ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΗ ΚΙΝΗΣΗ Το τμήμα της Μηχανικής που ασχολείται με την μελέτη της κίνησης σωμάτων, χωρίς να μελετά τα αίτια της κίνησης ονομάζεται Κινηματική Ο στόχος του κεφαλαίου αυτού είναι να μελετήσει την κινηματική της απλούστερης περίπτωσης κίνησης ενός σώματος, η οποία είναι η κίνηση κατά μήκος μιας ευθείας γραμμής. Για να περιγράψουμε την κίνηση των σωμάτων σε μια διάσταση θα ορίσουμε τα φυσικά, διανυσματικά μεγέθη της -Μετατόπισης (Μέσης και Στιγμιαίας) Ταχύτητας (Μέσης και Στιγμιαίας) Επιτάχυνσης Ο σκοπός είναι να βρούμε απλές εξισώσεις που περιγράφουν την κίνηση ενός σώματος, δηλαδή δίνουν την ταχύτητα και θέση του σε κάθε χρονική στιγμή. Η μελέτη θα πραγματοποιηθεί για τις περιπτώσεις της μηδενικής, σταθερής και μη-σταθερής επιτάχυνσης.

Ένα αντικείμενο κινείται όταν η θέση του, όπως προσδιορίζεται από έναν παρατηρητή, μεταβάλλεται με τον χρόνο. Μελετούμε αποκλειστικά εδώ την κίνηση σε μία διάσταση Θα υποθέσουμε ότι τα κινούμενα αντικείμενα είναι ‘σωματίδια’, δηλαδή είναι αντικείμενα όλα τα σημεία των οποίων κινούνται με τον ίδιο τρόπο. Ένα αντικείμενο κινείται κατά μήκος ευθείας γραμμής, τον άξονα των x. Η θέση του αντικειμένου περιγράφεται από την συντεταγμένη x(t) που ορίζεται σε σχέση με την αρχή των συντεταγμένων (origin) O. Η συντεταγμένη x μπορεί να είναι θετική ή αρνητική ανάλογα με το αν το αντικείμενο βρίσκεται στο θετικό ή αρνητικό μέρος του άξονα των x

Μετατόπιση: Αν ένα αντικείμενο κινηθεί από την θέση x1 στην θέση x2 , η μεταβολή της θέσης του περιγράφεται από το διανυσματικό μέγεθος της μετατόπισης. Για παράδειγμα εάν x1 = 5 m και x2 = 12 m τότε Δx = 12 – 5 = 7 m. Το θετικό πρόσημο Δx δείχνει ότι η κίνηση γίνεται κατά το θετικό τμήμα του άξονα x. Εάν το αντικείμενο κινείται από x1 = 5 m στο x2 = 1 m τότε Δx = 1 – 5 = -4 m. Το αρνητικό πρόσημο δείχνει ότι η κίνηση γίνεται κατά το αρνητικό τμήμα του x. Επομένως στην περίπτωση της κίνησης σε μία διάσταση που μελετούμε η φορά του διανύσματος της μετατόπισης δίνεται από το πρόσημο του Δx. . O x1 x2 x-axis κίνηση Δx Δx = x2 – x1 Σημείωση: Η απόσταση που διανύεται σε μια διαδρομή δεν ταυτίζεται με την μετατόπιση Για παράδειγμα ένα σώμα κινείται από μια αρχική θέση x1 = 5 m στην x = 200 m και μετά πίσω στην x2 = 5 m. Η ολική απόσταση που διένυσε το σώμα είναι 390 m, η ολική μετατόπιση του σώματος ωστόσο είναι Δx = x2 – x1 =0.

Μέση Ταχύτητα: Έστω ότι έχουμε τα παρακάτω γραφήματα της θέσης x(t) σωμάτων ως συνάρτηση του χρόνου t. Στην αριστερή καμπύλη το γράφημα δείχνει ότι το σώμα είναι ακίνητο ως προς την αρχή των συντεταγμένων (x = σταθερό). Στην δεξιά καμπύλη, το σώμα κινείται από θέση x1 σε χρόνο t1 σε μια νέα θέση x2 σε χρόνο t2. Μία πρακτική μέθοδος για να περιγράψουμε την κίνηση των παραπάνω σωμάτων είναι να ορίσουμε το διανυσματικό μέγεθος της μέσης ταχύτητας (μονάδες m/s): Όπου Δx = x(t2) - x(t1), η μετατόπιση του σώματος σε διάστημα χρόνου Δt = t2 – t1

