ΕΛΕΥΘΕΡΗ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗ ΧΩΡΙΣ ΑΠΟΣΒΕΣΗ u q h k A B Γ Δ l B Γ VΓΔ VΒΑ FI Η απλούστερη δυνατή μορφή ταλάντωσης μονοβάθμιου ταλαντωτή, είναι όταν η εξωτερική διέγερση f(t) και η απόσβεση c, είναι μηδενικές. Η ταλάντωση οφείλεται στην επιβολή, την χρονική στιγμή t = 0, αρχικής μετατόπισης u0 ή/και αρχικής ταχύτητας u’0, ενώ μετά την απομάκρυνση από την αρχική θέση ισορροπίας το σύστημα αφήνεται να ταλαντωθεί ελεύθερα.

A1 T=1 sec U(0)=0.03m U'(0)=0 m/sec ξ=0

A2 T=1 sec U(0)=0.03m U'(0)= +/- 0.1 m/sec ξ=0

A3 T=1 sec U(0)=0.03 & 0.05m U'(0)= 0.03 m/sec ξ=0

A4 T=1 & 0.5 sec U(0)=0.03 m U'(0)= 0 m/sec ξ=0

u(t) = R1 cos ωt + R2 sin ωt = R sin(ωt+θ) Η εξίσωση της ταλάντωσης είναι: m u’’(t) + ku(t) = 0 Η λύση της ομογενούς γραμμικής διαφορικής εξίσωσης 2ου βαθμού , είναι u(t) = Aert με χαρακτηριστική εξίσωση (mr2 + k) = 0 m,k >0  r2 <0 η οποία έχει ρίζες: r =  iω , όπου ω2 = k/m Από την ταυτότητα του Euler: e iωt = cos ωt  sin ωt, προκύπτει τελικά u(t) = R1 cos ωt + R2 sin ωt = R sin(ωt+θ) Όπου R2 = R12 + R22 και tan θ = R1/R2 Εξίσωση αρμονικής ταλάντωσης εύρους R και κυκλικής συχνότητας ω.

u’(t) = R1 [-sin ωt]ω + R2 [cos ωt]ω u(t) = u0 cos ωt + u’0 /ω sin ωt u(t) = R1 cos ωt + R2 sin ωt u’(t) = R1 [-sin ωt]ω + R2 [cos ωt]ω Oι συντελεστές R1 και R2 προσδιορίζονται από τις αρχικές συνθήκες u0 και u’0, με τις σχέσεις R1 = u0 , R2 = u’0 /ω Γιατί?? Αντικαθιστώντας, η εξίσωση κίνησης παίρνει την μορφή: u(t) = u0 cos ωt + u’0 /ω sin ωt Κατά συνέπεια, η ελεύθερη ταλάντωση μονοβάθμιου συστήματος χωρίς απόσβεση είναι μία ΑΡΜΟΝΙΚΗ κίνηση της οποίας το, ΑΜΕΙΩΤΟ με την πάροδο του χρόνου, εύρος εξαρτάται από τις αρχικές συνθήκες, ενώ η συχνότητά της εξαρτάται τα μηχανικά του χαρακτηριστικά (μάζα και ακαμψία).

ωο = [k/m]1/2 (σε rad/s), To = 2π/ω0 (σε s) Για τον λόγο αυτό, η συγκεκριμένη συχνότητα με την οποία ταλαντώνεται ελεύθερα ο μονοβάθμιος ταλαντωτής – ανεξάρτητα από το είδος της αρχικής του διαταραχής - ονομάζεται ιδιοσυχνότητα ωο του ταλαντωτή, ενώ ο χρόνος που απαιτείται για την εκτέλεση μιας πλήρους ελεύθερης ταλάντωσης, καλείται ιδιοπερίοδος Το. ωο = [k/m]1/2 (σε rad/s), To = 2π/ω0 (σε s)

u0 t(s) 1 2 3 4 5 To = 2π/ωο R u’0

Αβαρείς στύλοι διατομής 30/30 cm. Παράδειγμα 2.2 Αβαρείς στύλοι διατομής 30/30 cm. Στατική μεταφορική δύναμη fst = 174.75 kN, προκαλεί αρχική μετατόπιση u0. Κατόπιν το σύστημα αφήνεται να ταλαντωθεί ελεύθερα. Να υπολογισθούν η ιδιοπερίοδος, η θέση & η ταχύτητα του φορέα μετά παρέλευση χρόνου t = 0.5 s. Να ληφθούν: g = 10 m/s2 και E = 25*109 N/m2. 10 kN/m 3,0 m 10,0 m A B Γ Δ 5,0 m

ΛΥΣΗ (α) Μετατροπή μονάδων (σε kN-m). a = 30cm = 0.3m. Ε = 25*109 N/m2 = 25*106 kN/m2 (β) Υπολογισμός μάζας: w = q*L = 10*10 = 100 kN m = W/g = 100/10 = 10 kN*sec2/m = 10 tn (γ) Υπολογισμός δυσκαμψίας: k = kAB + kΓΔ. Η ροπή αδράνειας της κοινής τετραγωνικής διατομής είναι: I = a4/12 = 0.34/12 = 6.75*10-4 m4 kAB = 3*EI/h3 = 3*(2.5*107)*( 6.75*10-4) / 33 =1875 kN/m kΓΔ = 12*EI/h3 = 12*(2.5*107)*( 6.75*10-4) / 53 = 1620 kN/m Συνολικά, k = 1875 + 1620 = 3495 kN/m

ω = [k/m]1/2 = [3495/10]1/2 = 10.69 rad/sec (δ) Ιδιοσυχνότητα ω (rad/sec) – Ιδιοπερίοδος Τ (sec) ω = [k/m]1/2 = [3495/10]1/2 = 10.69 rad/sec T = 2π/ω = 0.336 sec (ε) Αρχική μετατόπιση λόγω στατικού φορτίου u0 = Fst/k = 174.75/3495 = 0.05 m Αρχική ταχύτητα u’0 = 0 (στ) Εξίσωση ταλάντωσης -ταχύτητας: u(t) = u0 cos ωt + u’0 /ω sin ωt = 0.05 cos 10.69t u’(t) = -0.05*10.69 sin 10.69t Για t = 0.5 sec u(0.5) = 0.0296 m, u’(0.5) = 0.431 m/sec ΠΡΟΣΟΧΗ  Γωνίες σε rad