ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΟΛΟΓΟΥΣ (Κ105)

Slides:



Advertisements
Παρόμοιες παρουσιάσεις
§ 40. Электр кедергісінің температураға тәуелділігі. Асқын өткізгіштік
Advertisements

Ο Άνθρωπος είναι ένα ον το οποίο φτιάχνει πολιτισμό και έχει βαθύ στοχασμό, συναισθήματα και σεβασμό στη ζωή των άλλων. Ορισμός.
1 Ανακυκλώσιμοι Φυσικοί Πόροι Ανακυκλώσιμοι φυσικοί πόροι λέγονται οι εξαντλήσιμοι φυσικοί πόροι που διατηρούν τις βασικές φυσικές και χημικές τους ιδιότητες.
1 Διατηρησιμότητα ή Αειφορία; A Theory of Justice – John Rawls Η συνάντηση των γενεών και «Το Πέπλο Άγνοιας» Το κριτήριο της διατηρησιμότητας: Οι μελλοντικές.
Κ ΕΦΑΛΑΙΟ 11 ο: Moνοπώλιο και μονοψώνιο Παρακίνηση: Brush Wellman 2. Το πρόβλημα της μεγιστοποίησης των κερδών του μονοπωλίου Η συνθήκη μεγιστοποίησης.
1 Κ ΕΦΑΛΑΙΟ 13 ο: Δομή της αγοράς και ανταγωνισμός.
Οι εταιρίες στις ανταγωνιστικές αγορές Κεφάλαιο 14 Copyright © 2001 by Harcourt, Inc. All rights reserved. Requests for permission to make copies of any.
ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΘΝΙΚΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ – ΠΛΗΘΩΡΙΣΜΟΣ ΚΑΙ ΑΝΕΡΓΙΑ 9/24/ Υπολογισμός Εθνικής Παραγωγής Δρ. Γ. Καμπουρίδης.
ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΓΕΩΓΡΑΦΙΑ ΘΕΩΡΙΕΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΤΟΥ ΧΩΡΟΥ Υπεύθυνη μαθήματος Αναστασία Στρατηγέα Αναπλ. Καθηγ. Ε.Μ.Π. ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΑΓΡΟΝΟΜΩΝ.
ΕΠΙΧΕΙΡΗΜΑΤΙΚΟ ΚΕΡΔΟΣ Δρ. Α. Καταραχιά Επίκουρος Καθηγήτρια Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής ΤΕΙ Δ. ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΠΜΣ " ΛΟΓΙΣΤΙΚΗ.
1 Κ ΕΦΑΛΑΙΟ 12 ο: Ποιος καρπώνεται το πλεόνασμα;.
ΤΟ ΠΕΔΙΟ & ΤΟ ΣΩΜΑΤΙΔΙΟ ΤΟΥ HIGGS. Τι είναι το σωματίδιο του «Θεού»; Ονομάζεται σωματίδιο του Θεού, επειδή είναι ένα μυστήριο υποατομικό σωματίδιο που.
1 ΔΙΑΛΕΞΗ 10η ΘΕΩΡΙΑ ΚΟΣΤΟΥΣ. 2 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΔΙΑΛΕΞΗΣ ΟΡΙΑΚΟ ΚΟΣΤΟΣ ΚΑΜΠΥΛΕΣ ΚΟΣΤΟΥΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΜΕΤΑΞΥ ΤΩΝ ΚΑΜΠΥΛΩΝ ΚΟΣΤΟΥΣ ΒΡΑΧΥΧΡΟΝΙΑ & ΜΑΚΡΟΧΡΟΝΙΑ ΚΟΣΤΗ.
ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΗΛΕΚΤΡΟΤΕΧΝΙΑΣ Ι
Τοπικά ακρότατα Τοπικό μέγιστο –Τοπικό ελάχιστο..
ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΜΟΝΟΠΩΛΙΑΚΟΣ ΑΝΤΑΓΩΝΙΣΜΟΣ
ΜΑΚΡΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΔΙΑΛΕΞΗ 2η
Αρχές Βιώσιμης Ανάπτυξης Οι δέκα αρχές του ΟΗΕ για την Ε.Κ.Ε. Μέρος Α’
Διοικητικη πρακτικη 6ο μαθημα
Για λεκάνες απορροής μικρότερες των 10 Km2
Οικονομικά Γεωργικής παραγωγής
ΚΡΙΤΗΡΙΑ ΕΠΙΛΟΓΗΣ ΘΕΜΑΤΟΣ
Θεωρία Παραγωγής Τι είναι η γεωργική εκμετάλλευση?
Δρ. Χριστακόπουλος Γιάννης