Γραφικός προσδιορισμός της uμέσης Σε ένα γράφημα x συναρτήσει του t μπορούμε να προσδιορίσουμε την uμέση από την κλίση της ευθείας γραμμής που ενώνει το σημείο ( t1,x1) με το( t2,x2). Στο γράφημα t1=1 s, t2 = 4 s, και οι αντίστοιχες θέσεις x1 = - 4 m και x2 = 2 m

Στιγμιαία Ταχύτητα: Η μέση ταχύτητα uμέση ανάμεσα σε χρόνο t1 και t2 δίνει μια χρήσιμη πληροφορία για το ”πόσο γρήγορα” ένα σώμα κινείται στο διάστημα t2-t1. Ουσιαστικά είναι μια ‘περίληψη’ της κίνησης του αντικειμένου στο εν λόγω χρονικό διάστημα. Για να περιγράψουμε την κίνηση ενός σώματος μια δεδομένη χρονική στιγμή t ορίζουμε τo διανυσματικό μέγεθος της στιγμιαίας ταχύτητας u (ή απλά ταχύτητας). Η στιγμιαία ταχύτητα ορίζεται ως το όριο της μέσης ταχύτητας σε διάστημα Δt όταν Δt → 0: H στιγμιαία ταχύτητα σε μια χρονική στιγμή t0 είναι η πρώτη παράγωγος της συντεταγμένης θέσης x ως προς τον χρόνο την στιγμή t = t0 και εκφράζει τον στιγμιαίο ρυθμό μεταβολής της θέσης ως προς τον χρόνο Στο γράφημα της καμπύλης x=x(t) η στιγμιαία ταχύτητα σε μια χρονική στιγμή t είναι η κλίση της καμπύλης για t = t0

Μέσο μέτρο ταχύτητας, |u|μέσο = S/Δt Μέτρο της μέσης ταχύτητας, |uμέση| = Δx/Δt όπου Δx το μέτρο της ολική μετατόπισης Δx (διανυσματικό μέγεθος) του σώματος σε Δt

Παράδειγμα Εύρεσης Ταχύτητας από Διάγραμμα x-t

Για να μελετήσουμε το πόσο γρήγορα μεταβάλλεται η ταχύτητα ενός σώματος με τον χρόνο, ορίζουμε (με ανάλογο τρόπο με την μέση ταχύτητα) την μέση επιτάχυνση του σώματος (m/s2) για ένα χρονικό διάστημα Δt = t2 – t1:

Με τον ίδιο τρόπο με τον οποίο ορίσαμε την στιγμιαία ταχύτητα, η στιγμιαία επιτάχυνση ορίζεται ως Η γραφική αναπαράσταση της στιγμιαίας και μέσης επιτάχυνσης παρουσιάζεται σε διαγράμματα κίνησης ux – t

x = x(t) u = u(t) ως κλίση της x=x(t) α = α(t) ως κλίση της u=u(t)

Αρχίζοντας από τον ορισμό της στιγμιαίας επιτάχυνσης: Η απλούστερη περίπτωση επιταχυνόμενης κίνηση είναι η κίνηση με σταθερή επιτάχυνση. Στην περίπτωση αυτή η ταχύτητα μεταβάλλεται με τον ίδιο ρυθμό κατά την διάρκεια της κίνησης. Ερώτηση: Η ελεύθερη πτώση είναι περίπτωση κίνησης με σταθερή επιτάχυνση και κάτω από ποιες προϋποθέσεις; Ο σκοπός μας είναι να προσδιορίσουμε τις εξισώσεις κίνησης για σταθερή επιτάχυνση. Αρχίζοντας από τον ορισμό της στιγμιαίας επιτάχυνσης: ,όπου c η σταθερά ολοκλήρωσης Η σταθερά ολοκλήρωσης μπορεί να προσδιοριστεί από τις αρχικές συνθήκες της κίνησης: Για t = 0, u = c = u0, η αρχική ταχύτητα του σώματος. Με αυτόν τον τρόπο προκύπτει η πρώτη εξίσωση κίνησης με σταθερή επιτάχυνση, που συνδέει την ταχύτητα με την επιτάχυνση του σώματος:

