Προβλήματα Γραμμικού Προγραμματισμού Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Πρόγραμμα Μεταπτυχιακών Σπουδών στη «Λογιστική & Χρηματοοικονομική» Μάθημα: Ποσοτικές Μέθοδοι για Λήψη Αποφάσεων Προβλήματα Γραμμικού Προγραμματισμού Α. Σπυριδάκος - Ι. Ψαρομήλιγκος – Ν. Τσότσολας Γενικό Τμήμα Μαθηματικών, ΤΕΙ Πειραιά (psaromiligkos@gmail.com)

Περιεχόμενα Παραγωγή σε επιχείρηση ζωοτροφών Το Πρόβλημα του Χαρτοφυλακίου Κατανομή Αιθουσών Επιλογή Χαρτοφυλακίου Εκμετάλλευση δύο λατομείων

Παραγωγή σε επιχείρηση ζωοτροφών (1) Μια επιχείρηση ζωοτροφών έχει μια παραγγελία από ένα πελάτη της για την παρασκευή 1000 κιλών ζωοτροφής η οποία θα πρέπει να περιέχει τουλάχιστον 30% πρωτεΐνη και 40% υδατάνθρακες. Για την παραγωγή της συγκεκριμένης παρτίδας ο υπεύθυνος παραγωγής αποφάσισε αν αναμείξει εισαγόμενη πλούσια σε θρεπτικά υλικά τροφή με ιχθυάλευρο και δημητριακά, ώστε να μειώσει το κόστος, ικανοποιώντας τις ελάχιστες διαιτητικές απαιτήσεις του πελάτη σε περιεκτικότητα πρωτεϊνών και υδατανθράκων. Η εισαγόμενη τροφή έχει περιεκτικότητα 40% σε πρωτεΐνες, 40% σε υδατάνθρακες και κοστίζει 1000 δραχμές το κιλό. Το ιχθυάλευρο έχει περιεκτικότητα 25% σε πρωτεΐνες και 20% σε υδατάνθρακες και κοστίζει 700 δραχμές το κιλό ενώ τέλος τα δημητριακά έχουν περιεκτικότητα 20% και 40% αντίστοιχα σε πρωτεΐνες και υδατάνθρακες και κοστίζουν 800 δραχμές το κιλό.   Περιεκτικότητα σε πρωτεΐνες (%) Περιεκτικότητα σε υδατάνθρακες (%) Κόστος (δρχ/κιλό) Εισαγόμενη Τροφή 40% 1000 Ιχθυάλευρο 25% 20% 700 Δημητριακά 800

Παραγωγή σε επιχείρηση ζωοτροφών (2) Το πρόβλημα αυτό μπορεί να διατυπωθεί ως πρόβλημα Γραμμικού Προγραμματισμού ως εξής:   Μεταβλητές του Προβλήματος Ο υπεύθυνος προβλήματος πρέπει να προσδιοριστεί τις ποσότητες από κάθε υλικό που θα πρέπει να αναμείξει. Επομένως θέτουμε: Χ1= Ποσότητα (σε κιλά) Εισαγόμενης Τροφής Χ2= Ποσότητα (σε κιλά) Εισαγόμενης Ιχθυάλευρου Χ3= Ποσότητα (σε κιλά) Εισαγόμενης Δημητριακών Αντικειμενική Συνάρτηση Στόχος υπευθύνου παραγωγής είναι η ελαχιστοποίηση του κόστους παραγωγής των 1000 κιλών ζωοτροφής. Εφ’ όσον γνωρίζουμε τις τιμές ανά κιλό των ποσοτήτων Χ1, Χ2 και Χ3 το συνολικό κόστος είναι 1000Χ1 + 700Χ2 + 800Χ3, και επομένως η αντικειμενική συνάρτηση διατυπώνεται ως: [min] z = 1000Χ1 + 700Χ2 + 800Χ3

