Ένα μαθηματικό παράδειγμα με διαφορετικά επιστημολογικά πλαίσια αναφοράς Τα κλάσματα είναι ένα βασικό κεφάλαιο της μαθηματικής παιδείας. Πως αντιμετωπίζονται τα κλάσματα στη δευτεροβάθμια ελληνική εκπαίδευση; Δηλ. με τι είδους γνώση χειρίζεται ο μαθηματικός τα κλάσματα στα ελληνικά Γυμνάσια; Και με τι είδους γνώση για τα κλάσματα μορφώθηκε ο ίδιος ο μαθηματικός στις πανεπιστημιακές του σπουδές;

Τα κλάσματα στο βιβλίο της Α’ Γυμνασίου

Το κλάσμα προκύπτει από μια διαδικασία μέτρησης ενός μεγέθους, που θεωρείται ως μονάδα. Η διαδικασία μέτρησης διαμορφώνεται με μια ισοδιαμέριση του αρχικού μεγέθους, δηλ. της αρχικής μονάδας. Μ’ αυτό τον τρόπο προκύπτει μια υπομονάδα της αρχικής μονάδας. Στη συνέχεια αυτονομείται και γενικεύεται το αποτέλεσμα αυτής της μέτρησης ως μια συμβολική αριθμητική παράσταση.

Χαρακτηριστικά της σχολικής προσέγγισης των κλασμάτων Η διαδικασία μέτρησης που λειτουργεί ως μηχανισμός διαμόρφωσης του κλάσματος είναι υπονοούμενη, δεν αναφέρεται ρητά. Αυτό φαίνεται από το γεγονός ότι δεν λαμβάνεται ένα τυχαίο κομμάτι του αρχικού μεγέθους, π.χ. ένα κυκλικό τμήμα, ή ένας οποιοσδήποτε κυκλικός τομέας. Το αρχικό μέγεθος, κύκλος, τούρτα, ορθογώνιο παραλληλόγραμμο κ.τ.λ. είναι μια γεωμετρική οντότητα. Οπότε το κλάσμα ως μέρος αυτής της οντότητας έχει υπόσταση, είναι εμπειρικά υπαρκτό αντικείμενο. Η μέτρηση από την οποία διαμορφώνεται το κλάσμα, όπως κάθε μέτρηση, στηρίζεται σε μια προ-υπάρχουσα κλίμακα μέτρησης. Αυτό σημαίνει ότι υπονοείται η ύπαρξη μιας ιεραρχημένης ακολουθίας τιμών. Αυτό σημαίνει ότι η έννοια του κλάσματος διαμορφώνεται με την αντίληψη των διατεταγμένων αριθμών

Τα κλάσματα στην πανεπιστημιακή μόρφωση των μαθηματικών Σελ. 93

Χαρακτηριστικά των κλασμάτων στην πανεπιστημιακή μόρφωση των μαθηματικών Δεν εισάγονται ως μεμονωμένες περιπτώσεις, ως εξατομικευμένα αντικείμενα, αλλά προέρχονται από μια ολότητα, το καρτεσιανό γινόμενο των ακεραίων. Αυτός ο τρόπος θεώρησης λέγεται ολιστικός. Η σημασία του κλάσματος δεν αποκτιέται άμεσα, αλλά έμμεσα, από τις εσωτερικές σχέσεις του συστήματός τους. Ο έμμεσος αυτός προσδιορισμός της σημασίας του κλάσματος από το σύστημά τους λέγεται πλαισιοκρατικός (contextual). Το κλάσμα ορίστηκε ως κλάση ισοδυναμίας που είναι υποσύνολο του καρτεσιανού γινομένου των ακεραίων. Αυτό σημαίνει ότι εκφράζει μια σχέση. Κατά συνέπεια η υφή του συγκεκριμένου τρόπου σκέψης είναι σχεσιακή (relational).