Finite Element Procedures

Finite Element Procedures
روش عناصر محدود Finite Element Procedures کریم عابدی

فرمول بندي عناصر محدود ايزوپارامتريك
فصل چهارم: فرمول بندي عناصر محدود ايزوپارامتريك

1- مقدمه در فصل پيشين در مورد فرمول بندي عناصر محدود با مختصات تعميم يافته (Generalized coordinates) بحث نموديم. هدف اساسي و اصلي از ارائه عناصر محدود با مختصات تعميم يافته، تقويت فهم خود از روش عناصر محدود بود، ولي اشاره كرديم كه در اغلب تحليل هاي عملي استفاده از عناصر محدود ايزوپارامتريك موثرتر است. همراه كردن يك مفهوم فيزيكي با مختصات تعميم يافته ناممكن بود، با وجود اين با بيان مختصات تعميم يافته α بر حسب تغيير مكان هاي نقاط گرهي عنصر û دريافتيم كه عموما هر ضريب چند جمله اي ( يعني α1 ، α2 و ...) يك تغيير مكان واقعي نيست، بلكه مساوي با تركيب خطي تغيير مكان هاي نقاط گرهي عنصر مي باشد.

دشواري هاي مدل هاي مختصات تعميم يافته : دشواري مرزهاي انحنادار،
1- مقدمه دشواري هاي مدل هاي مختصات تعميم يافته : دشواري مرزهاي انحنادار، ناسازگاري هاي ايجاد شده در عناصر صفحه اي و پوسته اي، كار آيي كم فرمول بندي: الف) ضرورت تعیین: ب) انتگرال گیری تحلیلی برای یافتن تمامی درایه های ماتریس سختی. ايده اصلي فرمول بندي عناصر محدود ايزوپارامتريك، يافتن رابطه اي است بين تغيير مكان هاي عنصر در هر نقطه اي و تغيير مكان هاي نقاط گرهي با استفاده مستقيم از توابع درون يابي (Interpolation functions) يا توابع شكل (Shape functions). بنابراين در فرمول بندي عناصر محدود ايزوپارامتريك، برای تعیین ماتریس H، ماتريس تبديل A-1 تعيين نمي شود.

1- مقدمه مبناي فرمول بندي عناصر محدود ايزوپارامتريك، درون يابي مختصات عنصري و تغيير مكان هاي عنصر با استفاده از توابع درون يابي يكساني است كه در يك دستگاه مختصات طبيعي (Natural Coordinate System)تعريف مي شوند. به عنوان مثال يك ميله خرپايي دو گرهي را در نظر مي گيريم و دو دستگاه مختصات كلي (Global) و طبيعي (Natural) را براي آن تعريف مي كنيم: درونيابي مختصات كلي واقعي X بر حسب مختصات طبيعي:

كه در آن توابع و ، توابع درون يابي يا توابع شكل مي باشند.
1- مقدمه كه در آن توابع و ، توابع درون يابي يا توابع شكل مي باشند. خاصيت بنيادي تابع درون يابي hi اين است كه مقدار آن در دستگاه مختصات طبيعي در گره i مساوي 1 و در ساير گره ها صفر مي باشد. درون يابي تغيير مكان هاي كلي ميله U ( مشابه مختصات X ) بر حسب مختصات طبيعي عبارت است از: دستگاه مختصات طبيعي بر حسب تعداد ابعاد عنصر، يك بعدي ( بر حسب r )، دوبعدي ( بر حسب , s r )، و يا سه بعدي ( بر حسب , s , t r )، خواهد بود ( يك بعدي براي عنصر ميله اي خرپايي، دوبعدي براي عناصر كرنش مسطح و تنش مسطح و متقارن محوري، سه بعدي براي عناصر سه بعدي عمومي).

1- مقدمه در ابتدا فرمول بندي عناصر محدودي را كه در آنها درجات آزادي صرفا از نوع تغيير مكان هاي گرهي مي باشند، (عناصر محيط پيوسته Continuum Element) ( نظير عناصر خرپايي، عناصر كرنش مسطح ، تنش مسطح، متقارن محوري، سه بعدي عمومي) را مورد بررسي قرار خواهيم داد. سپس در مورد عناصري كه در آنها دوران ها نيز در درجات آزادي وارد مي شوند (عناصر سازه اي Structural Elements) ( نظير تيرها، صفحات و پوسته ها) بحث و بررسي خواهيم نمود.

2- فرمول بندي عناصر محدود ايزوپارامتريك محيط پيوسته
- فرمول بندي ماتريس هاي عناصر محيط پيوسته، صرف نظر از اينكه عنصر يك بعدي، دوبعدي يا سه بعدي مورد نظر باشد، عموما يكسان است. بر همين اساس در ارائه عمومي فرمول بندي ها، معادلات يك عنصر سه بعدي را مورد بررسي قرار مي دهيم. فرمول بندي هاي عناصر يك بعدي و دو بعدي به آساني با استفاده از محورهاي مختصات مربوطه و توابع درون يابي مناسب بدست مي آيند. درون يابي مختصات براي يك عنصر سه بعدي عمومي عبارت است از: كه در آنها x و y و z‌ مختصات هر نقطه اي از عنصر مي باشند (كلي يا محلي). xi و yi و zi و i =1, 2, ….q ، مختصات ‌گره i از عنصر مي باشند و q برابر با تعداد گره هاي عنصر مي باشد. درون يابي تغییرمکان براي يك عنصر سه بعدي عمومي نیز عبارت است از:

hi ها در مختصات طبيعي عنصر تعريف مي شوند و داراي متغيرهاي r‌، s ، t‌مي باشند كه از 1- تا 1 تغيير مي كنند. براي عناصر يك بعدي، hi تنها به متغيرهاي مختصات r و براي عناصر دو بعدي hi تنها به متغيرهاي r ‌و s و براي عناصر سه بعدي hi به متغيرهاي r ‌و s و t بستگي خواهند داشت. خاصيت بنيادي تابع درون يابي hi اين است كه مقدار آن در دستگاه مختصات طبيعي در گره i مساوي 1 و در ساير گره ها صفر مي باشد. با استفاده از اين شرايط، توابع hi مربوط به آرايش نقاط گرهي خاص به طريقه اي سيستماتيك بدست مي آيند. بدين صورت كه نخست توابع درون يابي مربوط به يك عنصر بنيادي دو گرهي بدست مي آيد. اضافه نمودن يك گره ديگر موجب ايجاد يك تابع درون يابي ديگري شده و يك اصلاح به توابع درون يابي پيشين اعمال مي گردد.

الف) توابع درون يابي عنصر يك بعدي

الف) توابع درون يابي عنصر يك بعدي سه گرهی- مثال

ب) توابع درون يابي عنصر دو بعدي

ب) توابع درون يابي عنصر دوبعدي 7 گرهی- مثال

توابع درون يابي عنصر دوبعدي 8 گرهی- مثال

پ) توابع درون يابي عنصر سه بعدي (شش وجهي يا آجري)

پ) توابع درون يابي عنصر سه بعدي (شش وجهي يا آجري) - مثال

بنابراين ملاحظه مي شود كه عناصر ايزوپارامتريك داراي دو مزيت اساسي مي باشند: 1- با استفاده از درون يابي مختصات و ... ، عناصر مي توانند بدون هيچگونه دشواري داراي مرزهاي انحنادار باشند. 2- توابع تغيير مكان اين عنصر را مي توان به آساني ايجاد نمود (عنصر مي تواند داراي هر تعداد گره باشد). - در فرمول بندي ایزوپارامتريک، تغيير مكان هاي عناصر به طريقه مشابه مختصات هندسه عنصر درون يابي مي شوند، به عبارت ديگر داريم: كه در آن u و v و w تغيير مكان هاي محلي (يا كلي) عنصري در هر نقطه عنصر بوده و ui و vi و wi ، i= 1, 2,…,q تغيير مكان هاي عنصر در گره هايش مي باشد.