Παραγωγή σε επιχείρηση ζωοτροφών (3) Ποσότητα παραγωγής Η συνολική παραγωγή της ζωοτροφής πρέπει να είναι 1000 κιλά. Επομένως: Χ1 + Χ2 + Χ3= 1000   Ποσότητα πρωτεϊνών Η συνολική ποσότητα πρωτεϊνών θα πρέπει να είναι 30% της συνολική ποσότητας της τροφής. Εφ όσον θα παραχθούν 1000 κιλά η ποσότητα των πρωτεϊνών θα πρέπει να είναι τουλάχιστον 300κιλά. Κάθε κιλό υλικού έχει περιέχει συγκεκριμένο ποσοστό σε πρωτεΐνες σύμφωνα με τον προηγούμενο πίνακα. Οπότε έχουμε:   0,40Χ1 + 0,25Χ2 + 0,20Χ3 ≥ 300 Ποσότητα υδατανθράκων Με τον ίδιο τρόπο διατυπώνουμε και τον περιορισμό που αφορά την ελάχιστη ποσότητα των υδατανθράκων: 0,40Χ1 + 0,20Χ2 + 0,40Χ3 ≥ 400

Παραγωγή σε επιχείρηση ζωοτροφών (4) Η συνολική διατύπωση του προβλήματος έχει επομένως ως εξής: [min] z =1000Χ1 + 700Χ2 + 800Χ3   υπό τους περιορισμούς: Περιορισμός συνολικής ποσότητας: Χ1 + Χ2 + Χ3= 1000 Περιορισμός πρωτεϊνών: 0,40Χ1 + 0,25Χ2 + 0,20Χ3 ≥ 300 Περιορισμός υδατανθράκων 0,40Χ1 + 0,20Χ2 + 0,40Χ3 ≥ 400 Μη αρνητικότητας Χ1 , Χ2 , Χ3 ≥ 0

Παραγωγή σε επιχείρηση ζωοτροφών (5) Κελιά μεταβλητών απόφασης Κελιά με συναρτήσεις Συντελεστές περιορισμών Συντελεστές αντικειμενικής συνάρτησης Δεξιά μέρη περιορισμών

Παραγωγή σε επιχείρηση ζωοτροφών (6)

Παραγωγή σε επιχείρηση ζωοτροφών (7)

Παραγωγή σε επιχείρηση ζωοτροφών (8) Τιμές μεταβλητών απόφασης Υπολογισμένες ποσότητες περιορισμών

Παραγωγή σε επιχείρηση ζωοτροφών (9) Τιμές μεταβλητών απόφασης Αχρησιμοποίητες ποσότητες Υπολογισμένες ποσότητες περιορισμών

Παραγωγή σε επιχείρηση ζωοτροφών (10) Άνω – κάτω όρια συντελεστών αντικειμενικής συνάρτησης Άνω – κάτω όρια περιορισμών

Το Πρόβλημα του Χαρτοφυλακίου (1) Αφορά προβλήματα που αντιμετωπίζονται συνήθως σε Χρηματο- Πιστωτικούς Οργανισμούς και Επενδυτικούς Φορείς. Στα προβλήματα αυτά υπάρχει διαθέσιμο ένα Κεφάλαιο το οποίο απαιτείται να επενδυθεί σε ένα ορισμένο σύνολο διαφορετικών επενδυτικών προϊόντων (μετοχές, ομολόγα, αγορά ξένου νομίσματος. Οι περιορισμοί συνήθως προέρχονται από εξωγενείς παράγοντες όπως επίσης και από την μείωση του επενδυτικού Κινδύνου. Στόχος είναι η μεγιστοποίηση του αναμενόμενου κέρδους

Το Πρόβλημα του Χαρτοφυλακίου (2) Μια επιχείρηση θέλει να επενδύσει για συγκεκριμένη χρονική περίοδο 250.000 € σε μετοχές. Το Οικονομικό τμήμα της επιχείρησης μετά από έρευνα της αγοράς κατέληξε σε αξιόπιστες προβλέψεις για την απόδοση κοινών και προνομιούχων μετοχών συγκεκριμένων εταιρειών του ΧΑΑ σε σύγκριση με την απόδοση διαφόρων άλλων εναλλακτικών λύσεων όπως τίτλων δημοσίου, πιστοποιητικών κατάθεσης και ομολόγων κρατικών επιχειρήσεων Επένδυση Αναμενόμενη Απόδοση Κοινές Μετοχές 16% Προνομιούχες Μετοχές 18% Ομόλογα Κρατικών Επιχειρήσεων 20% Κρατικά Ομόλογα 15% Αγορά Συναλλαγματος

