Tεχνολογία & Μαθηματικά Ιωάννη Μαρουλά Ομ. Καθηγητή ΕΜΠ 2nd SENS-ERA WORKSHOP “Advanced sensor systems and networks” TEI Πειραιά, 6-7 Δεκεμβρίου 2012

• Εισαγωγή • Τα Μαθηματικά για την Τεχνολογία : Στοιχεία Θεωρίας Συστημάτων Ελέγχου • Φίλτρο Kalman / Εφαρμογή στους αισθητήρες Διδασκαλία • Η τεχνολογία για τα Μαθηματικά : Μοντελοποίηση

Από αρχαιοτάτων χρόνων εμφανίζονται Μαθηματικά και Τεχνολογία αλληλοεξαρτώμενοι πυλώνες της επιστήμης •Μαθηματικά θεμελιώνουν την Τεχνολογία •Τεχνολογία δημιουργεί νέα Μαθηματική σκέψη

Οι Αρχαίοι Έλληνες στραμμένοι στην τεχνολογία • Ο Πλάτων στον “Πρωταγόρα” παρουσιάζει τον Προμηθέα γυμνό, ξυπόλητο, άοπλο και άστεγο, επανορθώνοντας με « έντεχνη σοφία » - τεχνογνωσία και το « πύρ » - ενέργεια. • Θεό ΄Ηφαιστο (θεό μηχανικό), Ταλώς (μυθικό ρομπότ)

19ο & 20ο αιώνα • Εκμάθηση της τέχνης χωρίς επιστημονικές αρχές (μακροχρόνια και κοπιώδη υπηρεσία κοντά σε τεχνίτη για την μύηση της τέχνης) • Προστασία και διαιώνιση της τέχνης. • Η τεχνική εκπ/ση θεσπίστηκε υπό μορφή μαθητείας -20ος αιων. • Για τις νέες τέχνες απαιτήθηκε πρόσβαση σε θεωρητικές γνώσεις που οδήγησε στην ακαδ/κη εκπ/ση στην σύγχρονη τεχνολογία Σύγκλιση επιστήμης και τεχνολογίας > έρευνα

• Τα Γαλλικά και Γερμανικά Παν/μια ήταν πρωτοπόρα στην κατεύθυνση αυτή, ενώ η Βρετανία καθυστέρησε λόγω της εξαιρετικά επιτυχημένης παράδοσης μαθητείας στη μηχανολογία και συναφή επιτηδεύματα. • Τον 20 ο αιώνα όλες οι προηγμένες χώρες στη βιομηχανία (και η Ιαπωνία) είχαν αναγνωρίσει τον κρίσιμο ρόλο της θεωρητικής τεχνολογικής εκπαίδευσης για την επίτευξη εμπορικής και βιομηχανικής επάρκειας

Πρόσφατο παρελθόν: χωρίς Η/Υ, κινητή τηλεφωνία, internet Σήμερα : Ταχύτατη εξέλιξη της τεχνολογίας (ξεπερασμένα τα διηγήματα επιστημονικής φαντασίας ) Μαθηματικά: επιφανειακή η αργή αίσθηση εξέλιξης • Δημιούργησε νέα επιστημονικά πεδία, όπως : Κρυπτογραφία, Τεχν.Νοημοσύνη, Θεωρία Συστημάτων …….

Θεωρία Συστημάτων Δεδομένα «μετασχηματίζονται» σε αποτελέσματα • Είσοδοι (inputs) >>>>>> Έξοδοι (outputs) • Ενδέχεται να έχει μνήμη και χαρακτηρίζεται από την εσωτερική του κατάσταση (transfer function) • Aνάδραση (feedback) : δέχεται ως είσοδο την έξοδο δηλ. αποστέλλονται μηνύματα m 1, m 2, …, m k με πιθανότητα εμφάνισης p 1, p 2,…, p k, όπου p k =1.

Παράδειγμα : Αυτοκίνητο ελέγχεται κατά την κίνηση του από γκάζι-φρένο και βρίσκεται σε απόσταση s(t) σε χρόνο t, από αρχ. σημείο s(t 0 ). Αν έχει ανά μον. μάζας επιταχυνόμενη δύναμη u 1 (t) και επιβραδυνόμενη δύναμη u 2 (t) (αγνοώντας τις άλλες δυνάμεις) η θέση x 1 (t) = s(t) και η ταχύτητα x 2 (t) = s΄(t) του αυτοκινήτου περιγράφονται από τις εξισώσεις : x΄ 1 = x 2, x΄ 2 = u 1 – u 2 ή x΄(t) = A x(t) + B u(t) (1) x= [x 1 x 2 ] T, u= [u 1 u 2 ] T, A=[0 1;0 0], B=[0 0;1 -1]