Βιομετρία - Γεωργικός Πειραματισμός
5 Παραγωγή και κόστος.
Εργασία στο μάθημα των Μαθηματικών (Kεφάλαιο 3ο)
…I.Σ.ΠΑΠΑΣΙΔΕΡΗ Κεφ. 14: ΕΞΩΚΥΤΤΑΡΙΕΣ ΟΥΣΙΕΣ
Προσδιορισμός σημείου
Ενότητα 11: Ελαχιστοποίηση του κόστους
ΣΤΟΧΟΣ Ο μαθητής να μπορεί να,
Θεωρία αριθμών: Διαιρετότητα και πρώτοι αριθμοί
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΟΛΟΓΟΥΣ (105)
Ημερίδα για τους Διαδραστικούς Δεκέμβριος 2010 Ειρήνη Περυσινάκη
Μαθηματικά Β΄ Γυμνασίου
Συνέντευξη με μια ομάδα μαθητών
Αναλυτικό Πρόγραμμα Σπουδών
Θεωρία Παραγωγής Τι είναι η γεωργική εκμετάλλευση?
Η ΑΠΑΛΛΟΤΡΙΩΣΗ 1.- Πράγματα που εξυπηρετούν αμέσως το Δημόσιο συμφέρον, όπως οδοί, πλατείες, λιμάνια, γέφυρες, σχολεία, πολεμικά οχήματα κλπ αποτελούν.
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΟΛΟΓΟΥΣ (Κ105)
ANDREW B. ABEL,BEN S. BERNANKE, DEAN CROUSHORE
Môn học KINH TẾ HỌC VI MÔ TS. Nguyễn Thị Thu Bộ môn Kinh tế học vi mô
Χρήση οργάνων μέτρησης
آمار و کاربرد آن در مدیریت
Ρυθμιστική Πολιτική και Αγορά Ηλεκτρικής Ενέργειας στην Ελλάδα
Tema (07): Srukturat e tregut –maksimizimi i fitimit
Η ΠΡΑΚΤΙΚΗ ΑΣΚΗΣΗ ΤΩΝ ΦΟΙΤΗΤΩΝ ΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΥ ΣΤΑ ΣΧΟΛΕΙΑ: ΜΙΑ ΠΙΛΟΤΙΚΗ ΕΦΑΡΜΟΓΗ Εαρινό εξάμηνο
Οι Συναρτήσεις y=αx2 και y=αx2+βx+γ με α≠0 στο Γυμνάσιο
موضوع ارائه : نظريه تقريب. موضوع ارائه : نظريه تقريب.
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΟΛΟΓΟΥΣ (105)
5.5 – Multiple-Angle and Product-to-Sum Identities
الطاقة الحراريـة الفصل الخامس فيزيـــــــــاء 2 الصف الثاني ثانوي
CHƯƠNG 4 DẠNG HÀM.
الفصل السادس قوانين الغازات
الفصل الخامس: توازن المُنتج Producer Equilibrium
Những vấn đề kinh tế cơ bản trong sản xuất nông nghiệp
ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΑ ΔΗΜΟΣΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ
مادسیج، شبکه آموزشی پژوهشی دانشجویان ایران
A simple production function # Inputs # Outputs
Φυσική για Μηχανικούς Ηλεκτρικό Δυναμικό
Υδρομηχανικές διεργασίες
Μάθημα [GD3021]: ΑΝΑΛΥΣΗ ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΤΑΣΤΑΣΕΩΝ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΟΛΟΓΟΥΣ (105)
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΟΛΟΓΟΥΣ (Κ105)
Ηλεκτρικά Κυκλώματα Συνεχούς Ρεύματος
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΟΛΟΓΟΥΣ (105)
ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΕΣΩΤΕΡΙΚΩΝ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΟΡΓΑΝΩΣΗΣ ΚΑΙ ΛΕΙΤΟΥΡΓΙΑΣ ΤΟΠΙΚΗΣ ΑΥΤΟΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΟΡΓΑΝΩΣΗΣ ΤΟΠΙΚΗΣ ΑΥΤΟΔΙΟΙΚΗΣΗΣ Α΄ ΒΑΘΜΟΥ Σύντομος οδηγός για την.
Микроэкономика: Өндірістік шығындар
Προσέγγιση στην επαλληλία των κινήσεων
F(x,y(x),y΄(x), y΄΄(x), y΄΄΄(x), …, y(n)(x)) = 0
Μεταγράφημα παρουσίασης:

