Το πρόβλημα του Königsberg Και η χαρακτηριστική Euler Μαθηματικά και Λογοτεχνία 2013-2014 Επιβλέπων καθηγητής: Πατσαλιάς Μιχάλης Ομάδα: ΚυριτσοπούλουΑναστασία Μαλαγαρδή Μαρίνα Φιλιπποπούλου Ελένη-Ραφαηλία Υπεύθυνοι ομίλου: Ανδριανός Ηλίας Κατέρης Αλέξανδρος Πατσαλιάς Μιχάλης

Königsberg 18ος αιώνας Μέρος κρατιδίου της Γερμανίας Μετέπειτα ονομασία: Kaliningrad Ρωσία Ποταμός Pregel Επτά γέφυρες

Königsberg

Χάρτης του Königsberg

Το πρόβλημα του Königsberg Παιχνίδι κατοίκων της πόλης Περιήγηση στην πόλη περνώντας όλες τις γέφυρες Αδύνατο; Απάντηση από τον Leonhard Euler

Ο Euler και το πρόβλημα Επιβεβαίωσε πως ήταν αδύνατο να λυθεί Δεν υπήρχε τρόπος Οι πραγματικές διαστάσεις της πόλης δεν είχαν σχέση με την λύση Σημαντικός ο τρόπος σύνδεσης των γεφυρών Απλούστευση σχήματος

Ο Euler και το πρόβλημα Στεριά σημείο Γέφυρα γραμμή Διάγραμμα

Σημείο κορυφή Γραμμή ακμή Αριθμός ακμών σε κορυφή βαθμός Μονοπάτι Euler

Παραδείγματα 1ο διάγραμμα

Παραδείγματα 5 κορυφές: Α, Β, Γ, Δ και Ε 8 ακμές: ΑΒ, ΒΓ, ΓΔ, ΔΑ, ΑΕ, ΕΒ, ΑΓ και ΒΔ οι κορυφές Α και Β είναι 4ου βαθμού οι κορυφές Γ και Δ είναι 3ου βαθμού η κορυφή Ε είναι 2ου βαθμού έχει μονοπάτι του Euler

Παραδείγματα 4 κορυφές: Α, Β, Γ και Δ 6 ακμές: ΑΒ, ΒΓ, ΓΔ, ΔΑ, ΑΓ και ΒΔ όλες οι κορυφές είναι 3ου βαθμού δεν έχει μονοπάτι Euler 2ο διάγραμμα

Λύση του προβλήματος Ο αριθμός των κορυφών περιττού (μονού) βαθμού πρέπει να είναι ή μηδέν (0) ή δύο (2). Αν όχι τότε δεν υπάρχει μονοπάτι του Euler. Και αν υπάρχουν δύο κορυφές περιττού βαθμού, τότε είναι αυτές με τις οποίες ξεκινάει και τελειώνει το μονοπάτι.

Λύση του προβλήματος 4 κορυφές: Α, Β, Γ, και Δ 7 ακμές: οι κορυφές Α, Β και Δ είναι 3ου βαθμού η κορυφή Γ είναι 5ου βαθμού Δεν υπάρχει μονοπάτι Euler!

Λέοναρντ Όιλερ 1707-1783 Σημαντικές ανακαλύψεις σε τομείς όπως: απειροστικός λογισμός, θεωρία γραφημάτων Καθιέρωσε την μοντέρνα ορολογία και σημειογραφεία: π.χ. Έννοια μαθηματικής συνάρτησης Είναι γνωστός για την δουλεία του στην: Μηχανική, ρευστοδυναμική, οπτική και αστρονομία Έζησε: στο St. Petersburg της Ρωσία και στο Βερολίνο Το 1735: έμεινε σχεδόν τυφλός από το δεξί του μάτι

