ΠΕΔΙΟ ΡΟΗΣ ΡΕΥΣΤΟΥ Ροή Λάβας Ροή Νερού Πεδίο Ροής Ρευστού ονομάζεται ο χώρος μέσα στον οποίο κινείται (ρέει) το ρευστό Περιγραφή του πεδίου ροής σημαίνει γνώση της κινητικής και δυναμικής κατάστασης του, πράγμα το οποίο επιτυγχάνεται πλήρως εάν γνωρίζουμε τη τιμή των παρακάτω ιδιοτήτων του ρευστού σε κάθε θέση του πεδίου ροής - Ταχύτητα (velocity) - Πίεση (Pressure) - Θερμοκρασία (Temperature) - Πυκνότητα (density)
ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ ΠΕΔΙΟΥ ΡΟΗΣ ΡΕΥΣΤΟΥ Μεθοδολογίες έκφρασης των φυσικών νόμων με σκοπό τη περιγραφή του πεδίου ροής Περιγραφή κατά Lagrange (προσέγγιση κλειστού συστήματος σταθερής μάζας) Για να εκφραστούν μαθηματικά οι φυσικοί νόμοι θα πρέπει να παρακολουθείται η κίνηση κάθε ανεξάρτητου στοιχείου του ρευστού συναρτήσει του χρόνου Αυτό είναι πρακτικά αδύνατο να εφαρμοστεί στα ρευστά γιατί η κίνηση όλων των σωματιδίων που συνθέτουν το κάθε στοιχείο του ρευστού είναι πλήρως άτακτη Περιγραφή κατά Euler (προσέγγιση ανοικτού συστήματος) Για να εκφραστούν μαθηματικά οι φυσικοί νόμοι υιοθετείται η ιδέα του σταθερού όγκου ελέγχου (fixed control volume) για τον οποίο γράφονται οι εξισώσεις μεταβολής της μάζας, ορμής και ενέργειας καθώς το ρευστό περνάει μέσα από αυτόν. Το όριο του όγκου ελέγχου ονομάζεται επιφάνεια ελέγχου (control surface). Το σχήμα του όγκου ελέγχου επιλέγεται αυθαίρετα αν και συνήθως ακολουθεί τη γεωμετρία του πεδίου ροής
ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ ΠΕΔΙΟΥ ΡΟΗΣ ΡΕΥΣΤΟΥ ΚΑΤΑ EULER Για να περιγραφεί το πεδίο ροής είναι αναγκαίο να υπολογιστούν οι μεταβολές των ιδιοτήτων του ρευστού από σημείο σε σημείο εντός του πεδίου ροής. Για να γίνει αυτό θα πρέπει να διαιρεθεί το πεδίο ροής σε ένα μεγάλο αριθμό στοιχειωδών όγκων ελέγχου (διαφορικών όγκων ελέγχου) για κάθε ένα εκ των οποίων γράφονται οι εξισώσεις μεταβολής της μάζας, ορμής και ενέργειας. Συνεπώς, η περιγραφή κατά Euler θεωρεί ότι οι ιδιότητες του ρευστού μεταβάλλονται χωρικά από θέση σε θέση και χρονικά στην ίδια θέση: Ιδιότητες = f(x,y,z,t) Πεδίο Ροής Ρευστού Επιφάνεια Ελέγχου Όγκος Ελέγχου
ΑΠΕΙΚΟΝΙΣΗ ΠΕΔΙΟΥ ΡΟΗΣ ΡΕΥΣΤΟΥ Απεικόνιση (οπτικοποίηση) του πεδίου ροής γίνεται με τους παρακάτω γεωμετρικούς τρόπους Ροϊκή Γραμμή (streamline) Ινώδης Φλέβα (streakline) Τροχιά (pathline) Είναι η συνεχής γραμμή που συνδέει τα στοιχεία του ρευστού που έχουν περάσει από την ίδια θέση του πεδίου ροής σε διαφορετικές χρονικές στιγμές (προκύπτουν πειραματικά με χρωστικές) Είναι η συνεχής γραμμή που ενώνει τις διαδοχικές θέσεις από τις οποίες διέρχεται ένα στοιχείο του ρευστού κατά τη κίνηση του στο πεδίο ροής (προκύπτει πειραματικά) Είναι η συνεχής γραμμή μέσα στο πεδίο ροής που σε κάθε θέση της είναι εφαπτόμενο το διάνυσμα της ταχύτητας (προκύπτει υπολογιστικά) V= διάνυσμα ταχύτητας στη θέση x,y,z ux= συνιστώσα ταχύτητας κατά x = f(x,y,z,t) uy= συνιστώσα ταχύτητας κατά y = f(x,y,z,t) uz= συνιστώσα ταχύτητας κατά z = f(x,y,z,t) i,j,k = μοναδιαία διανύσματα Πεδίο Ταχύτητας V(x,y,z,t) = iux+juy+kuz