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΟΛΟΓΟΥΣ (Κ105) ΚΛΕΑΝΘΗΣ ΣΥΡΑΚΟΥΛΗΣ ΑΝΑΠΛΗΡΩΤΗΣ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ ΔΕ

ΜΑΘΗΜΑ 8ο - ΑΠ Βελτιστοποίηση οικονομικών συναρτήσεων – Η εκθετική συνάρτηση ΣΤΟΧΟΙ Στο τέλος του μαθήματος θα πρέπει να μπορείτε να: υπολογίζετε τα κρίσιμα σημεία μιας συνάρτησης η οποία εκφράζει ένα οικονομικό πρόβλημα, αποφασίζετε αν και πότε βελτιστοποιείται μια οικονομική συνάρτηση, υπολογίζετε την παράγωγο μιας εκθετικής συνάρτησης

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 1 Αν η συνάρτηση ζήτησης ενός αγαθού είναι P + Q= 30 και η συνάρτηση συνολικού κόστους είναι TC = 1 2 Q2 + 6Q + 7 (α) Να υπολογιστεί η ποσότητα για την οποία μεγιστοποιούνται τα συνολικά έσοδα (β) να υπολογιστεί η ποσότητα για την οποία μεγιστοποιείται το κέρδος και (γ) να υπολογιστούν επίσης το MR και το MC για την τιμή αυτή του Q. Τι παρατηρείτε;

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 1 επίλυση (α) Για να μεγιστοποιήσουμε τα συνολικά έσοδα, πρώτα βρίσκουμε τη συνάρτηση που τα εκφράζει: Τα συνολικά έσοδα δίνονται από τη σχέση TR(Q)=PQ=(30-Q)Q = 30Q – Q2 Ακρότατα υπάρχουν στα κρίσιμα σημεία. Επομένως για να βρούμε τα κρίσιμα σημεία υπολογίζουμε την πρώτη παράγωγο TR’(Q)= (30Q – Q2)’=30 -2Q και θέτουμε TR’(Q)=0 οπότε 30 – 2Q = 0 άρα Q=15 Πρέπει να εφαρμόσουμε κριτήριο δεύτερης παραγώγου, επομένως υπολογίζουμε τη δεύτερη παράγωγο και την τιμή της για Q=15. TR’’(Q)= (30- 2Q)’ =-2 <0 επομένως για Q=15 υπάρχει μέγιστο το TR(15) = 30(15) – (15)2= 450 -225 = 225

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 1 επίλυση (συνέχεια) (β) Για τον υπολογισμό του κέρδους από τα συνολικά έσοδα TR πρέπει να αφαιρέσουμε το συνολικό κόστος TC Αν συμβολίσουμε π(Q) το συνολικό κέρδος, γνωρίζουμε ότι: π(Q)=TR –TC =(30Q – Q2) – ( 1 2 Q2 + 6Q + 7) δηλαδή, π(Q) = − 3 2 Q2 +24Q -7 Εντοπίζουμε τα κρίσιμα σημεία. Υπολογίζουμε την πρώτη παράγωγο π’(Q) =( − 3 2 Q2 +24Q -7)’ = -3Q +24 και θέτουμε π’(Q)=0 οπότε – 3Q +24 = 0 άρα Q=8 π’’(Q) =(-3Q +24)’=-3<0 επομένως θα υπάρχει μέγιστο

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 1 επίλυση (συνέχεια) (γ) Ζητάμε να δούμε τις τιμές που λαμβάνουν το οριακό έσοδο MR και το οριακό κόστος MC, στο σημείο που μεγιστοποιείται το κέρδος 𝑀𝑅= 𝑑𝑇𝑅 𝑑𝑄 MR=30 -2Q άρα για Q =8 έχουμε MR = 30-16 = 14 𝑀𝐶= 𝑑𝑇𝐶 𝑑𝑄 MC= ( 1 2 Q2 + 6Q + 7)’ =Q + 6 άρα για Q =8 έχουμε MC= 8 + 6 =14 Επομένως MR=MC για Q=8

