Η έννοια του γραμμικού συστήματος και η γραφική επίλυσή του. Γ΄Γυμνασίου

Στόχοι της διδασκαλίας: 1.Να παριστάνουμε γραφικά µια γραµµική εξίσωση. 2.Να λύνουμε γραφικά ένα γραµµικό σύστηµα. 3. Να λύνουμε προβλήµατα µε τη βοήθεια συστηµάτων.

4. Η γραφική επίλυση θα βοηθήσει τους µαθητές να κατανοήσουν την έννοια της λύσης ενός συστήµατος ως ζεύγους αριθµών και επίσης να κατανοήσουν ότι ένα σύστηµα µπορεί να είναι αδύνατο ή να έχει άπειρες λύσεις.

Γνωρίζουμε : -την έννοια της γραμμικής εξίσωσης. -να λύνουμε εξισώσεις πρώτου και δεύτερου βαθμού με έναν άγνωστο. -πότε η εξίσωση έχει μοναδική λύση ή είναι αδύνατη ή είναι ταυτότητα. -να κατασκευάζουμε γραφικές παραστάσεις.

Εφαρμογή Η Μαρία προσπαθεί να επιλέξει μεταξύ δύο προσφορών από τις τηλεφωνικές εταιρίες Vodafone και Cosmote. H Vodafone την χρεώνει τον μήνα 20 ευρώ ενώ οι κλήσεις κοστίζουν 25 cent ανά λεπτό. Αντίθετα η Cosmote 40 ευρώ τον μήνα ενώ οι κλήσεις κοστίζουν 8 cent ανά λεπτό. Ποια θα πρέπει να επιλέξει;

Λύση Ας θεωρήσουμε ότι τα λεπτά που θα μιλήσει η Μαρία τον μήνα είναι x. Και το συνολικό κόστος κάθε μήνα ας το βάλουμε y.

Για την Vodafone έχουμε: y = 0,25x +20 Για την Cosmote έχουμε: y =0,08x +40 Καταγράφοντας τις εξισώσεις σε μορφή διασταύρωσης κλίσης (y=ax +b όπου a η κλίση της ευθείας και b η y- ανάκαμψη)μπορείτε να σχεδιάσετε ένα γράφημα για να απεικονίσετε την κατάσταση:

Ο x-άξονας είναι τα λεπτά που χρειάζεται κάθε μήνα και y-άξονας είναι το συνολικό κόστος κάθε μήνα. Η κόκκινη γραμμή είναι της Vodafone και η μπλε της Cosmote.Για να βοηθήσουμε λοιπόν την Μαρία θα δούμε που ενώνονται οι δυο ευθείες και θα λύσουμε τις δύο εξισώσεις σαν ένα σύστημα.Παίρνουμε την πρώτη εξίσωση y=0,25x +20 και την βάζουμε στην δεύτερη.

Οπότε έχουμε: 0,25x+20=0,08x +40 0,25x=0,08x+20 0,17x=20 x=117,65 λεπτά Αν κάνω το x=117 τότε η Vodafone χρεώνει y=49,25, ενώ η Cosmote y=49,36. Για x=118 η Vodafone χρεώνει y=49,5, ενώ η Cosmote y=49,44.

Συμπέρασμα: Αν η Μαρία μιλάει λιγότερο από 117 λεπτά τον μήνα τότε καλό είναι να πάρει την προσφορά της Vodafone αλλιώς καλύτερη προσφορά είναι της Cosmote.

Ανακεφαλαίωση: -Λύση δύο εξισώσεων με δύο αγνώστους με τη βοήθεια γραφικών παραστάσεων. -Μάθαμε πότε η λύση των εξισώσεων με το συγκεκριμένο τρόπο λύσης είναι αόριστη ή αδύνατη ή έχουμε άπειρες λύσεις.

1)Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση. Το σύστημα x-y=5 2x+y=1 έχει ως λύση τις συντεταγμένες του σημείου α) Α(-3,2) β) Β(1,-1) γ) Γ(1,-4) δ) Δ(2,-3). Ερωτήσεις κατανόησης:

2)Συμπληρώστε σωστά τα στοιχεία της Στήλης Β στο πινακάκι με τα α,β,γ.

Ασκήσεις: 1)Να λυθούν γραφικά τα συστήματα: Α. x+y=2 B. x+y=3 Γ. x–y=1 y=x 2x+2y=1 -2x+2y=-2 2) Να βρείτε ποια από τα συστήματα έχουν μία λύση, ποια είναι αόριστα και ποια αδύνατα. A. x-2y=1 B. 2x+3y=1 Γ. 3x-y=2 2x-y=3 -4x-6y=3 -6x+2y=-4