Θεώρημα του Euler Στα κυρτά πολύεδρα Αν: Κ το πλήθος των κορυφών Στα κυρτά πολύεδρα Αν: Κ το πλήθος των κορυφών Α το πλήθος των ακμών Ε το πλήθος των εδρών ισχύει η σχέση: Κ+Ε-Α=2

Κ+ Ε- Α=2 Παράδειγμα ο κύβος Κ= 8 Ε= 6 Α= 12 Κ= 8 Ε= 6+1= 7 Α= 12+1= 13 Κ= 8+1= 9 Ε= 6 Α= 12+13 Κ+ Ε- Α=2

Στα μη κυρτά πολύεδρα Δεν ισχύει η χαρακτηριστική Euler Τετραημιεξάεδρο: Κ=6 Ε=7 Α=12 Κ+ Ε- Α=1

Πλατωνικά Στερεά Στην αρχαία Ελλάδα: αναπτύχθηκε η ιδέα να διακρίνουμε τα πολύεδρα σε ομάδες, σύμφωνα με κάποιες ιδιαίτερες ιδιότητες που παρουσιάζουν. κανονικά- πλατωνικά πολύεδρα: ονομάζουμε την ομάδα των πολυέδρων που έχουν την ιδιότητα όλες οι έδρες τους να είναι ίσα κανονικά πολύγωνα και οι πολυεδρικές τους γωνίες να είναι ίσες. Μελετήθηκαν: 1. στην Ακαδημία του Πλάτωνα 2. στη σχολή του Πυθαγόρα. 
 3. από τον Ευκλείδη στο 13ο βιβλίο των Στοιχείων του, (όπου αποδεικνύει ότι είναι ακριβώς πεντε)

Κατά τον Πλάτωνα: το τετράεδρο  την φωτιά γιατί θεωρείται ότι είναι το πιο«ευκίνητο», το πιο κοφτερό, το πιο οξύ και ελαφρύ Το εξάεδρο την γή γιατί στέκεται σταθερά στη βάση του Το οκτάεδρο τον αέρα γιατί περιστρέφεται ελεύθερα γύρω από νοητό άξονα που διέρχεται από 2 απέναντι κορυφές του Το δωδεκάεδρο το σύμπαν αντιστοιχεί με το δωδεκάθεο και το ζωδιακό κύκλο Το εικοσάεδρο το νερό γιατί έχει το μεγαλύτερο όγκο

Παράδειγμα με τα Πλατωνικά Στερεά Η χαρακτηριστική Euler μπορεί να χρησιμοποιηθεί για να αποδείξουμε ότι υπάρχουν μόνο 5 Πλατωνικά Στερεά

Η Χαρακτηριστική Εuler σε σχήματα και στερεά X.E+2(A.T)=2 Σχήμα Χ.Ε. Στερεό Διάστημα 1 Σφαίρα 2 Κορδέλα Möbius Κύκλος Λουκουμάς Δοχείο Klein Δίσκος Διπλός -2 Τριπλός -4

ΤΟ ΔΟΧΕΙΟ ΤΟΥ KLEIN Το δοχείο του Klein είναι μια, μη-προσανατολισμένη επιφάνεια. Δεν έχει ευδιάκριτο εσωτερικό και εξωτερικό. Σε φυσικές διαστάσεις είναι τετρασδίαστατο γιατί πρέπει να διαπεράσει τον εαυτό του χωρίς να δημιουργήσει τρύπα. http://www.youtube.com/watch?v=E8rifKlq5hc http://www.youtube.com/watch?v=sRTKSzAOBr4

ΚΑΤΑΣΚΕΥΗ ΤΟΥ ΔΟΧΕΙΟΥ

FELIX KLEIN (1849-1925) Γεννήθηκε τον Απρίλιο του 1849 στο Dusseldorf της Γερμανίας Σπούδασε μαθηματικά και φυσική στο πανεπιστήμιο της Bonn, με την προοπτική να γίνει φυσικός Το 1905 αποφάσισε να ασχοληθεί με τον τρόπο διδασκαλίας των μαθηματικών στην εκπαίδευση. Το 1908 εκλέχθηκε πρόεδρος στη διεθνή επιτροπή διδασκαλίας των μαθηματικών στη Ρώμη Το 1913 ο Klein αναγκάστηκε να σταματήσει το έργο του λόγω της κακής του υγείας αλλά συνέχισε να διδάσκει μαθηματικά για μερικά χρόνια ακόμα σπίτι του.