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 2 Το κόστος για την κατασκευή ενός κτηρίου γραφείων με x ορόφους εξαρτάται από τρεις παράγοντες: (α) απαιτούνται 10.000.000 € για την αγορά γης (β) η κατασκευή κάθε ορόφου κοστίζει 250.000€ και (γ) ανάλογα με τον αριθμό των ορόφων (έστω x) απαιτούνται εξειδικευμένες δαπάνες που δίνονται από τη σχέση 10.000x € για τον κάθε όροφο. Πόσους ορόφους θα πρέπει να κατασκευάσουμε έτσι ώστε να ελαχιστοποιήσουμε το μέσο κόστος ανά όροφο;

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 2 επίλυση Η συνάρτηση που δίνει το συνολικό κόστος της κατασκευής με x ορόφους θα είναι TC (x) = 10.000.000 +(250.000)x +(10.000x)x =10.000x2 +250.000x + 10.000.000, επομένως το μέσο κόστος θα είναι AC(x)=TC(x)/x = 10.000x + 250.000 + 10.000.000/x Για τον υπολογισμό του ελαχίστου κόστους, υπολογίζουμε την πρώτη παράγωγο AC’(x) = (10.000x +250.000 + 10.000.000/x)’ = 10.000 – (10.000.000)/x2 και θέτουμε AC’(x)=0 οπότε θα είναι 10.000 – (10.000.000)/x2 = 0 δηλαδή x2 = 1000 άρα x = ± √1000 δηλαδή x=± 31.6

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 2 επίλυση (συνέχεια) Αποδεχόμαστε μόνο τη θετική λύση η οποία έχει και φυσικό νόημα δηλαδή x=31.6 Υπολογίζουμε τη δεύτερη παράγωγο και την τιμή της για x=31.6 AC’’(x) =[10.000 – (10.000.000)/x2]’ = 20.000.000/x3 AC’’(31.6) =633.8 >0 επομένως η συνάρτηση παρουσιάζει ελάχιστο για x=31.6

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 2 επίλυση (συνέχεια) Η απάντηση που δώσαμε έχει νόημα για τα μαθηματικά, όχι όμως και για την κατασκευή. Θα πρέπει να ελέγξουμε τις τιμές AC(31) και AC(32) για να δώσουμε την τελική απάντηση. AC(31)= 10.000(31) + 250.000 + 10.000.000/31 =310.000 + 250.000 + 322.581 =882.581 € AC(32)= 10.000(32) + 250.000 + 10.000.000/32 =320.000 + 250.000 + 312.500 =882.500 € Επομένως θα πρέπει να κατασκευαστούν 32 όροφοι.

ΕΚΘΕΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Έστω η συνάρτηση f(x) =2x, x -3 -2 -1 1 2 3 2x 0.125 0.25 0.5 4 8

ΕΚΘΕΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Μια επίσης ενδιαφέρουσα οικογένεια εκθετικών συναρτήσεων είναι εκείνη στην οποία ως βάση έχουμε τον αριθμό 2.718 281 828 459…. Ο αριθμός αυτός είναι γνωστός ως e και αποτελεί τη βάση των φυσικών λογαρίθμων. Η συνάρτηση γράφεται f(x)=ex και αναφέρεται ως η εκθετική συνάρτηση. Γενικότερα στα μαθηματικά είναι γνωστό ότι ισχύει: 𝑒= lim 𝑛→∞ 1+ 1 𝑛 𝑛

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 3 Για μια οικονομία υπάρχει η πρόβλεψη συνεχούς ανάπτυξης με ετήσιο ρυθμό της τάξης του 2%, έτσι ώστε το ακαθάριστο εθνικό προϊόν (GNP gross national product) υπολογιζόμενο σε δισεκατομμύρια € μετά από t έτη να είναι: GNP=80e0.02t (α) Να υπολογιστεί η παρούσα αξία του ΑΕΠ καθώς και η μελλοντική αξία του μετά από 3 έτη, (β) Μετά από πόσα έτη το ΑΕΠ θα είναι της τάξης των 88 δις €;

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 3 επίλυση (α) Για τη σημερινή αξία του ΑΕΠ αρκεί στην εξίσωση να θέσουμε t=0, οπότε GNP=80e0.02(0) = 80e0 =80(1)= 80 δις € Για τον υπολογισμό της μελλοντικής αξίας μετά από 3 έτη θέτουμε t=3, οπότε GNP=80e0.02(3) = 80e006 =80(1.062)≈ 85 δις €

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 3 επίλυση (συνέχεια) (β) Στην περίπτωση αυτή θέλουμε να γνωρίζουμε το t για το οποίο θα ισχύει: 80e0.02t = 88 e0.02t = 88/80 e0.02t = 1.1 ln 𝑒 0.02𝑡 = ln 1.1 0.02t =0.09531 t=4.76 Επομένως, το ΑΕΠ θα γίνει ίσο με 88 δις € σε 5 έτη.