Συστήματα Ελέγχου Θεωρείστε πίνακες Α nxn, Β nxm και τους υπόχωρους C 0 = Im B, C 1 = Im [B AB], C 2 = Im [B AB A 2 B], …. δηλ. C p+1 = C p + Im (A p+1 B), τότε C 0 C 1 C 2 … Πρόταση 1. Αν C k+1 = C k, τότε C j = C k, για κάθε j > k. Τότε σημειώνουμε : C k = C A,B « χώρος ελεγξιμότητας »

Αν C A,B = C n = C n ( k = n ),το σύστημα (1) είναι ελέγξιμο, δηλ. για αρχική τιμή x(t 0 ) και μετά x 1 (Τ), υπάρχει συνεχής u(t), ώστε x (T)=x 1. Ισοδύναμα : rank [B AB … A n-1 B] = n Πρόταση 2. Ο χώρος C A,B είναι ο μικρότερος Α-αναλλοίωτος υπόχωρος που περιέχει τον Im B.

Πρόταση 4. Ισοδύναμες συνθήκες : • Σύστημα (1) ελέγξιμο. • Ker B* int Κer ( λΙ – Α )* = {0}, για κάθε λ. • rank [ λΙ – Α, Β] = n, για κάθε λ. Πρόταση 5. Aν στο σύστημα (1) rank C A,B = ν (< n) τότε υπάρχει αλγεβρικά ισοδύναμο σύστημα ( P=R -1 AR, Q=R -1 B) w΄(t) = P w(t) + Q u(t) όπου P = [P 1 P 2 ; 0 P 3 ], Q = [ Q 1 ; 0] και το σύστημα { P 1, Q 1 } είναι ελέγξιμο.

Όταν dim C Α*,Γ* = n, τότε Κ n ={0} και το σύστημα x΄(t) = Α x(t) + B u(t), y(t) = Γ x(t) (2) oνομάζεται παρατηρήσιμο, δηλ. δεδομένων u(t) και y(t), για t 0 < t < t 1, αναζητείται x(t 0 ). Στο παράδειγμα (σελ 9), για y = x 2 = [0 1] x το σύστημα δεν είναι παρατηρήσιμο, αφού δεν υπολογίζεται το x 1 (t 0 ).

Tο σύστημα x΄(t) = - A* x(t)+ Γ* u(t) y(t) = B* x(t) ονομάζεται δυικό του (2) Συνεπώς, το σύστημα (2) είναι παρατηρήσιμο ακριβώς όταν το δυικό του είναι ελέγξιμο, δηλ rank K n-1 = n

Αν u(t) = M x(t) + v(t), τότε (κατάσταση ανάδρασης) x΄(t) = (A+BM) x(t) + B v(t) (3) • Οι χώροι ελεγξιμότητας των συστημάτων (1) και (3) ταυτίζονται. Πρόταση 7. Αν Θ n = {θ 1, θ 2, …,θ n } και το σύστημα (1) είναι ελέγξιμο, τότε υπάρχει πίνακας Μ τέτοιος ώστε o πίνακας Α+ΒΜ έχει ιδιοτιμές το σύνολο Θ n.

Εφαρμόζοντας μετασχηματισμό Laplace στην (2) έχουμε : Υ(s) = G(s) U(s) ; G(s) = Γ (sI –A) -1 B Ο πίνακας G(s) ονομάζεται συνάρτηση μεταφοράς. Πρόταση 8. Στην G(s), οι πίνακες Α, Β, Γ έχουν ελάχιστη διάσταση ακριβώς όταν στο σύστημα (2) το ζεύγος {Α,Β} είναι ελέγξιμο και {Α,Γ} είναι παρατηρήσιμο.

Συστήματα Διακριτού Χρόνου : x k+1 = A x k + B u k ; k = 0,1,2,… y k = Γ x k + w k • Για τα μετρήσιμα μεγέθη χρησιμοποιούμε και αισθητήρες. • Οι αισθητήρες παρουσιάζουν θόρυβο που περιορίζουν την ακρίβεια των μετρήσεων και για την απομάκρυνση του θορύβου χρησιμοποιούμε τα φίλτρα, τα οποία διατηρούν την πληροφορία.