Στην συνέχεια θέλουμε να βρούμε μια δεύτερη εξίσωση που να δίδει την θέση x ενός σώματος ανά πάσα χρονική στιγμή t όταν αυτό κινείται με σταθερή επιτάχυνση: Η σταθερά ολοκλήρωσης c’ μπορεί και πάλι να προσδιοριστεί από τις αρχικές συνθήκες της κίνησης: Για t = 0, x = c’ = x0, η αρχική θέση του σώματος. Με αυτόν τον τρόπο προκύπτει η δεύτερη εξίσωση κίνησης με σταθερή επιτάχυνση, που συνδέει την θέση με την ταχύτητα και την επιτάχυνση του σώματος:

Παρακάτω παρατίθενται οι γραφικές παραστάσεις των x(t), u(t) και a(t), στην περίπτωση κίνησης με σταθερή επιτάχυνση: Το γράφημα x(t) συναρτήσει του t είναι παραβολή που τέμνει τον άξονα των x στο x = xo Το γράφημα u(t) συναρτήσει του t είναι ευθεία με κλίση α και τετμημένη uo Το γράφημα α(t) συναρτήσει του t είναι ευθεία, παράλληλη στον άξονα t με τετμημένη α

Ελεύθερη Πτώση: Κοντά στην επιφάνεια της γης όλα τα σώματα κινούνται προς το κέντρο της γης με επιτάχυνση που το μέγεθός της είναι σταθερό και ίσο με 9.8 m/s2. Χρησιμοποιούμε το σύμβολο g για την επιτάχυνση ενός αντικειμένου σε ελεύθερη πτώση. Αν πάρουμε τον άξονα των y να δείχνει προς τα πάνω και θεωρήσουμε την αντίσταση του αέρα αμελητέα, τότε η επιτάχυνση ενός αντικειμένου σε ελεύθερη πτώση αy = g = -|g| y και οι εξισώσεις ελεύθερης πτώσης δίνονται από: Παρόλο που α < 0, η ταχύτητα μπορεί να είναι θετική (ανοδική κίνηση από A προς B). Στιγμιαία γίνεται μηδέν στο B και κατόπιν γίνεται αρνητική κατά την καθοδική κίνηση από το B στο A Σημείωση: Σε ένα πρόβλημα κινηματικής πρέπει να υποδεικνύουμε την κατεύθυνση των αξόνων και αυτή των διανυσμάτων ταχύτητας και επιτάχυνσης. Έτσι αποφεύγουμε λάθη με τα πρόσημα των μεγεθών. B g y A Ήταν πάντα γνωστό ότι η ελεύθερη πτώση ήταν παράδειγμα κίνησης με σταθερή επιτάχυνση; Ποια ήταν η παλαιότερη αντίληψη και τα πειράματα ποιου επιστήμονα την απέρριψαν ;

Γραφική ανάλυση της κίνησης (περίπτωση μη σταθερής επιτάχυνσης) Όταν η επιτάχυνση δεν είναι σταθερή πρέπει να χρησιμοποιήσουμε ολοκλήρωση για να προσδιορίσουμε την ταχύτητα v(t) και την θέση x(t) του αντικειμένου. Η ολοκλήρωση μπορεί να γίνει είτε αναλυτικά είτε γραφικά: Tο ολοκλήρωμα ισούται με το εμβαδό της επιφάνειας της α=α(t) ανάμεσα σε to και t1 Tο ολοκλήρωμα ισούται με το εμβαδό της επιφάνειας της u=u(t) ανάμεσα σε to και t1

Galileo Galilei (1564-1642) Μελέτησε τους νόμους της επιταχυνόμενης κίνησης και ήταν ο πρώτος που διαπίστωσε ότι όλα τα σώματα επιταχύνονται με την ίδια, σταθερή επιτάχυνση g κατά την ελεύθερη πτώση τους (όταν η αντίσταση του αέρα είναι αμελητέα)

http://media. pearsoncmg http://media.pearsoncmg.com/bc/aw_young_physics_11/pt1a/Media/DescribingMotion/AnalyMotUsingDiag/Main.html http://media.pearsoncmg.com/bc/aw_young_physics_11/pt1a/Media/DescribingMotion/AnalyMotUsingGraphs/Main.html http://media.pearsoncmg.com/bc/aw_young_physics_11/pt1a/Media/DescribingMotion/PredictMotionGraphs/Main.html