Το Πρόβλημα του Χαρτοφυλακίου (3) Το οικονομικό τμήμα της επιχείρησης πιστεύει επίσης ότι δεν θα υπάρξουν σημαντικές αυξομειώσεις στις παραπάνω αποδόσεις στο χρονικό διάστημα του προγραμματισμού και επομένως μπορούν να θεωρηθούν σταθερές.  Η διεύθυνση της επιχείρησης έχει θέσει ορισμένους κανόνες που αφορούν στην καλύτερη κατανομή του κεφαλαίου για επένδυση. Οι κανόνες αυτοί είναι. Το ποσό που θα επενδυθεί σε κοινές μετοχές δεν θα ξεπερνά το 30% του Κεφαλαίου που θα επενδυθεί, καθώς παρουσιάζουν μεγαλύτερο επενδυτικό κίνδυνο. Το ποσό που θα επενδυθεί σε κρατικά ομόλογα θα πρέπει να είναι μεγαλύτερο ή ίσο του ποσού που θα επενδυθεί σε Αγορά Συναλλάγματος Το συνολικό ποσό που θα επενδυθεί σε ομόλογα δεν θα ξεπερνά το 40% του συνολικού ποσού της επένδυσης Το ποσό που θα επενδυθεί σε μετοχές δεν θα ξεπερνά το 50% της συνολικής επένδυσης  Να προσδιορισθούν τα ποσά που θα επενδυθούν σε κάθε εναλλακτική επένδυση με στόχο την μεγιστοποίηση της αναμενόμενης απόδοσης.

Το Πρόβλημα του Χαρτοφυλακίου (3) Η συνολική διατύπωση του προβλήματος έχει επομένως ως εξής: [max] z =0.16Χ1 + 0.18Χ2 + 0.20Χ3 + 0.15Χ4 + 0.16Χ5  υπό τους περιορισμούς:   Περιορισμός συνολικής επένδυσης: Χ1 + Χ2 + Χ3 + Χ4 + Χ5 = 250.000 Περιορισμός 1ος: Χ1 =< 0.3 (Χ1 + Χ2 + Χ3 + Χ4 + Χ5) Περιορισμός 2ος: Χ4 >= Χ5 Περιορισμός 3ος: Χ3 + Χ4 =< 0.4 (Χ1 + Χ2 + Χ3 + Χ4 + Χ5) Περιορισμός 4ος: Χ1 + Χ2 =< 0.5 (Χ1 + Χ2 + Χ3 + Χ4 + Χ5) Μη αρνητικότητας Χ1 , Χ2 , Χ3 , Χ4 , Χ5 ≥ 0

Το Πρόβλημα του Χαρτοφυλακίου (4)

Το Πρόβλημα του Χαρτοφυλακίου (5)

Το Πρόβλημα του Χαρτοφυλακίου (6)

Το Πρόβλημα του Χαρτοφυλακίου (7)

Το Πρόβλημα του Χαρτοφυλακίου (8)

Κατανομή Αιθουσών (1) Το ΤΕΙ Πειραιά θέλει να επεκτείνει τις εγκαταστάσεις του με νέες αίθουσες διδασκαλίας, προκειμένου να καλύψει τις διδακτικές του Ανάγκες. Χρησιμοποιούνται τριών τύπων αίθουσες διδασκαλίας: α) μικρές 60 τ.μ. Β) Μεσαίες 90 τ.μ. και γ) οι μεγάλες των 150 τ.μ. που η κατασκευή τους κοστίζει αντίστοιχα 15000€, 23000€ και 35000€ και μπορούν να φιλοξενήσουν 40, 70 και 160 φοιτητές αντίστοιχα. Απαιτούνται τουλάχιστον 5 μικρές, 7 μεσαίες και από 4 έως 8 μεγάλες αίθουσες. Η συνολική επιφάνεια των αιθουσών δεν πρέπει να ξεπερνά τα 1950 τ.μ. Να υπολογισθεί ο αριθμός των αιθουσών ανά κατηγορία που πρέπει να κατασκευαστεί ώστε να ελαχιστοποιηθεί το κόστος κατασκευής και να μεγιστοποιηθεί ο αριθμός των φοιτητών που μπορούν να φιλοξενηθούν ταυτόχρονα.