ΑΝΑΛΥΤΙΚΟΣ ΠΡΟΣΔΙΟΡΙΣΜΟΣ ΡΟΪΚΗΣ ΓΡΑΜΜΗΣ x1 x2 y1 y2 Δx Δy 2 1 r1, r2 = διανύσματα θέσης Δr = Διάνυσμα μετατόπισης Δr = r2 – r1 = f(Δx,Δy) Όταν, Δx → 0 και Δy → 0 Τότε, Δr(Δx,Δy) → dr(dx,dy) που είναι πλέον εφαπτόμενο στη ροϊκή γραμμή στη θέση 1 και συνεπώς συγραμμικό με το διάνυσμα ταχύτητας στην ίδια θέση v(ux,uy). Άρα, τα δύο διανύσματα έχουν την ίδια κλίση και συνεπώς ισχύει η παρακάτω εξίσωση: Y Υ Χ Γενικεύοντας σε χώρο τριών διαστάσεων, η εξίσωση της ροϊκής γραμμής είναι:
Έννοια Ολικής παραγώγου χωροχρονικής συνάρτησης ΕΙΔΗ ΡΟΗΣ 1. Εσωτερική Ροή Κάθε ροή που περιορίζεται από δύο φυσικά όρια Εξωτερική Ροή Κάθε ροή που περιορίζεται από ένα μόνο φυσικό όριο 2. Μονοδιάστατη Ροή Πολυδιάστατη Ροή (δισδιάστατη ή τρισδιάστατη) V(x,y,z,t) V(x,t) Έννοια Ολικής παραγώγου χωροχρονικής συνάρτησης Για να περιγραφεί το πεδίο ροής κατά Euler πρέπει να γραφούν οι εξισώσεις μεταβολής (equations of change) στον όγκο ελέγχου οποιασδήποτε μεταβλητής ή ιδιότητας του ρευστού. Η ολική παράγωγος εκφράζει το ρυθμό μεταβολής οποιασδήποτε μεταβλητής μέσα στο πεδίο ροής. Για οποιαδήποτε μεταβλητή του ρευστού a(x,y,z,t), η ολική παράγωγος δίνεται από την παρακάτω σχέση: Ανυσματικός διαφορικός τελεστής που παρέχει τη κλίση μιας βαθμωτής συνάρτησης
3. ΕΙΔΗ ΡΟΗΣ Μόνιμη Ροή (Steady Flow) Όταν οι ιδιότητες του ρευστού στο πεδίο ροής δεν μεταβάλλονται με το χρόνο Μη Μόνιμη Ροή (Unsteady Flow) Όταν οι ιδιότητες του ρευστού στο πεδίο ροής μεταβάλλονται με το χρόνο Συνεπώς, για κάθε ιδιότητα ή μεταβλητή του ρευστού μπορούμε να γράψουμε: Ρυθμός μεταβολής σε συγκεκριμένη θέση (Local unsteady term) Ολικός ρυθμός μεταβολής Ρυθμός μεταβολής ως προς τις χωρικές συντεταγμένες (convective rate of change term) Η ολική παράγωγος της ταχύτητας δίνεται:
4. 5. ΕΙΔΗ ΡΟΗΣ Ομοιόμορφη Ροή (Uniform Flow) Όταν το διάνυσμα της ταχύτητας δεν μεταβάλλεται από θέση σε θέση του πεδίου ροής για μια οποιαδήποτε χρονική στιγμή Μη Ομοιόμορφη Ροή (Nonuniform Flow) Όταν το διάνυσμα της ταχύτητας μεταβάλλεται από θέση σε θέση του πεδίου ροής για μια οποιαδήποτε χρονική στιγμή 5. Ατριβής Ροή (Inviscid Flow) Η ροή στη μη διαταραγμένη περιοχή Ιξώδης Ροή (Viscid Flow) Η ροή στη διαταραγμένη περιοχή (μέσα στο οριακό στρώμα ταχύτητας) u u u Μη διαταραγμένη περιοχή πεδίου ροής Οριακό στρώμα ταχύτητας Ζώνη διαταραχής πεδίου ροής X X=0 X=Χ1 X=Χ2