Έργο του Felix Klein O Klein ασχολήθηκε με τη θεωρία ομάδων, και με τη σύνδεση γεωμετρίας και θεωρίας ομάδων. Κατέληξε ότι η Ευκλείδεια και η μη Ευκλείδεια γεωμετρία μπορούν να δημιουργηθούν με την ίδια διαδικασία. Εισήγαγε τον δομικό τρόπο σκέψης στα μαθηματικά. Το έργο του για τον τρόπο διδασκαλίας των μαθηματικών στην εκπαίδευση είχε τεράστια απήχηση σε όλο τον κόσμο και ιδιαίτερα στην Γερμανία. Ο Klein υποστήριζε τη χρησιμοποίηση της ιστορίας στη διδασκαλία των Μαθηματικών

Κορδέλα Möbius Η λωρίδα ή κορδέλα Mobius είναι ένα ιδιότυπο μαθηματικό αντικείμενο με καταπληκτικές και θαυμαστές ιδιότητες και ονομάστηκε από τον μαθηματικό August Ferdinand Möbius που ανεκάλυψε «την λωρίδα του» τον Σεπτεμβρίο του 1858. Είναι ένα µαθηµατικό αντικείµενο µε µία µόνο πλευρά , την στιγµή που κάθε επίπεδο κλασσικό γεωµετρικό σχήµα ( κυρτό ή µη κυρτό) έχει δύο πλευρές! Εάν ένα μυρμήγκι ήταν να συρθεί σε όλο το μήκος αυτής της ταινίας, θα επανέλθει στο σημείο της εκκίνησης έχοντας διανύσει κάθε μέρος της ταινίας χωρίς ποτέ όμως να διασχίσει την μια άκρη.

https://www.youtube.com/watch?v=BVsIAa2XNKc Αν κόψω την κορδέλα κατά µήκος, ενώ κάθε άνθρωπος αναµένει να πάρει δύο ίδιες κορδέλες Μόµπιους, θα πάρει µία ….µεγαλύτερη! Αν συνεχιστεί το κόψιµο της προηγουµένης πάλι κατά µήκος, έχοντας δει το προηγούµενο αποτέλεσµα αναµένουµε να πάρουµε µια ακόµα πιο µεγάλη, όµως παίρνουµε δύο λωρίδες την µία µέσα στην άλλη όπως οι κρίκοι αλυσίδας!

August Ferdinand Möbius 1790- 1868) Γεννήθηκε στην Schulpforta της Γερμάνιας στις 17/11/1790 Ήταν το μοναχοπαίδι τουJohann Heinrich Möbius, ενός δασκάλου χορού, που πέθανε όταν ο August ήταν τριών ετών . Η μητέρα του ήταν απόγονος του Martin Luther. Ο Möbius , μέχρι να γίνει 13,και στην συνέχεια, ενώ είχε ήδη δείξει ενδιαφέρον για τα μαθηματικά, πήγε στο πανεπιστήμιο της Λειψίας , όπου σπούδασε μαθηματικά και αστρονομία. Πήρε το διδακτορικό του στην αστρονομία σε ηλικία 25 ετών . Ο Möbius έγινε διδάκτορας στο πανεπιστήμιο του Leipzig και έμεινε στην ιστορία κυρίως για το έργο του στην τοπολογία ειδικότερα για την κορδέλα Möbius .

Ευχαριστούμε για την προσοχή σας! Ερωτήσεις ;