مثال: اسخراج ماتریس درون یابی H برای عنصر تنش مسطح چهارضلعی 4 گرهی: مثال: اسخراج ماتریس درون یابی H برای عنصر سه بعدی عمومی 8 گرهی:

ت) نحوه تعيين ماتريس سختي عنصر ايزوپارامتريك - براي محاسبه ماتريس سختي يك عنصر، محاسبه ماتريس تبديل كرنش-تغيير مكانB ضروري مي باشد. كرنش هاي عنصر بر حسب مشتقات تغيير مكان هاي عنصر نسبت به مختصات محلي (يا كلي) به دست مي آيند: از آنجا كه مختصات عنصر در دستگاه مختصات طبيعي تعريف مي شوند، داريم: مي توان رابطه معكوسي را نيز بدست آورد:

مشتقات زير را مي توان با استفاده از قاعده زنجيره اي (Chain rule) بدست آورد: ملاحظه مي كنيم كه براي محاسبه ، نياز داريم كه را محاسبه نماييم. اين بدان معني است كه صريحا به روابط معكوس نياز داريم. ايجاد اين روابط معكوس به طور صريح عموما دشوار است، لذا طريقه زير را پيش مي گيريم: به صورت نماد ماتريسي خواهيم داشت:

ماتریس ژاکوبی برای عناصر سه بعدی ماتریس ژاکوبی برای عناصر دو بعدی ماتریس ژاکوبی برای عناصر یک بعدی

كه در آن J‌ عملگر ژاكوبي (Jacobian operator) مي باشد كه مشتقات مختصات طبيعي را به مشتقات مختصات محلي (يا كلي ) ربط مي دهد. محاسبه عملگر ژاكوبي بسيار راحت است. براي تعيين ، خواهيم داشت: كه ايجاب مي كند كه معكوس ژاكوبي موجود باشد. - معكوس J هنگامي موجود است كه يك تناظر يك به يك بين مختصات طبيعي و محلي (يا كلي) عنصر وجود داشته باشد (به عبارت ديگر به ازاي هر r و s‌ و t‌ فقط يك x و y و z به طور متناظر وجود داشته باشد). - در حالاتي كه عنصر داراي اعوجاج زيادي بوده و يا به روي خودش خم شده باشد، رابطه منحصر به فردي بين دستگاه هاي مختصات طبيعي و محلي (يا كلي) وجود ندارد.

- اكنون با استفاده از و مي توان مشتقات را محاسبه كرد و در نتيجه مي توان ماتريس تبديل كرنش-تغيير مكان B‌ را با استفاده از رابطه زير ايجاد نمود: كه در آن û برداري است كه شامل تغيير مكان هاي نقاط گرهي است. يادآوري مي كنيم كه J بر عناصر ماتريس B اثر مي گذارد. ماتريس سختي عنصر متناظر با درجات آزادي محلي عنصر عبارت است از: عناصر ماتريس B ، توابعي از مختصات طبيعي r و s و t مي باشند. بنابراين انتگرال گيري حجمي روي حجم مختصات طبيعي بسط مي يابد و ضروري است كه ديفرانسيل حجمي dV نيز بر حسب مختصات طبيعي نوشته شود. در حالت كلي داريم:

برای حالات خاص دوبعدی و سه بعدی خواهيم داشت: به همين ترتيب با داشتن خواهيم داشت: بردار نيروي جسمي بردار نيروي سطحي بردار تنش اوليه

مثال: ماتریس های درون یابی تغییر مکان H، ماتریس درون یابی کرنش-تغییر مکان B و عملگر ژاکوبی J را برای عنصر خرپایی سه گرهی نشان داده شده در شکل زیر استخراج کنید. h1 h2 h3 حل: با استفاده از توابع درون يابي عنصر داريم: (الف) ماتريس كرنش-تغيير مكان B از طريق مشتق گيري از H نسبت به r و پيش ضرب نمودن نتيجه حاصله در معكوس عملگر ژاكوبي بدست مي آيد:

(ب) براي تعيين J از رابطه زير استفاده مي كنيم: (پ) بنابراين: كه در آن يادآوري مي كنيم كه چون گره 3 در وسط عنصر خرپايي قرار دارد، x به طور خطي بين گره هاي 1 و 2 درون يابي مي شود. نتيجه مشابهي نيز با استفاده تنها از گره هاي 1و 2 براي درون يابي هندسي بدست مي آيد. حال با استفاده از رابطه (پ)، داريم:

مثال: عملگر ژاکوبی J عناصر دو بعدی نشان داده شده در شکل را ایجاد کنید. حل: عملگر ژاكوبي براي دستگاه هاي مختصات كلي X و Y و محلي x و y يكسان مي باشد. از اين رو براي آساني كار از دستگاه هاي مختصات محلي استفاده مي كنيم.

با استفاده از توابع درون يابي براي عنصر 1 نتيجه زير حاصل مي گردد: به طور مشابه براي عنصر 2 داريم: همچنين براي عنصر 3 داريم:

در این مرحله ذکر یک نکته مهم، ضروری است و آن استفاده از انتگرال گیری عددی (Numerical integration) در تعیین ماتریس سختی عنصر است. محاسبه تحلیلی انتگرال گیری حجمی ( ) عموما موثر نیست، بویژه هنگامی که از درون یابی های مرتبه بالاتر استفاده می شود و یا هنگامی که عنصر دارای اعوجاج است. بنابراین از انتگرال گیری عددی استفاده می شود. در حقیقت انتگرال گیری عددی را باید به عنوان یک قسمت مکمل محاسبه ماتریس سختی عنصر ایزوپارامتریک تلقی نمود. انتگرال گیری عددی را به طور خلاصه می توان به صورت زیر بیان کرد: اعضای ماتریس F به r و s وt بستگی دارند. مناسب ترین و متداول ترین روش انتگرال گیری در تعیین ماتریس سختی، روش انتگرال گیری عددی Gauss-Legendre می باشد

بحثی در مورد انتگرال گیری عددی با استفاده از روش انتگرال گیری عددی Gauss-Legendre نقاط نمونه گیری و وزن ها در انتگرال گیری عددی Gauss-Legendre

انتگرال گیری عددی گوسی در میدان های چهار ضلعی

بنابراین با استفاده از روش انتگرال گیری عددی Gauss-Legendre، ماتریس سختی عنصر به صورت زیر محاسبه می شود: که در آن Fijk ماتریس F می باشد که در نقطه (ri , sj , tk) محاسبه شده است و αijk مقدار ثابت معلومی می باشد که بستگی به مقادیر ri و sj و tk دارد. نقاط نمونه گیری ri و sj و tk و فاکتورهای وزنی متناظر با آنها αijk به گونه ای انتخاب می شوند که حداکثر دقت در انتگرال گیری حاصل شود. طبیعتا دقت انتگرال گیری را می توان با افزایش تعداد نقاط نمونه گیری افزایش داد.

