ (διάφορο του 0) ΚΑΙ ΕΚΘΕΤΗ ΑΡΝΗΤΙΚΟ ΡΗΤΟ ΔΥΝΑΜΗ ΜΕ ΒΑΣΗ ΡΗΤΟ (διάφορο του 0) ΚΑΙ ΕΚΘΕΤΗ ΑΡΝΗΤΙΚΟ ΡΗΤΟ Άρα ισχύει ……..=…….. Επομένως ορίζουμε Αλέξης Π. Κόκκωνας ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΗΡΙΑ ΔΟΥΚΑ

Αλέξης Π. Κόκκωνας ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΗΡΙΑ ΔΟΥΚΑ ΕΠΙΠΛΕΟΝ ΟΡΙΣΜΟΙ… Ορίζουμε ως δύναμη ρητού αριθμού α διάφορου του 0 με εκθέτη αρνητικό ακέραιο -ν, τη δύναμη με βάση τον αντίστροφο του ρητού α και εκθέτη τον φυσικό αριθμό ν. Αλέξης Π. Κόκκωνας ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΗΡΙΑ ΔΟΥΚΑ

Αλέξης Π. Κόκκωνας ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΗΡΙΑ ΔΟΥΚΑ ΔΥΝΑΜΕΙΣ ΟΡΙΣΜΟΙ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ Ο1 Ι1 Ο2 Ι2 Ο3 Ι3 Ο4 I4 Ι5 Αλέξης Π. Κόκκωνας ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΗΡΙΑ ΔΟΥΚΑ

ΠΡΟΤΕΡΑΙΟΤΗΤΑ ΠΡΑΞΕΩΝ ΠΡΟΤΕΡΑΙΟΤΗΤΑ ΠΡΑΞΕΩΝ Υπολογισμός παρενθέσεων – αγκυλών (από μέσα προς τα έξω). Υπολογισμός δυνάμεων. Πολλαπλασιασμοί - Διαιρέσεις. Προσθέσεις (αφαιρέσεις). Αλέξης Π. Κόκκωνας ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΗΡΙΑ ΔΟΥΚΑ

Αλέξης Π. Κόκκωνας ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΗΡΙΑ ΔΟΥΚΑ ΔΥΝΑΜΕΙΣ ΡΗΤΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ Επιπλέον υλικό http://teachertube.com/viewArticle.php?article_id=115&title=Multiply_and_divide_by_powers_of_ten# http://www.mathgoodies.com/lessons/vol3/exponents.html Αλέξης Π. Κόκκωνας ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΗΡΙΑ ΔΟΥΚΑ