Κατανομή Αιθουσών (2) Η συνολική διατύπωση του προβλήματος έχει επομένως ως εξής: [max] z1 =40Χ1 + 70Χ2 + 160Χ3 (αριθμός μαθητών) [min] z2 =15000Χ1 + 23000Χ2 + 35000Χ3 (κόστος κατασκευής)  υπό τους περιορισμούς:   Περιορισμός μικρών αιθουσών: Χ1 >= 5 Περιορισμός μεσαίων αιθουσών: Χ2 >= 7 Περιορισμοί μεγάλων αιθουσών: Χ3 >= 4, Χ3 =< 8 Περιορισμός επιφάνειας: 60Χ1 + 90Χ2 + 100Χ3 =< 1950 Μη αρνητικότητας Χ1 , Χ2 , Χ3 ≥ 0

Κατανομή Αιθουσών (3)

Κατανομή Αιθουσών (4)

Κατανομή Αιθουσών (5)

Κατανομή Αιθουσών (6)

Κατανομή Αιθουσών (7)

Κατανομή Αιθουσών (8)

Κατανομή Αιθουσών (9)

Κατανομή Αιθουσών (10)

Κατανομή Αιθουσών (11)

Κατανομή Αιθουσών (12)

Κατανομή Αιθουσών (13)

Κατανομή Αιθουσών (14)

Επιλογή Χαρτοφυλακίου (1) Η εταιρεία επενδύσεων «ΖΗΤΑ Α.Ε.» σκοπεύει να επενδύσει ένα μέρος από τα ρευστά διαθέσιμα της σε χρηματιστηριακούς τίτλους. Ο χρηματοοικονομικός αναλυτής της εταιρείας, μετά από σχετική ανάλυση των μετοχών του χρηματιστηρίου αξιών, πρότεινε στον οικονομικό διευθυντή να επενδύσει το ποσό αυτό στις δύο πλέον αποδοτικές μετοχές τριών συγκεκριμένων κλάδων. Πιο συγκεκριμένα, οι προτεινόμενες μετοχές ήταν. οι μετοχές Α και Β του τραπεζικού κλάδου, οι μετοχές Γ και Δ του εμπορικού κλάδου και οι μετοχές Ε και Ζ του βιομηχανικού κλάδου, ενώ ένα συγκεκριμένο ποσοστό των διαθέσιμων της εταιρείας πρέπει να αφορά τα μετρητά στο ταμείο της εταιρείας.

Επιλογή Χαρτοφυλακίου (2) Μάλιστα, ο χρηματοοικονομικός αναλυτής διαμόρφωσε τον επόμενο πίνακα, ο οποίος περιλαμβάνει όλα τα οικονομικά δεδομένα για την κατάρτιση του προγράμματος επενδύσεων, όπως: - το ετήσιο αναμενόμενο ποσοστό απόδοσης, - τη διάρκεια της οικονομικής ζωής της επένδυσης (αναμενόμενος αριθμός ετών που απαιτούνται για να πραγματοποιηθεί το ετήσιο ποσοστό απόδοσης, λαμβάνοντας φυσικά υπόψη και τη δυνατότητα επανεπένδυσης), - το συντελεστή κινδύνου (υποκειμενική εκτίμηση του χρηματοοικονομικού αναλυτή σχετικά με τον κίνδυνο της αντίστοιχης επένδυσης, η μέτρηση της οποίας γίνεται σε κλίμακα από 0 μέχρι 10, με 0 την ανυπαρξία κινδύνου και 10 το μέγιστο δυνατό κίνδυνο).