نحوه محاسبه ماتریس های سختی در عناصر محدود یک بعدی نحوه محاسبه ماتریس های سختی در عناصر محدود دوبعدی نحوه محاسبه ماتریس های سختی در عناصر محدود سه بعدی

مرتبه مناسب انتگرال گیری عددی انتخاب مرتبه انتگرال گیری عددی در عمل مهم است، زیرا اولا هنگامی که انتگرال گیری از مرتبه بالاتر مورد استفاده قرار می گیرد، هزینه تحلیل نیز افزایش می یابد و ثانیا استفاده از مرتبه های مختلف انتگرال گیری تاثیر بسیار زیادی در نتایج حاصل دارد. نکته اول در انتخاب مرتبه انتگرال گیری عددی این است که از لحاظ تئوریک اگر از مرتبه های به حد کافی بالا استفاده شود، تمامی ماتریس ها به طور بسیار دقیق تعیین خواهند شد. از سوی دیگر با استفاده از مرتبه انتگرال گیری بسیار پایین ممکن است که ماتریس ها خیلی غیر دقیق تعیین می شوند و در حقیقت حل مساله ناممکن می گردد. جدول صفحه بعد مرتبه های توصیه شده انتگرال گیری عددی تام گوسی (Full Gaussian Numerical integration) برای تعیین عنصر ایزوپارامتریک مبتنی بر تغییر مکان را نشان می دهد. انتگرال گیری عددی ”تام“ را به عنوان مرتبه ای در انتگرال گیری تعریف می کنیم که ماتریس ها را به طور کامل (Exact) بدست دهد (به عبارت دیگر مقادیری که به طور تحلیلی انتگرال گیری شده اند)، البته هنگامی که عنصر از نظر هندسی دارای اعوجاج قابل توجهی نباشد.

مرتبه هاي توصيه شده انتگرال گيري عددي تام گوسي
2- فرمول بندي عناصر محدود ايزوپارامتريك محيط پيوسته مرتبه هاي توصيه شده انتگرال گيري عددي تام گوسي

استفاده از این مرتبه انتگرال گیری برای یک عنصر با اعوجاج هندسی موجب نخواهد شد که ماتریس های عنصری به طور کامل انتگرال گیری شوند، ولی با وجود این تحلیل قابل اطمینان است، زیرا خطاهای انتگرال گیری به طور قابل قبولی کوچک اند، البته با این فرض که اعوجاج هندسی عناصر معقول باشد. اگر اعوجاجات هندسی عنصر بسیار بزرگ باشند و در تحلیل غیرخطی، مرتبه انتگرال گیری بالاتر ممکن است که مناسب باشد. دلیل اصلی برای توصیه مرتبه های انتگرال گیری عددی در جدول مذکور، این است که قابلیت اطمینان روش های عناصر محدود اهمیت فراوانی دارد و اگر یک انتگرال گیری مرتبه پایین تر از مرتبه تام مورد استفاده قرار گیرد، عموما تحلیل غیر قابل اطمینان خواهد شد.

* یک نکته مهم: یادآوری می کنیم که فرمول بندی تغییر مکان تحلیل عناصر محدود موجب یک انرژی کرنشی کوچک تر از انرژی کرنشی کامل مدل ریاضی / مکانیکی مورد بحث می شود و به طور فیزیکی یک فرمول بندی تغییر مکان موجب تخمین بیش از حد سختی سیستم می گردد. بنابراین اگر ماتریس های سختی عناصر مبتنی بر تغییر مکان را از طریق انتگرال گیری عددی به طور غیر دقیق تعیین کنیم، در این صورت انتظار داریم که در مجموع نتایج حل بهتری را بتوانیم بدست آوریم. البته این نکته هنگامی امکان پذیر است که خطا در انتگرال گیری عددی به طور مناسبی با تخمین بیش از حد سختی سازه که به علت گسسته سازی عناصر محدد می باشد، جبران شود. به عبارت دیگر اگر در انتگرال گیری عددی از مرتبه ای کمتر از مرتبه مورد نیاز برای تعیین ماتریس های سختی عناصر به طور کامل (برای عناصر بدون اعوجاج هندسی) استفاده شود، در این صورت می توان انتظار داشت که نتایج حاصل بهتر شوند. در این مورد که از مرتبه انتگرال گیری کاسته می شود، به روش بکار برده شده انتگرال گیری کاهش یافته (Reduced integration method) اطلاق می شود. به عنوان مثال استفاده از انتگرال گیری گوسی 2*2 برای تعیین ماتریس سختی عنصر ایزوپارامتریک نه گرهی، متناظر با یک انتگرال گیری کاهش یافته می باشد.

دو طريقه استفاده از انتگرال گيري عددي در تعيين ماتريس سختي عنصر ايزوپارامتريك: 1- تعيين ماتريس و انتگرال گيري عددي از درايه هاي ماتريس F؛ 2- تعيين ماتريس هاي و اعمال انتگرال گيري عددي. مثال: عبارات مورد نياز براي تعيين ماتريس سختي عنصر محدود چهار گرهي ایزوپارامتریک نشان داده شده در شكل را استخراج كنيد. شرايط تنش مسطح يا كرنش مسطح را فرض كنيد.

براي اين عنصر با استفاده از توابع درون يابي، درون يابي مختصات عبارت است از: همچنين درون يابي تغيير مكان: كرنش هاي عنصر به صورت زير مي باشند: براي تعيين مشتقات تغيير مكان ضروري است كه روابط زير تعيين شوند:

كه در آن داريم: بنابراين براي هر مقدار r و s با فرض ، مي توان عملگر ژاكوبي را با استفاده از عبارات نشان داده شده براي ، تشكيل داد. فرض كنيد كه J را در ، تعيين نموده و عملگر را با Jij و دترمينان آن را با det Jij نماش دهيم، در اين صورت داريم:

براي تعيين كرنش هاي عنصر از روابط زير استفاده مي كنيم:

بدين ترتيب مي توان ماتريس تبديل كرنش-تغيير مكان را در نقطه (ri , sj) ايجاد نمود. به عبارت ديگر رابطه زير را بدست مي آوريم: كه در ان انديس هاي پايين i و j دلالت بر اين دارند كه تبديل كرنش-تغيير مكان در نقطه (ri , sj) تعيين شده است. به عنوان مثال اگر x=r و y=s باشد ( به عبارت ديگر ماتريس سختي يك عنصر مربعي مورد نياز است كه داراي طول اضلاع مساوي 2 مي باشد)، عملگر ژاكوبي ماتريس واحد است و از اين رو داريم: حال ماتريس Fij به آساني به صورت زير بدست مي آيد: كه در آن ماتريس خواص مصالح C‌در جدول داده شده است. در حالت شرايط تنش مسطح يا كرنش مسطح، انتگرال گيري در صفحه r و s انجام می شود و فرض مي شود كه تابع F در سرتاسر ضخامت عنصر ثابت است. بنابراين ماتريس سختي عنصر به صورت زير مي باشد:

كه در ان tij ضخامت عنصر در نقطه نمونه گيري (ri , sj)‌ مي باشد (در تحليل كرنش مسطح tij =1‌است). با داشتن ماتريس هاي Fij به صورتي كه داده شده است و فاكتورهاي وزني انتگرال گيري كه در دسترس مي باشند، ماتريس سختي مورد نظر را مي توان به آساني تعيين نمود.