6. ΕΙΔΗ ΡΟΗΣ Στρωτή Ροή (Laminar Flow) Η ροή κατά την οποία τα στοιχεία του ρευστού κινούνται κατά μήκος ομαλών τροχιών με τη μορφή μη αναμίξιμων στρωμάτων (laminas). Η ροή αυτή ελέγχεται ισχυρά από τις δυνάμεις ιξώδους και δεν είναι σταθερή σε περιπτώσεις ροής ρευστών που έχουν μικρό ιξώδες ή ρέουν με μεγάλη ταχύτητα. Τυρβώδης Ροή (Turbulent Flow) Η ροή κατά την οποία τα στοιχεία του ρευστού κινούνται σε πολύ ακανόνιστες και στροβιλώδεις τροχιές προκαλώντας ταχύτατη μεταφορά ορμής από μια περιοχή του ρευστού σε μια άλλη με αποτέλεσμα οι ιδιότητες του ρευστού να μεταβάλλονται χαοτικά με τη θέση και το χρόνο μέσα στο πεδίο ροής. Η ροή αυτή ελέγχεται ισχυρά από τις δυνάμεις αδράνειας και αποτελεί το συνηθέστερο είδος ροής στην καθημερινή πρακτική. Η ιξώδης ροή διακρίνεται σε στρωτή και τυρβώδη
ΕΙΔΗ ΡΟΗΣ – Αριθμός Reynolds Όπου το D εκφράζει ένα γεωμετρικό μέγεθος με διαστάσεις μήκους που εξαρτάται κάθε φορά από το πεδίο ροής που μελετάμε. Για παράδειγμα το D εκφράζει τη διάμετρο ενός κυλινδρικού αγωγού στην περίπτωση μελέτης ροής σε σωληνώσεις. Οι κρίσιμες τιμές του αριθμού Reynolds που διαχωρίζουν τα είδη ροής εξαρτώνται κάθε φορά από το υπό μελέτη πεδίο ροής. Για ροή σε σωληνώσεις ισχύει: Re<2000 Στρωτή ροή 2000<Re<4000 Μεταβατική ροή Re>4000 Τυρβώδης ροή Μεταβολή ροής
Συνθήκη ασυμπίεστης ροής ΕΙΔΗ ΡΟΗΣ 7. Συμπιεστή Ροή (Compressible Flow) Όταν η πυκνότητα ρ κάθε στοιχείου του ρευστού δεν είναι σταθερή αλλά μεταβάλλεται μέσα στο πεδίο ροής Ασυμπίεστη Ροή (Incompressible Flow) Όταν η πυκνότητα ρ κάθε στοιχείου του ρευστού είναι σταθερή μέσα στο πεδίο ροής Ο χαρακτηρισμός μιας ροής ως συμπιεστής ή ασυμπίεστης γίνεται μέσω του αριθμού Mach που ορίζεται μέσω της παρακάτω σχέσης: V= Ταχύτητα ρευστού c= Ταχύτητα ήχου Ε= μέτρο ελαστικότητας Συνθήκη ασυμπίεστης ροής Μ0.3 8. Αδιαβατική Ροή (Adiabatic Flow) Είναι η ροή ενός ρευστού κατά την οποία δεν μεταφέρεται θερμότητα από και προς το ρευστό Ισεντροπική Ροή (Isentropic Flow) Είναι η ροή ενός ρευστού κατά την οποία α) δεν μεταφέρεται θερμότητα από και προς το ρευστό β) είναι ατριβής
9. = + + = ΕΙΔΗ ΡΟΗΣ Στροβιλή Ροή (Rotational or Vortex Flow) Κάθε ροή στην οποία τα στοιχεία του ρευστού ταυτόχρονα με τη μεταφορική κίνηση εκτελούν και περιστροφική κίνηση γύρω από τον εαυτό τους. Αστρόβιλη Ροή (Irrotational Flow) Κάθε ροή στην οποία τα στοιχεία του ρευστού εκτελούν μόνο μεταφορική κίνηση σε ευθύγραμμες ή κυκλικές τροχιές = Μετατόπιση Γραμμική παραμόρφωση + Περιστροφή Γωνιακή παραμόρφωση + = Μετατόπιση Γραμμική παραμόρφωση Αρχικό στοιχείο ρευστού Στοιχείο ρευστού μετά από χρόνο dt Αρχικό στοιχείο ρευστού Στοιχείο ρευστού μετά από χρόνο dt Στις περισσότερες πρακτικές περιπτώσεις, οι αναπτυσσόμενες διατμητικές τάσεις είτε λόγω της παρουσίας διεπιφανειών είτε λόγω της βάθμωσης πυκνότητας δημιουργούν στροβιλή ροή