Επιλογή Χαρτοφυλακίου (3) Επένδυση Αναμενόμενο ποσοστό απόδοσης (%) Διάρκεια οικονομικής ζωής (έτη)   Συντελεστής κινδύνου (βαθμοί) Τραπεζική μετοχή Α 6 7 2 Τραπεζική μετοχή Β 4 5 1 Εμπορική μετοχή Γ 14 8 Εμπορική μετοχή Δ 9 3 Βιομηχανική μετοχή Ε 17 Βιομηχανική μετοχή Ζ 13 10 Μετρητά

Επιλογή Χαρτοφυλακίου (4) Ο οικονομικός διευθυντής, αφού συνέκρινε τις παραπάνω αποδόσεις με αντίστοιχες άλλων οικονομικών αναλυτών, που είχαν δημοσιευθεί στον ημερήσιο και εβδομαδιαίο τύπο κατά το τελευταίο χρονικό διάστημα, έδωσε στο χρηματοοικονομικό αναλυτή του τις εξής οδηγίες: • Το διαθέσιμο ποσό από την εταιρεία να επενδυθεί στις διάφορες εναλλακτικές επενδύσεις στο σύνολο του. • Η μέση διάρκεια της οικονομικής ζωής του χαρτοφυλακίου να μην υπερβαίνει τα 8 έτη. • Ένα ποσοστό τουλάχιστον 5% του συνολικού διαθέσιμου ποσού να παρακρατηθεί με τη μορφή μετρητών στο ταμείο της εταιρείας, ώστε να εξασφαλίζεται η απαιτούμενη ρευστότητα στο κεφάλαιο κίνησης. • Θα πρέπει να επενδυθεί ένα ποσοστό τουλάχιστον 5% σε κάθε έναν από τους τρεις οικονομικούς κλάδους, ώστε να είναι δυνατή μια διασπορά στο χαρτοφυλάκιο των μετοχών.

Επιλογή Χαρτοφυλακίου (5) ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ ΑΠΟΦΑΣΗΣ X1=ΤΡΑΠΕΖΙΚΗΜΕΤΟΧΗ 1 (ποσοστό επένδυσης) X2=ΤΡΑΠΕΖΙΚΗ ΜΕΤΟΧΗ 2 (ποσοστό επένδυσης) X3=ΕΜΠΟΡΙΚΗ ΜΕΤΟΧΗ 1 (ποσοστό επένδυσης) Χ4=ΕΜΠΟΡΙΚΗ ΜΕΤΟΧΗ 2 (ποσοστό επένδυσης) Χ5=ΒΙΟΜΗΧΑΝΚΗ ΜΕΤΟΧΗ 1 (ποσοστό επένδυσης) Χ6=ΒΙΟΜΗΧΑΝΙΚΗ ΜΕΤΟΧΗ 2 (ποσοστό επένδυσης) Χ7= ΠΟΣΟΣΤΟ ΔΙΑΘΕΣΙΜΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ (%)

Επιλογή Χαρτοφυλακίου (6) ΠΕΡΙΟΡΙΣΜΟΥΣ Η μέση διάρκεια της οικονομικής ζωής του συνόλου του χαρτοφυλακίου να μην υπερβαίνει τα 8 έτη 7*Χ1 + 5*Χ2 + 8*Χ3 + 9*Χ4 + 7*Χ5 + 10*Χ6 <=8 (έτη) Θα πρέπει να επενδυθεί ένα ποσοστό τουλάχιστον 5% σε κάθε έναν από τους τρεις οικονομικούς κλάδους. X1 + X2 >= 0,05 (ποσοστιαίες μονάδες) Χ3 + Χ4 >= 0,05 (ποσοστιαίες μονάδες) X5 + X6 >= 0,05 (ποσοστιαίες μονάδες) Χ1 + X2 + X3 + X4 + X5 + X6 + Χ7 = 1 (διαθέσιμες ποσοστιαίες μονάδες) Χ7 >= 0,05 (ποσοστιαίες μονάδες) X1 , X2 , X3, X4, X5, X6, Χ7 >= 0