ث) توابع درون یابی عنصر مثلثی دوبعدی و عناصر چهاروجهی (گوه ای) سه بعدی گفتیم که عناصر ایزوپارامتریک ” چهارضلعی دوبعدی“ و ” شش وجهی سه بعدی“ می توانند برای مدل نمودن اشکال هندسی بسیار عمومی مورد استفاده قرار بگیرند ولی در برخی حالات عناصر مثلثی یا گوه ای ممکن است که جلب نظر کند. دو روش در فرمول بندی عناصر مذکور وجود دارد: ث-1) بدست آوردن عناصرمثلثی دوبعدی و چهاروجهی سه بعدی از طریق متلاشی کردن عناصر چهارضلعی دوبعدی و شش وجهی سه بعدی به نظر می رسد که یک طریقه طبیعی ایجاد عناصر مثلثی، اعوجاج دار نمودن عنصر چهارضلعی بنیادی برای ایجاد شکل مثلثی مورد نیاز باشد. در عمل نیل به هدف مذکور از طریق اختصاص دادن یک گره مشابه در مختصات کلی، به دو گره گوشه عنصر حاصل می گردد.

متلاشی نمودن فرم های عناصر چهارگرهی دوبعدی و هشت گرهی سه بعدی
2- فرمول بندي عناصر محدود ايزوپارامتريك محيط پيوسته متلاشی نمودن فرم های عناصر چهارگرهی دوبعدی و هشت گرهی سه بعدی

مثال : نشان دهید که از متلاشی نمودن ضلع 1-2 عنصر چهارضلعی چهار گرهی نشان داده شده در شکل زیر، یک عنصر مثلثی با کرنش ثابت بدست می آید. حل: با استفاده از توابع درون یابی داریم: بنابراین با استفاده از شرایط x1=x2 و y1=y2 نتیجه زیر حاصل می گردد: از این رو با مختصات گرهی داده شده در شکل داریم:

نتیجه می شود که: با استفاده از فرض ایزوپارامتریک، همچنین داریم:

بنابراین داریم: در این صورت نتیجه زیر حاصل می گردد: به ازای کلیه مقادیر u2 , v2 , u3 , v3 و نیز مقادیر u4 , v4 ، بردار کرنش ثابت بوده و مستقل از r و s است. بنابراین عنصر مثلثی یک مثلث کرنش ثابت می باشد.

در مثال پیشین تنها یک حالت خاص را در نظر گرفتیم. با وجود این با استفاده از روشی مشابه به نظر می رسد که متلاشی نمودن هر ضلعی از عنصر تنش مسطح چهارضلعی یا عنصر کرنش مسطح چهارضلعی همواره موجب ایجاد یک مثلث کرنش ثابت خواهد شد. جالب توجه است که در فرمول بندی مورد استفاده در مثال مذکور، ماتریس J-1 در s=+1 تکین بود، ولی هنگامی که ماتریس کرنش-تغییر مکان محاسبه می شود، این حالت تکینی ناپدید می گردد. - بنابراین اگر در یک برنامه کامپیوتری، فرمول بندی عمومی عنصر چهارگرهی برای ایجاد یک مثلث کرنش ثابت بکار گرفته شود، در این صورت تنش ها نباید در دو گره محلی که به آنها یک گره در مختصات کلی اختصاص داده شده است، محاسبه شوند (از آنجا که تنش ها در سرتاسر عنصر ثابت اند، به آسانی در مرکز عنصر ، یعنی در r =0 و s =0 تعیین می گردند).

مثال) نشان دهید که عنصر چهاروجهی سه بعدی ایجاد شده در شکل زیر از یک عنصر آجری سه بعدی هشت گرهی، یک عنصر کرنش ثابت می باشد. حل: با استفاده از توابع درون یابی عنصر آجری و جایگذاری مختصات نقاط گرهی چهاروجهی نتایج زیر حاصل می شوند:

بنابراین داریم: با استفاده از توابع درون یابی یکسانی برای u و با داشتن شرایط u1=u2=u3=u4 و u5=u6 ، نتیجه زیر حاصل می شود:

به طور مشابه، همچنین داریم: حال با تعیین مشتقات تغییر مکان های u و v و w نسبت به r و s وt ا استفاده از J-1 ، نتیجه زیر حاصل می شود: بنابراین کرنش ها به ازای هر تغییر مکان نقاط گرهی ثابت می باشند و این بدان معنی است که عنصر مذکور تنها می تواند نمایشگر شرایط کرنش ثابت باشد.

ث-2) بدست آوردن عناصر مثلثی با مختصات سطحی (Area coordinates) برای تعریف مختصات سطحی، یک نقطه P با مختصات x و y را در نظر بگیرید که داخل یک عنصر مثلثی قرار دارد: مختصات سطحی به صورت زیر تعریف می شوند: A=A1+A2+A3

مساحت مثلث را می توان به صورت زیر تعریف نمود: عبارت مشابهی را برای مثلث های کوچک تر می توان نوشت. مثلا برای مثلث مقابل گره 1، که دارای مختصات گره (x , y) , (x2 ,y2), (x3 ,y3) است داریم: بنابراین در حالت کلی می توان نوشت:

معادله مربوط به Li در واقع مختصات سطحی (L1 , L2 , L3) نقطه P را بر حسب مختصات دکارتی (x , y) و مختصات گرهی عنصر (x2 ,y2), (x3 ,y3) (x1 ,y1), تعریف می نماید. اکنون می توان ثابت کرد که: برای تایید مناسب بودن توابع فوق حالتی را در نظر بگیرید که نقطه عمومی P بر گره 1 منطبق باشد، در این صورت بنا به تعریف خواهیم داشت: L1 =1 و L2 =0 و L3 =0 و لذا داریم: x=x1 با استفاده از روابط : می توان ماتریس های عناصر محدود را مستقیما تعیین نمود. با این حال مانند فرمول بندی عناصر چهارضلعی در عمل، غالبا استفاده از فضای مختصات طبیعی برای توصیف مختصات عنصر و تغییر مکان سودمند و مناسب است.

اگر مختصات طبیعی را به صورت زیر در نظر بگیریم: ( برای یک عنصر مثلثی واحد نمونه) به همین ترتیب برای h2 و h3 عمل می کنیم و در نتیجه خواهیم داشت: البته توابع h1 و h2 و h3 را می توانستیم با استفاده از مختصات سطحی نیز به دست آوریم. بنابراین حالا تعیین ماتریس های عنصر شامل یک تبدیل ژاکوبی نیز هست.

مثال: با استفاده از دستگاه مختصات طبیعی ایزوپارامتریک شکل زیر، ماتریس های درون یابی تغییر مکان و کرنش- تغییر مکان یک عنصرمثلثی سه گرهی را با داشتن فرض های زیر ایجاد نمایید: در این حالت با استفاده از روابط زیر داریم:

نتیجه می شود که: ملاحظه می شود که باز هم یک عنصر کرنش ثابت به دست می آید. مانند فرمول بندی عناصر چهارضلعی از مرتبه بالاتر، عناصر مثلثی از مرتبه بالاتر را نیز می توان مستقیما فرمول بندی نمود. با استفاده از دستگاه مختصات طبیعی ارائه شده داریم: که در آن Li توابع درون یابی مثلث واحد می باشد.

