سیگنال ها و سیستم ها درس پنجم حمیدرضا پوررضا

موضوعات این جلسه نمایی‌های مختلط به عنوان توابع ویژه سیستم‌های LTI بیان سری فوریه برای سیگنال‌های پریودیک CT چگونه ضرایب فوریه را محاسبه کنیم؟ همگرایی و پدیده‌ی گیبس (Gibbs) H.R. POURREZA

مقدمه جین باتیس جوزف فوریه در سال 1768 در فرانسه بدنیا آمد. Jean B. Joseph Fourier (1768-1830) جین باتیس جوزف فوریه در سال 1768 در فرانسه بدنیا آمد. فوریه در کتاب خود که بعدها توسط فریمن به انگلیسی ترجمه شد، نشان داد که هر تابع متناوبی می‌تواند با استفاده از مجموع توابع سینوسوئید بیان شود. برای توابع غیرپریودیک نیز در حالت خاص می‌توان از سینوسوئیدها برای بیان آن استفاده کرد H.R. POURREZA

ویژگی های مناسب یک مجموعه تابع پایه تعداد زیادی از سیگنال‌های مفید بتوانند توسط این توابع پایه بیان شوند پاسخ سیستم‌های LTI به این توابع پایه نسبتا ساده، مفید و قابل فهم باشد تمرکز قبلی: توابع نمونه و ضربه واحد تمرکز فعلی: توابع ویژه‌ی سیستم‌های LTI H.R. POURREZA

توابع ویژه ی k(t)و خواص آن ابتدا تمرکز خود را بر روی سیستم‌های CT قرار می‌دهیم، اما نتایج قابل اعمال به سیستم‌های DT نیز هست بر اساس خاصیت جمع آثار سیستم‌های LTI بدین ترتیب، مساله‌ی یافتن پاسخ سیستم LTI، تعیین مقادیر k است مقدار ویژه تابع ویژه خروجی همان تابع ولی با یک گین  ورودی تابع ویژه H.R. POURREZA

نمایی های مختلط به عنوان توابع پایه هر سیستم LTI مقدار ویژه تابع ویژه مقدار ویژه تابع ویژه H.R. POURREZA

نمایی های مختلط به عنوان توابع پایه هر سیستم LTI CT: DT: H.R. POURREZA

نمایی های مختلط به عنوان توابع پایه هر سیستم LTI چه نوع سیگنال‌هایی می‌تواند با استفاده از مجموع نمایی‌های مختلط بیان شود فعلا تمرکز خود را بر روی مجموعه محدودی از نمایی‌های مختلط قرار می‌دهیم CT: دامنه‌ی یک DT: سری و تبدیل فوریه‌ی CT و DT سیگنال‌های پریودیک H.R. POURREZA

بیان سیگنال های پریودیک CT با استفاده از سری فوریه برابر با فرکانس زاویه‌ای سیگنال است ejωt تابعی پریودیک با پریود T  ω=kω0 پریودیک با پریود T {ak} ضرایب (سری) فوریه هستند k=0 مقدار DC است k=±1 هارمونیک اول است k=±2 هارمونیک دوم است H.R. POURREZA

بیان سیگنال های پریودیک CT با استفاده از سری فوریه سوال 1: چگونه می‌توان ضرایب فوریه را بدست آورد؟ ابتدا، برای سیگنال پریودیک ساده‌ی شامل چند سینوسوئید با استفاده از رابطه اولر H.R. POURREZA

بیان سیگنال های پریودیک CT با استفاده از سری فوریه دقت کنید که در استفاده از نمایی مختلط، با فرکانس‌‌های مثبت و منفی سروکار داریم: بخاطر آورید که: و H.R. POURREZA

بیان سیگنال های پریودیک CT با استفاده از سری فوریه حال، پاسخ کامل سوال 1: با داشتن x (t)، چکونه akها را بدست آوریم؟ فرض 1- ضرب در 2- انتگرال گیری روی یک پریود (در اینجا بیانگر انتگرال بر روی یک دوره به طول T، یعنی یک پریود است) توجه داشته باشید که: H.R. POURREZA

بیان سیگنال های پریودیک CT با استفاده از سری فوریه H.R. POURREZA

بیان سیگنال های پریودیک CT با استفاده از سری فوریه مثال 1: موج مربعی پریودیک جزء DC همان مقدار متوسط است H.R. POURREZA

همگرایی سری فوریه CT چگونه می‌توان سری فوریه برای موج مربعی را درک کرد؟ کلید اصلی: منظور از این رابطه چیست؟ یک تذکر مفید برای مهندسین: تفاضل زیر هیچ انرژی ندارد (تنها لازم است که x(t) انرژی محدودی در یک پریود داشته باشد) H.R. POURREZA

بیان سیگنال های پریودیک CT با استفاده از سری فوریه مثال 2: مثال 1 بخاطر داشته باشید که ejk2π=1 H.R. POURREZA

بیان سیگنال های پریودیک CT با استفاده از سری فوریه مثال 2: (ادامه) H.R. POURREZA

همگرایی سری فوریه CT تحت شرایطی متفاوت اما معقول (شرایط دیریکله) وضعیت 1: باید x(t) روی یک پریود کاملا انتگرال‌پذیر باشد، یعنی: وضعیت 2: بایستی در یک بازه زمانی محدود، x(t) ماکزیمم و مینیمم‌های محدود داشته باشد مثلا: مثالی که از وضعیت (2) تخطی کند وضعیت 3: بایستی در یک بازه زمانی محدود، x(t) دارای گسستگی‌های محدود باشد مثلا: مثالی که از وضعیت (3) تخطی کند H.R. POURREZA

همگرایی سری فوریه CT شرایط دیریکله در مورد سیگنال‌های واقعی برقرار است، پس سری فوریه = x(t) در نقاطی که x(t)پیوسته است سری فوریه = «نقطه وسط» در نقاط گسسته H.R. POURREZA

همگرایی سری فوریه CT اما هنوز همگرایی ویژگی‌های جالب دیگری دارد: همچنانکه N∞ ، xN(t) پدیده‌ی گیبس را در نقاط گسسته به نمایش می‌گذارد H.R. POURREZA