ΕΡΓΑΣΙΑ 1η Θέμα: «Απόδειξη άλλων τύπων για τα κανονικά πολύγωνα» Σχολικό έτος: 2013-14 Μάθημα: Μαθηματικά Διδάσκων: Γεώργιος Γρηγοριάδης 2ο Πρότυπο Πειραματικό Γυμνάσιο Θεσσαλονίκης ΜΕΛΗ ΟΜΑΔΑΣ: Βαρλάμη Αναστασία Βαρλάμη Ελένη Ισπόγλου Ελένη
Ο Α Γ Β ω ρ φ α λ ΧΡΗΣΙΜΟΙ ΤΥΠΟΙ: Εκτός από τις γωνίες ω και φ που ορίσαμε, στα κανονικά πολύγωνα χρησιμοποιούμε και κάποιους επιπλέον συμβολισμούς: ν- πλήθος κορυφών του πολυγώνου (δηλ. και πλευρών) λ- πλευρά κανονικού πολυγώνου α- απόστημα της πλευράς (ύψος του τριγ. ΟΑΒ) ρ- ακτίνα του περιγεγραμμένου κύκλου Ρ- περίμετρος κανονικού πολυγώνου Ο ω ρ α φ Α Γ λ Β ΧΡΗΣΙΜΟΙ ΤΥΠΟΙ: 𝜆=2𝜌𝜂𝜇 𝜔 2 Ρ=ν∙𝜆=𝜈2𝜌𝜂𝜇 𝜔 2 𝛼 2 + 𝜆 4 2 = 𝜌 2
ημ 𝜔 2 = 𝜆 2 𝜌 => 𝜆 2 = ρ∙ημ 𝜔 2 => λ = 2∙𝜌∙𝜂𝜇 𝜔 2 ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ ΤΥΠΩΝ 1, 2, 3 1. Για να βρούμε την λ, μπορούμε πρώτα να βρούμε το ημ 𝜔 2 , αφού έχουμε μάθει ότι το ημίτονο μιας γωνίας ω ενός ορθογωνίου τριγώνου ισούται με 𝛼𝜋𝜀𝜈𝛼𝜈𝜏𝜄 𝜅𝛼𝜃𝜀𝜏𝜂 𝜐𝜋𝜊𝜏𝜀𝜄𝜈𝜊𝜐𝜎𝛼 του τριγώνου. Άρα: ημ 𝜔 2 = 𝜆 2 𝜌 => 𝜆 2 = ρ∙ημ 𝜔 2 => λ = 2∙𝜌∙𝜂𝜇 𝜔 2
2. Η περίμετρος του κανονικού πολυγώνου ισούται με το πλήθος των πλευρών του πολυγώνου επί το μήκος της πλευράς του κανονικού πολυγώνου. Άρα θα ισχύει: Ρ=ν∙𝜆=𝜈2𝜌𝜂𝜇 𝜔 2 3. Η ακτίνα του κύκλου ρ είναι ταυτόχρονα και η υποτείνουσα του ορθογωνίου τριγώνου ΑΓΟ και η πλευρά 𝝀 𝟐 και το ύψος αείναι οι 2 κάθετες πλευρές του τριγώνου. Όπως έχουμε μάθει σύμφωνα με το Πυθαγόρειο Θεώρημα, το τετράγωνο της υποτείνουσας ενός ορθογωνίου τριγώνου ισούται με το άθροισμα των τετραγώνων των δύο καθέτων πλευρών. Άρα θα ισχύει: 𝛼 2 + 𝜆 4 2 = 𝜌 2
ΕΠΙΒΕΒΑΙΩΣΕΙΣ ΤΥΠΩΝ 1, 2, 3 Ας υποθέσουμε ότι: ν= 6 ρ= 4cm 1. Για να βρούμε το ημ 𝜔 2 πρέπει πρώτα να βρούμε το μέτρο του 𝜔 2 𝜔= 360° 𝜈 =>𝜔= 360° 6 =>ω=60°=> 𝜔 2 =30° 𝜆=2∙𝜌∙𝜂𝜇 𝜔 2 =>𝜆=2∙4∙𝜂𝜇30°=>𝜆=8∙ 1 2 =>𝜆=4𝑐𝑚
2. Ρ=𝜈∙𝜆=𝜈∙2∙𝜌∙𝜂𝜇 𝜔 2 =>Ρ=6∙4=6∙2∙4∙𝜂𝜇30° =>Ρ=24=6∙2∙4 ∙ 1 2 =>Ρ=24=48∙ 1 2 => Ρ=24=24 3. 𝛼 2 + 𝜆 2 4 = 𝜌 2 => 𝛼 2 + 4 2 4 = 4 2 => 𝛼 2 + 16 4 =16 => 𝛼 2 +4=16 => 𝛼 2 =16−4 => 𝛼 2 =12=>𝛼= 12 =>𝛼= 4 ∙ 3 =>𝛼=2 3