Φίλτρο KALMAN ( ή γραμμική τετραγωνική εκτίμηση) • Βέλτιστος αναδρομικός αλγόριθμος επεξεργασίας δεδομένων, (πολλαπλές διαδοχικές μετρήσεις από αισθητήρες), περιέχει θόρυβο και παράγει εκτιμήσεις. • Ενημερώνεται για τις τρέχουσες τιμές x k και y k και δεν απαιτεί προηγούμενα δεδομένα για να επεξεργασθούν. • Γραμμικό δυναμικό σύστημα διακριτού χρόνου x k = A x k-1 + u k y k = B x k + v k

Παράδειγμα • Μέτρηση θερμοκρασίας δωματίου. Θεωρούμε ότι είναι 22 ο (θδ), με απόκλιση ± 2 ο • Το θερμόμετρο δείχνει 25 ο (θθ), με απόκλιση ± 5 ο. Ποια είναι η βέλτιστη εκτίμηση της θερμοκρασίας ? H διακύμανση v(θδ) = 2 2 = 4 και v(θθ) = 5 2 = 25. Το φίλτρο Kalman χρησιμοποιεί ένα βάρος (w) μεταξύ της «αισθανόμενης» θερμοκρασίας και του θερμομέτρου. Συνεπώς : w = v(θδ) / v(θδ)+v(θθ) = 4/(4+25) = 0.14 Όταν w -> 0, σημαίνει ότι εμπιστεύομαι περισσότερο «ότι αισθάνομαι» από το θερμόμετρο. Αντίθετα, w -> 1.

Βήμα 1. Θ = 22 + w ( ) = Είμαστε βέβαιοι για την εκτίμηση ? Πρέπει να βρούμε την διακύμανση : v = v(θδ) x v(θθ) / v(θδ) + v(θθ) = 4.25/ 4+25 = 3.44= Η απόκλιση είναι 1.86 και η υποτιθέμενη θερμοκρασία ± 1.86 Βήμα 2. Αν με νέα μέτρηση θθ = 21 ο, τότε w = 3.44/ = 0.12 Θ = ( ) = v = 3.44 x 25 / = 3.02 = Απόκλιση ± 1.74, δηλ Θ = ± 1.74

Διδασκαλία  Η Τεχνολογία το ισχυρότερο σύγχρονο μέσο για την ανάπτυξη και την εξέλιξή της. Διατηρεί την μάθηση στο προσκύνιο με τις συνεχείς επεμβάσεις της.  Δημιούργησε νέους τρόπους για την χειραγώγηση της Μαθηματικής πληροφορίας ( MatLab, Mathematica, SAS, …)  Η ερώτηση: τι Η/Υ ή τι λογισμικό χρησιμοποιείται είναι λάθος Σωστό είναι, πως ο Η/Υ χρησιμοποιείται σε συγκεκριμένο πρόγραμμα σπουδών και πως τίθεται το πρόβλημα στον φοιτητή.

Σκέψεις για την διδασκαλία : • Επιλογή του είδους της τεχνολογίας, ώστε να καλύπτονται οι ανάγκες των φοιτητών. Τεχνολογία εύστοχη και όχι ελκυστική. • Η χρήση Η/Υ συνδεδεμένη με το σκοπό του μαθήματος και με την εκμάθηση, δηλ. πώς να εκτελέσει τον υπολογισμό • Η τεχνολογία πρέπει να στοχεύει στην ανάλυση του προβλήματος και να προάγει τις σκέψεις. • Η τεχνολογία πρέπει να επιλέγεται ώστε οι φοιτητές να μπορούν να ανταποκριθούν. • Αναζήτηση της σκέψης του φοιτητή. Δεν βοηθάει η τεχνολογία όταν συσκοτίζει τις λεπτομέρειες και δίνει άμεσα την απάντηση. • Πολύ καλή εκπ/ση στους Η/Υ ώστε να ισχυροποιείται ο φοιτητής στην επίλυση δύσκολων προβλημάτων

Μοντελοποίηση Μαθηματικό Μοντέλο είναι ένα αφηρημένο μοντέλο που προέκυψε μετά από επεξεργασία, το οποίο περιγράφει την συμπεριφορά του συστήματος και διαχειρίζεται την γνώση του. • Εφαρμογή: στις φυσικές επιστήμες, στη πληροφορική και στις κοινωνικές επιστήμες. Συμβάλουν στην ποιοτική ανάπτυξη του επιστημονικού πεδίου. • Οι ιδιότητες διατυπώνονται με μεταβλητές, και διαχωρίζονται: της εισόδου, της απόφασης, της κατάστασης, της εξόδου, οι εξωγενείς και οι τυχαίες. • Ταξινομούνται σε : γραμμικά και μη, ορισμένα και στοχαστικά, στατικά και δυναμικά, διακριτά και συνεχή, παραγωγικά (θεωρία), επαγωγικά (εμπειρία) ή κυμαινόμενα.

Παράδειγμα : μοντέλο κατανάλωσης Για την αντιμετώπιση επιλογής n προιόντων, σημειούμενα 1,2,…,n, με τιμή αγοράς τ 1, τ 2, …,τ n και για ποσότητες x 1, x 2, …,x n, όταν ο προυπολογισμός είναι Μ euro και η αναγκαιότητα τους σημειώνεται με την συνάρτηση U(x 1,…,x n ), το μοντέλο εκφράζεται με το πρόβλημα βελτιστοποίησης max U(x 1, x 2, …,x n ) όταν Σ τ i x i 0