Η ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΤΗΣ f(x)=ex -2 -1,5 -1 -0,5 0,5 1 1,5 ex 0,14 0,22 0,37 0,61 1,00 1,65 2,72 4,48 Για να υπολογίσουμε την f’(-1.5) εξετάζουμε όταν το x μεταβάλλεται από -2 σε -1 Δx=(-1)-(-2)=-1+2 =1 και Δy=(0.37)-(0.14)=.23 και Δy/Δx=.23/1 = 0.23≈ f’(-1.5) Για να υπολογίσουμε την f’(-1) εξετάζουμε όταν το x μεταβάλλεται από -1.5 σε -0.5 Δx=(-0.5)-(-1.5)=-0.5+1.5 =1 και Δy=(0.61)-(0.22)=.39 και Δy/Δx=.39/1 = 0.39≈ f’(-1)

Η ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΤΗΣ f(x)=ex Δx=(0)-(-1)= 0+1 =1 και Δy=(1.00)-(0.37)=.63 και Δy/Δx=.63/1 = 0.63≈ f’(-0.5) Για να υπολογίσουμε την f’(0) εξετάζουμε όταν το x μεταβάλλεται από -0.5 σε 0.5 Δx=(0.5)-(-0.5)=-0.5+0.5 =1 και Δy=(1.65)-(0.61)=1.04 και Δy/Δx=1.04/1 = 1.04≈ f’(0) Για να υπολογίσουμε την f’(0.5) εξετάζουμε όταν το x μεταβάλλεται από 0 σε 1 Δx=(1)-(0)=1+0 =1 και Δy=(2.72)-(1.00)=1.72 και Δy/Δx=1.72/1 = 1.72≈ f’(0.5)

Η ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΤΗΣ f(x)=ex Από τη μελέτη του ρυθμού μεταβολής στα διάφορα σημεία προκύπτει ότι αν f(x)=ex τότε f’(x)=ex. Επίσης, ισχύει ότι αν f(x)=emx τότε f’(x)=memx και αν f(x)=ln(mx) τότε f’(x)=1/x

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 4 Να υπολογιστεί η παράγωγος των συναρτήσεων: (α) f(x)=e2x (β) f(x)=e-7x (γ) f(x)=ln(5x) με x>0 (δ) f(x)=ln(559x) με x>0

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 5 Σε μια επιχείρηση η συνάρτηση παραγωγής δίνεται από τη σχέση Q=L2e-0.01L Να βρεθεί η τιμή της εργασίας L για την οποία μεγιστοποιείται η μέση παραγωγή από την εργασία.

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 5 επίλυση Ως μέση παραγωγή θεωρούμε το πηλίκο της παραγόμενης ποσότητας προς τον αριθμό των εργαζομένων, δηλαδή: APL = Q/L = Le-0.01L Υπολογίζουμε την πρώτη παράγωγο (APL )’= (Le-0.01L)’=(L)’e-0.01L + L(e-0.01L)’ = e-0.01L + (-0.01L)’ L(e-0.01L) = e-0.01L - (0.01)L(e-0.01L) Θέτουμε (APL )’=0, δηλαδή e-0.01L - (0.01)L(e-0.01L)=0 άρα 1- 0.01L=0, επομένως L=100

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 5 επίλυση (συνέχεια) Υπολογίζουμε τη δεύτερη παράγωγο και την τιμή της για L=100 (APL )’’= [e-0.01L - (0.01)L(e-0.01L)]’ (APL )’’= [e-0.01L]’- (0.01)[L(e-0.01L)]’ (APL )’’= -0.01e-0.01L- (0.01)[(L)’(e-0.01L) + L(e-0.01L)’] (APL )’’= -0.01e-0.01L- (0.01)[e-0.01L – 0.01Le-0.01L] (APL )’’= -0.01e-0.01L- (0.01)e-0.01L + 0.0001Le-0.01L (APL )’’= -0.02e-0.01L + 0.0001Le-0.01L (APL )’’= [-0.02 + 0.0001L] e-0.01L Οπότε για L=100 θα είναι (APL)’’ = [-0.02 +0.01]e-1=-0.01 (0.37)=-0.0037 <0 επομένως η συνάρτηση παρουσιάζει μέγιστο.