Επιλογή Χαρτοφυλακίου (7) ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΜΕΓΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗΣ ΤΗΣ ΑΠΟΔΟΣΗΣ ΧΑΡΤΟΦΥΛΑΚΙΟΥ   Max g1(x) = 6*Χ1 + 4*Χ2 + 14*Χ3 + 8*Χ4 +17*Χ5 + 13*Χ6 ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΕΛΑΧΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗΣ ΤΟΥ ΚΙΝΔΥΝΟΥ ΧΑΡΤΟΦΥΛΑΚΙΟΥ Min g2(x) = 2*Χ1 + 1*Χ2 + 6*Χ3 + 3*Χ4 +8*Χ5 + 5*Χ6

Εκμετάλλευση δύο λατομείων (1) Δημοτική επιχείρηση υπέγραψε πρόσφατα συμβόλαιο εκμετάλλευσης δύο λατομείων της Κρήτης που βρίσκονται, το πρώτο στην περιοχή του Ηρακλείου και το δεύτερο στην περιοχή του Ρεθύμνου. Στο συμβόλαιο με τον προηγούμενο ιδιοκτήτη των λατομείων περιλαμβάνονται οι παρακάτω όροι: Η συνολική εκμετάλλευση των δύο λατομείων θα πρέπει να εκτείνεται μεταξύ 200 και 400 στρεμμάτων. Η εκμετάλλευση του λατομείου Ηρακλείου πρέπει να ανέρχεται κατ’ ελάχιστο στα 100 στρέμματα Η συνολική απασχόληση δεν πρέπει να ξεπεράσει τις 12.000 ανθρωπομήνες ετησίως.

Εκμετάλλευση δύο λατομείων (2) Στον πίνακα που ακολουθεί δίνονται τα εξής στοιχεία: η απαιτούμενη απασχόληση για την εκμετάλλευση των λατομείων, εκφρασμένη σε ανθρωπομήνες/στρέμμα, το αναμενόμενο εμπορικό κέρδος από την εκμετάλλευση των λατομείων, εκφρασμένο σε εκατομμύρια δρχ./στρέμμα. και τέλος το περιβαλλοντικό κόστος (υποβάθμιση χλωρίδας, πανίδας, φυσικού κάλλους, ...) που οφείλεται στην ανάπτυξη των λατομείων και εκφράζεται σε μονάδες περιβαλλοντικού κόστους μ.π.κ.)/στρέμμα. Περιοχή Λατομείου   Απασχόληση (εργατομήνες/ στρέμμα/έτος) Εμπορικό κέρδος (χιλ.€/στρέμμα/έτος) Περιβαλλοντικό κόστος (μ.π.κ./στρέμμα/έτος) Ηράκλειο Ρέθυμνο 2,5 4  10 8 500 100

Εκμετάλλευση δύο λατομείων (3) Ο διευθυντής της δημοτικής επιχείρησης θέλει να προσδιορίσει το ύψος της εκμετάλλευσης των δύο λατομείων με στόχο τη μεγιστοποίηση του ετήσιου εμπορικού κέρδους. Από την άλλη μεριά οι περιβαλλοντικές αρχές της περιοχής στοχεύουν στην ελαχιστοποίηση των περιβαλλοντικών επιπτώσεων. Να λυθεί να το πρόβλημα με τη μέθοδο των ικανοποιητικών στόχων του πολυκριτήριου γραμμικού προγραμματισμού με τη βοήθεια του Excel.

Εκμετάλλευση δύο λατομείων (4) Μεταβλητές Απόφασης: Έστω xΗ και xΡ αντίστοιχα οι εκτάσεις των λατομείων στην περιοχή του Ηρακλείου και του Ρεθύμνου. Περιορισμοί: Συνολική εκμετάλλευση λατομείων: xΗ + xΡ ≤ 400 στρέμματα xΗ + xΡ ≥ 200 στρέμματα Εκμετάλλευση λατομείου Ηρακλείου: xΗ ≥ 100 στρέμματα Συνολική απασχόληση: 2,5xΗ + 4xΡ ≤ 1200 ανθρωπομήνες ετησίως

Εκμετάλλευση δύο λατομείων (5) Αντικειμενικές συναρτήσεις: Κριτήριο Εμπορικού Κέρδους [max]g1=10xΗ + 8xΡ (χιλ.€/έτος) Κριτήριο Περιβαλλοντικού Κόστους [min]g2=500xΗ + 100xΡ (μ.π.κ./έτος)