توابع درون یابی یک عنصر دوبعدی مثلثی با تعداد گره 3 الی 6 در شکل زیر ارائه شده است. این توابع به طریق معمول ایجاد می شوند، به عنوان مثال، hi در گره i باید واحد بوده و در سایر گره ها مساوی صفر باشد.

حال با استفاده از روش اشاره شده، می توان مستقیما توابع درون یابی عناصر چهاروجهی سه بعدی را ایجاد نمود. بنابراین مشابه مختصات سطحی برای عنصر دوبعدی، مختصات حجمی (Volume coordinate) را نیز برای عنصر سه بعدی داریم: توابع درون یابی یک عنصر چهاروجهی سه بعدی با تعداد متغیر 4 تا 10 گره در شکل زیر نشان داده شده است.

انتگرال گیری عددی گوسی در میدان های مثلثی

توجه شود که برای عنصر دوبعدی مثلثی، انتگرال گیری ها در روی مختصات طبیعی انجام می شوند، به عبارت دیگر انتگرال گیری های r از 0 تا 1 و انتگرال گیری های s نیز از 0 تا (1-r) انجام می گیرند ( با وارد کردن تبدیل ژاکوبی). توجه شود که برای عنصر چهاروجهی سه بعدی، انتگرال گیری ها در روی مختصات طبیعی انجام می شوند، به عبارت دیگر انتگرال گیری های r از 0 تا 1 و انتگرال گیری های s نیز از 0 تا (1-r) و انتگرال گیری های t از 0 تا (1-r-s) انجام می گیرند( با وارد کردن تبدیل ژاکوبی).

مثال: عنصر مثلثی نشان داده شده در شکل زیر تحت اثر بردار نیروی جسمی f B در واحد حجم می باشد. بردار نیروی نقاط گرهی سازگار را محاسبه کنید. حل: فرض کنید که از بردار تغییر مکان زیر استفاده می کنیم: در این صورت ماتریس درون یابی H به صورت زیر خواهد بود:

همچنین داریم: بردار بار مربوط به بارگذاری نیروی جسمی وارده عبارت است از: که در نهایت به صورت روبرو در می آید: و بعد از جایگذاری، جواب نهایی عبارت است از:

ج) شرایط همگرایی یکنوا (Monotonic convergence) در عناصر ایزوپارامتریک محيط پيوسته دو شرط اساسي براي همگرايي یکنوا، سازگار (Compatible) و كامل بودن (Completeness) عناصر مي باشند. ج-1) بررسی سازگاری: براي بررسي سازگاري يك مجموعه همبسته عناصر محدود نياز داريم كه لبه ها و وجوه عناصر مجاور هم را در نظر بگيريم. براي تامين شرط سازگاري ضروري است كه مختصات و تغيير مكان هاي عناصر در وجه مشترك يكسان باشند. در عناصر ايزوپارامتريك، مختصات و تغيير مكان ها در يك وجه عنصر تنها با گره ها و درجات آزادي گرهي در آن وجه مشخص مي شوند. بنابراين هنگامي شرط سازگاري تامين مي گردد كه عناصر داراي گره هاي يكساني در وجه مشترك بوده و مختصات و تغيير مكان ها در وجه مشترك و در هر عنصر به وسيله توابع درون يابي يكساني تعريف شوند.

در عمل غالبا درجه بندي شبكه اي (Mesh grading)‌ ضروري است و عناصر ايزوپارامتريك انعطاف پذيري خاصي را در نيل به شبكه هاي مدرج سازگار (Compatible graded mesh) فراهم مي نمايند.

ج-2) بررسی کامل بودن: كامل بودن ايجاب مي كند كه تغيير مكان هاي صلب جسمي (Rigid body modes) و حالات كرنش ثابت (Constant strain states) امكان پذير باشند. يك روش براي كنترل كامل بودن عنصر ايزوپارامتريك، بررسي ويژه مقادير و ويژه بردارهاي ماتريس سختي عنصر ايزوپارامتريك است. ولي براي عناصر ايزوپارامتريك از روش ديگري نيز مي توان استفاده نمود كه فهم بيشتري را در مورد شرايط خاص مربوط به فرمول بندي ایزوپارامتريک يك عنصر محيط پيوسته ايجاد و فراهم مي نمايد. براي امكان پذير بودن حالات صلب جسمي و كرنش ثابت، فرمول بندي ایزوپارامتريک بايد تغيير مكان هاي زير را كه در دستگاه مختصات محلي عنصر تعريف مي شوند، در بر گيرد: (مثلا براي يك عنصر سه بعدي محيط پيوسته) (الف) كه در آنها aj‌و bj و cj و dj و j=1, 2, 3 مقادير ثابت مي باشند. بررسي براي حالت يك بعدي: براي كرنش ثابت و براي مد صلب جسمي b1=0.

حال آزمون كامل بودن عنصر به صورت زير مي باشد:
2- فرمول بندي عناصر محدود ايزوپارامتريك محيط پيوسته (الف) تغيير مكان هاي نقاط گرهي متناظر با اين ميدان تغيير مكان عبارتند از: (ب) حال آزمون كامل بودن عنصر به صورت زير مي باشد: نشان دهيد هنگامي كه تغيير مكان هاي نقاط گرهي به وسيله (ب) مشخص مي شوند، تغيير مكان هاي (الف) نيز در حقيقت در هر نقطه ای از عنصر به دست مي آيند. در فرمول بندي ایزوپارامتريک، توابع درون يابي تغيير مكان عبارتند از:

را در طرفین روابط (ب) ضرب می کنیم: (ب) (الف)

- بنابراین هنگامی که تغییرمکان نقاط گرهی عنصر بوسیله (ب) داده می شوند، روابط ارائه شده در (الف) در صورتی تغییرمکان ها در هر نقطه ای از عنصر را بدست می دهندکه داشته باشیم: می توان نشان داد که عناصر محیط پیوسته با تعداد گره متغیر شرط کامل بودن را تامین می کنند: برای یک عنصر یک بعدی با دو گره: برای یک عنصر یک بعدی با سه گره: و به همین ترتیب برای عناصر دوبعدی و سه بعدی نیز می توان نشان داد که آنها شرط کامل بودن را ارضا می کنند.

3- فرمول بندي عناصر محدود ايزوپارامتريك سازه اي
الف) مقدمه: منظور از عناصر سازه اي، عناصر تيري، خمش صفحه و پوسته ای است که در آنها علاوه بر تغییرمکان ها، دوران ها نیز به عنوان متغیر های حالت می باشند. در فصل پيشين گفتيم كه با استفاده از نظريه تير Euler-Bernoulli و نظريه صفحه Kirchhoff مي توان عناصر تيري و خمش صفحه را با استفاده ار مدل های مختصات تعمیم یافته فرمول بندي كرد كه در آنها از تغيير شكل هاي برشي صرف نظر مي شود. با استفاده از نظريه Kirchhoff، تامين پيوستگي متقابل عناصر در دوران هاي لبه دشوار بود. زيرا دوران هاي صفحه با استفاده از تغييرمكان هاي جانبي محاسبه مي شوند ( به عبارت ديگر دوران ها متغير حالت مستقل نبودند). هدف اصلي در اين بخش، بحث در مورد يك روش جايگزين براي فرمول بندي عناصر تيري و صفحه اي است. مباني اين روش عبارتند از: الف) در نظر گرفته شدن تغيير شكل هاي برشي با استفاده از نظريه هاي تير Timoshenko و نظريه هاي صفحه Reissner- Mindlin. ب) تغييرمكان ها و دوران هاي عمود بر ميان سطح متغيرهاي حالت مستقلي هستند و شرايط پيوستگي متقابل عناصر در اين كميت ها را مي توان مستقيما مانند محيط هاي پيوسته تامين نمود.

* محاسن روش ايزوپارامتريك در فرمول بندي تيرها: 1- اعمال برش، 2- مدل نمودن تيرهاي انحنادار. * محاسن روش ايزوپارامتريك در فرمول بندي صفحه ها: 1- اعمال برش، 2- مدل نمودن انحناءها، 3- تامين سازگاري دوران ها.

ب) عناصر تيري: - اگر تحليل خمش تير را با ملاحظه اثر تغييرشكل هاي برشي در نظر بگيريم (نظریه تیر Timoshenko)، اين فرض حفظ مي شود كه يك مقطع مسطح كه در ابتدا عمود بر محور خنثي مي باشد، همچنان مسطح باقي مي ماند، ولي به دليل تغييرشكل هاي برشي، اين مقطع عمود بر محور خنثي باقي نمي ماند.

- بنابراين دوران كلي یک سطح كه در ابتدا عمود بر محور خنثي تير مي باشد، بوسيله دوران مماس بر محور خنثي و تغيير شكل برشي زير مشخص مي شود: كه در آن كرنش برشي ثابت در سرتاسر مقطع مي باشد، به عبارت ديگر در مدل عناصر محدود مورد نظر، طبق فرض، كرنش برشي در روي سطح مقطع تير ثابت است. اما در واقعيت، تنش و كرنش برشي واقعي در روي مقطع تغيير مي كند. به عنوان مثال در یک مقطع مستطیلی داریم: - از آن جا كه تنش و كرنش برشي واقعي در روي مقطع تغيير مي كند، از اينرو كرنش برشي در رابطه ، يك كرنش ثابت معادل يك سطح مقطع برشی معادل است:

- نكته مهم تعيين فاكتور تصحيح برشی k است. از فرض هاي مختلفي براي تعيين يك فاكتور معقول k استفاده نمود. يك روش ساده براي تعيين فاكتور تصحيح برشي، هنگامي كه در عمل مي كند، استفاده از اين شرط است كه تنش برشي معادل بايد منجر به همان انرژي كرنشي برشي شود كه مربوط به تنش برشي واقعي است كه در روي سطح مقطع واقعي A عمل مي كند.

مثال: فاكتور تصحيح k را براي تيري با سطح مقطع مستطيلي با عرض b و عمق h تعيين كنيد. حل: انرژي كرنشي تير در واحد طول عبارت است از: كه در آن تنش برشي واقعي بوده و G ضريب برشي و A سطح مقطع تير مي باشند، A=bh . در مدل عناصر محدود مورد نظر، طبق فرض، كرنش برشي در روي سطح مقطع تير ثابت است. از آنجا كه در واقعيت كرنش برشي در سطح مقطع تير تغيير مي كند، لذا مي خواهيم يك سطح مقطع معادل تير را براي مدل عناصر محدود مورد نظر پيدا مي كنيم. اين هم ارزي بر اساس مساوي قرار دادن انرژي هاي كرنشي برشي استوار مي باشد. بنابراين با استفاده از كه در (a) داده شده است، و با داشتن توزيع تنش برشي واقعي، مي توان را از رابطه زير محاسبه كرد:

كه در آن V كل نيروي برشي در مقطع است: اگر از استفاده كنيم، در اين صورت از (b) نتيجه زير حاصل مي گردد: از روی رابطه مذکور می توان ضریب تصحیح برشی k را برای هر مقطعی به دست آورد ( توجه شود که برای هر مقطعی داریم): به عنوان مثال براي تير با سطح مقطع مستطيلي خواهیم داشت: كه نتيجه حاصل مي شود.

ب - 1) عناصر تيري مستقيم دو بعدي - فرمول بندي عناصر محدود يك عنصر تيري با فرض ، با استفاده از عبارات بنيادي كار مجازي به دست مي آيد.

- تابعك انرژي پتانسيل كلي عبارت است از (با در نظر گرفتن روابط زیر): الف - انرژي کرنشی ناشی از خمش: ب - انرژي کرنشی ناشی از برش: - براي كار مجازي رابطه زیر را براي تير مذكور خواهيم داشت: - كه در آن p و m بار جانبي و لنگر در واحد طول مي باشند. از درون يابي هاي زير استفاده مي كنيم: - كه در آن q تعداد گره هاي مورد استفاده و توابع درون يابي مورد استفاده از قبل مي باشد. در این صورت خواهیم داشت:

- در اين صورت براي يك عنصر منفرد داريم (با در نظر گرفتن رابطه اصل کار مجازی):

در اين فرمول بندي ها از دستگاه مختصات طبيعي تير استفاده كرديم، زيرا روش موثري در فرمول بندي عناصر محدود تيري مي باشد. - ولي هنگامي كه يك تير مستقيم با مقطع ثابت را در نظر مي گيريم، انتگرال ها را مي توان به طور موثر بدون استفاده از دستگاه مختصات طبيعي، به گونه اي كه در مثال زير نشان داده شده است، تعيين نمود. - مثال: ماتريس سختي عنصر تيري سه گرهي نشان داده شده در شكل زیر را با جزئيات مربوطه تعيين كنيد.

حل: توابع درون يابي مورد استفاده به صورت زير مي باشند: توابع درون يابي فوق منجر به نتيجه زير مي شوند: با استفاده از نتيجه زير حاصل مي شود: بنابراين از جایگذاری r در توابع درون يابي فوق، توابع درون يابي بر حسب x به صورت زیر به دست می آیند:

با استفاده از نمادگذاري نتايج زير بدست مي آيد: بنابراين با درجات آزادي مرتب شده به صورت داريم:

ب- 2) پديده قفل شوندگي برشي (Element shear locking) - عنصر تیری ارائه شده در قسمت قبلی، يك عنصر مبتني بر تغييرمكان( تعميم يافته( صرف مي باشد و به شرطي مي تواند مورد استفاده قرار گيرد كه عنصر داراي سه يا چهار گره باشد و ( گره هاي داخلي دقیقا به ترتيب در وسط عنصر و نقاط 1/3 طول قرار گرفته باشند). - اگر عنصر دو گرهي به كار رود و يا نقاط داخلي عناصر سه گرهي و چهار گرهي به ترتيب در وسط عنصر و نقاط 1/3 طول قرار نگرفته باشند، در اين صورت استفاده از اين عنصر توصيه نمي شود، زيرا تغييرشكل هاي برشي با دقت كافي نمايش داده نمي شوند، اين نقص به ويژه هنگامي كه عنصر تیری، نازك (Thin) باشد بيشتر خود را نشان مي دهد. - براي پيدا كردن فهم بيشتر در مورد رفتار عناصر نازك از تابعك انرژی پتانسيل كلي تير استفاده مي كنيم:

اگر تابعك انرژی پتانسيل كلي تير را به صورت زیر بنویسیم (كه در آن از سهم بارها صرف نظر شده و بر EI /2 تقسيم شده است): - هنگامي كه عنصر نازك باشد ( h 0)، در اينصورت به سمت بي نهايت ميل خواهد كرد، به عبارت دیگرسهم نسبی برش بسیار زیاد و سهم نسبی خمش بسیار کم خواهد شد . اما نكته اين است كه هر اندازه تير بيشتر نازك مي شود، به تير تغيير شكل هاي برشي صفر ( ) نزديك مي شويم. - بنابراين فرض هاي تغييرمكان عناصر محدود در ( ) و w ( ) بايد قابليت اين را داشته باشند كه به ازاي مقادير بزرگ (براي تيرهاي نازك)، تغييرشكل هاي برشي و (انرژي كرنش برشي حاصل از آن) در سرتاسر عنصر كوچك باشند. - اگر به علت فرض هاي مورد استفاده در و w تغيير شكل هاي برشي در هر نقطه اي نتوانند كوچك - و در حقيقت صفر -باشند، در اين صورت يك انرژي كرنشي برشي غيرواقعي و نادرست ( كه در مقايسه با انرژي خمشي مي تواند بزرگ باشد) در تحليل وارد مي شود.

- هنگامي كه سازه تيري نازك است، اين خطا موجب تغييرمكان هاي بسيار كوچك تر از مقادير واقعي خواهد شد. بنابراين در چنين حالاتي مدل هاي عناصر محدود بيش از اندازه سخت مي شوند، به اصطلاح، عنصر قفل می کند. رفتار بسيار سختي كه عناصر نازك از خود نمايش مي دهند، قفل شوندگي برشي عنصر ناميده مي شود. -پديده قفل شوندگی برشی (Shear locking)، بويژه در عناصر تيري دو گرهي مبتني بر تغييرمكان، خود را نمايان مي سازد. مثال روبرو این واقعیت را نمایش می دهد.

- روش هاي متنوعي را مي توان براي اصلاح فرمول بندي عنصر تيري مبتني بر تغيير مكان - و فرمول بندي عناصر خمش صفحه اي ايزوپارامتريك مبتني بر تغييرمكان - به كار برد تا اينكه عناصر کارآمدی بدست آيند. این عناصر دارای ویژگی های زیر باید باشند: الف- قابل اطمينان (Reliable) و كارا (Efficient) باشند، ب- خاصيت قفل شوندگي برشي (Shear locking) از خود نشان ندهند، پ- ماتريس سختي عنصر نبايد شامل انرژي برشی غیر واقعی باشند، ت- داراي ظرفيت پيش بيني كنندگي بالا (High predictive capability) در شرايط عمومي بارگذاري و هندسي باشد. - یک روش موثر، استفاده از فرمول بندی عناصر محدود آمیخته (Mixed Finite Element Formulation) می باشد که در آن علاوه بر تغییرمکان های تعمیم یافته از تنش یا کرنش نیز به عنوان متغیر حالت استفاده می شود. يك عنصر تيري موثر با استفاده از درون يابي آميخته (Mixed Interpolation) تغييرمكان ها و كرنش هاي برشي جانبي حاصل مي گردد.

در این روش، مي توان براي يك عنصر با q گره، درون يابي زير را فرض كرد: توابع درون يابي تغييرمكان و دوران مقطع براي q گره و تابع درون يابي برای كرنش هاي برشي جانبي مي باشند. توابع همراه با (q -1)مقدار گسسته مي باشند كه در واقع كرنش برشي در نقطه انتگرال گیری گوسي است كه مستقيما از درون يابي هاي تغييرمكان/ دوران مقطع بدست مي آيند.

در مورد اين عناصر، يك جنبه محاسباتي جالب توجهي وجود دارد: ماتريس هاي سختي اين عناصر را مي توان با كارايي خوبي از انتگرال گيري مدل مبتني بر تغييرمكان با استفاده از انتگرال گيري گوسي يك نقطه ای براي عنصر دو گرهي، انتگرال گيري گوسي دو نقطه اي براي عنصر سه گرهي و انگترال گيري گوسي سه نقطه اي براي عنصر چهار گرهي بدست آورد.

پ ) عناصر انتقالي (Transition Elements): - عناصر انتقالی عناصری هستند که برای ارتباط دو محیط پیوسته و محیط سازه ای مورد استفاده قرار می گیرند. - برای ایجاد ماتریس های مورد نیاز برای فرمول بندی عناصر محدود انتقالی، لازم است که در مورد رابطه بین عناصر محدود محیط پیوسته و عناصر محدود سازه ای بحثی انجام گیرد.

- در مباحث پيشين، عناصر محيط پيوسته و عناصر تيري را به طور جداگانه در نظر گرفتيم. ولي به هر حال رابطه تنگاتنگي بين اين عناصر بايد مورد توجه قرار گيرد. تفاوت هاي اين عناصر صرفا در دو فرض مي باشد: - فرض سينماتيك: كه طبق آن سطوح مسطحي كه در ابتدا عمود بر محور خنثي مي باشند، مسطح باقي مي مانند، - فرض تنش: كه بر مبناي آن تنش هاي عمود بر محور خنثي صفر مي باشند. فرض سينماتيك مستقيما در درون يابي هاي هندسه و تغييرمكان در نظر گرفته مي شود. فرض تنش مستقيما در قانون تنش – كرنش مورد استفاده قرار مي گيرد. از آنجا كه دو فرض مذكور تنها تفاوت هاي بين عناصر تيري و محيط پيوسته مي باشند، ظاهرا به نظر مي رسد كه استخراج ماتريس هاي عنصر سازه اي از ماتريس هاي عنصر محيط پيوسته با استفاده از روش تباهيدگي (Degeneration) امكان پذير باشد.

مثال: فرض كنيد كه ماتريس كرنش- تغييرمكان يك عنصر تنش مسطح چهار گرهي استخراج شده است. چگونگي ايجاد ماتريس كرنش- تغييرمكان يك عنصر تيري دو گرهي را نشان دهيد. حل: شكل زير عنصر تنش مسطح با درجات آزادي مربوطه اش و عنصر تيري را نشان مي دهد كه براي آن مي خواهيم ماتريس كرنش - تغييرمكان را ايجاد كنيم.

گره 2 از عنصر تيري و گره هاي 2 و 3 از عنصر تنش مسطح را در نظر بگيريد. عناصر ماتريس كرنش- تغييرمكان عنصر تنش مسطح عبارتند از: حال با استفاده از فرض هاي تغيير شكل تير، قيدهاي سينماتيك زير را داريم:

حال اين قيدها در (a) جايگذاري مي شوند تا از عناصر ماتريس ، عناصر ماتريس كرنش- تغييرمكان B تير به دست آيند. با استفاده از سطرهاي ماتريس و با داشتن (b) داريم:

روابط سمت راست (c) تا (e) شامل عناصر ماتريس كرنش- تغييرمكان تير مي باشند: درایه های سطر اول و سطر سوم همان درایه هایی هستند كه با استفاده از فرمول بندي تير نيز به دست آمده اند. بايد دانست كه عناصر صفر در سطر دوم ماتريس B تنها اين واقعيت را بيان مي دارند كه كرنش در فرمول بندي وارد نشده است. اين كرنش در واقع مساوي با مي باشد، زيرا تنش صفر است. البته فرمول بندی عنصر سازه ای با استفاده از روش مورد بحث در مثال قبلی، از نکته نظر محاسباتی دارای کارایی نیست و مطمئنا برای تحلیل عمومی توصیه نمی شود. با وجود این، مطالعه این روش و ملاحظه این نکته که ماتریس های عنصر سازه ای را می توان اصولا از ماتریس های عنصر محیط پیوسته با اعمال فرض های مناسب ایستایی و سینماتیکی به دست آورد، سودمند و آموزنده است. همچنین این فرمول بندی مستقیما در ایجاد عناصر انتقالی موثر است و این عناصر می توانند به طریقه ای موثر برای ترکیب نمودن عناصر سازه ای و عناصر محیط پیوسته بدون کاربرد معادلات قیدی (Constraint equations) مورد استفاده قرار گیرند.

مثال: ماتریس های درون یابی تغییرمکان H و کرنش – تغییرمکان B عنصر انتقالی نشان داده شده در شکل زیر را ایجاد کنید.

حل: بردار تغییرمکان نقاط گرهی عنصر انتقالی را به صورت زیر تعریف می کنیم: از آنجا که در1+ =r درجات آزادی عنصر تنش مسطح را داریم، از این رو توابع درون یابی مربوط به گره های 1 و 2 عبارتند از: گره 3 یک گره تیری می باشد و تابع درون یابی عبارت است از: بنابراین تغییرمکان های عنصر به صورت زیر می باشند: از این رو متناظر با بردار تغییرمکان (a) داریم:

درون یابی مختصات، شبیه درون یابی مورد استفاده در عنصر تنش مسطح چهار گرهی می باشد: بنابراین داریم: از این رو نتیجه زیر حاصل می گردد:

ت) عناصر خمش صفحه (Plate bending elements) - فرمول بندی ایزوپارامتریک عناصر خمش صفحه بر اساس نظریه Reissner/Mindlin استوار است. - مبانی نظریه Riessner/Mindlin عبارتند از: - اثر برش در فرمول بندی وارد می شود؛ - مقاطع مسطح که در ابتدا عمود بر ميان- سطح می باشند، بعد از تغييرشکل، نيز مسطح باقی می مانند؛ - مقاطع مسطح که در ابتدا عمود بر ميان- سطح می باشند، در حالت کلی بعد از تغييرشکل، عمود بر میان- سطح باقی نمی مانند.

- بر مبنای نظریه Reissner/Mindlin مولفه های تغییرمکان یک نقطه با مختصات x , y , z طبق نظریه خمش با ملاحظه تغییرمکان های کوچک عبارتند از: :دوران عمود بر میان سطح تغییر شکل نیافته در صفحه x-z حول محور yها (بدون اثر تغییرشکل های برشی ) :دوران عمود بر میان سطح تغییر شکل نیافته در صفحه y-z حول محور xها (بدون اثر تغییرشکل های برشی )

- وضعیت کرنش و تنش ها در نظریه خمش صفحه Reissner/Mindlin - در واقع بر طبق نظریه مذکور صرفا مساوی صفر می باشد و قابل صرف نظر کردن نمی باشند، به عبارت دیگر داریم: انحناء خمشی در جهت x(موازی صفحه xz) انحناء خمشی در جهت y(موازی صفحه yz) انحناء پیچشی

- بنابراین حالت تنش مربوط به یک عنصر ایزوتروپیک می توان نوشت: اکنون اصل کار مجازی را برای یک عنصر صفحه ای با بارگذاری جانبی p در واحد میان - سطح و با ضخامت h را می توان به صورت زیر نوشت: k یک مقدار ثابتی است که برای در نظر گرفتن غیریکنواختی واقعی تنش های برشی به کار می رود ( معمولا مقدار 5/6 مورد استفاده قرار می گیرد).

بنابراین پس از جایگذاری های لازم خواهیم داشت: انحناء خمشی در جهت x(موازی صفحه xz) انحناء خمشی در جهت y(موازی صفحه yz) انحناء پیچشی تغییر شیب در جهت x نسبت به x تغییر شیب در جهت y نسبت به y تغییر شیب در جهت x نسبت به y = لنگر خمشی داخلی

=نیروی برشی

تاکید می کنیم که در این نظریه wو و متغیرهای مستقل اند. بنابراین در گسسته سازی عناصر محدود با استفاده از روش تغییرمکان لازم است که پیوستگی متقابل عناصر را تنها در wو و - و نه در مشتقات وابسته به آنها- اعمال کنیم و این شرط پیوستگی به طریقه مشابهی که در تحلیل عناصر محدود ایزوپارامتریک محیط پیوسته عمل کردیم، می تواند به آسانی حاصل شود. – لازم به ذکر است که در گسسته سازی تغییرمکان صرف، از روابط زیر استفاده می کنیم. - که در آنها توابع درون یابی بوده و q تعداد گره های عنصر می باشد. - حال با این درون یابی ها می توان به طریقه معمول فرمول بندی را دنبال کرد و تمامی مفاهیم مربوط به عناصر ایزوپارامتریک را که در آغاز مورد بحث قرار گرفتند، مستقیما به کار برد. - از آنجا که توابع درون یابی بر حسب مختصات ایزوپارامتریک r , s داده شده اند، از این رو می توان مستقیما ماتریس های عنصر صفحه ای که در صفحه خود با انحنا هستند محاسبه نمود ( به عنوان مثال برای مدل نمودن یک صفحه دایره ای).

مثال: عبارات مورد استفاده در تعیین ماتریس سختی عنصر خمش صفحه چهار گرهی نشان داده شده در شکل زیر را استخراج کنید ( بر اساس نظریه Reissner/Mindlin).

محاسبات مورد نیاز بسیار شبیه محاسباتی می باشند که در فرمول بندی عنصر تنش مسطح دو بعدی انجام شدند. برای عنصر نشان داده شده در شکل فوق داریم: و در این صورت با استفاده از توابع درون یابی تعریف شده در شکل و با عبارات مشابه برای مشتقات داریم: بنابراین اگر از نمادگذاری زیر استفاده کنیم: که در آن:

همچنین داریم:

همچنین داریم: در این صورت ماتریس سختی عنصر عبارت است از: و بردار بار سازگار عبارت است از:

- این فرمول بندی عنصر خمش صفحه مبتنی بر تغییرمکان، تنها در هنگام استفاده از عناصر مرتبه بالاتر دارای ارزش است (مانند عناصر تیری) و لذا گسسته سازی تغییر مکان منجر به ایجاد عناصر کارامدی از مرتبه پایین تر نخواهد شد. در حقیقت کمترین درون یابی مورد استفاده باید یک درون یابی درجه سومی باشد که منجر به یک عنصر چهار ضلعی 16 گرهی و یک عنصر مثلثی 12 گرهی می شود. با وجود این حتی این عناصر از مرتبه بالاتر، هنوز هم ظرفیت پیش بینی کنندگی خوبی را به نمایش نمی گذارند، به ویژه هنگامی که عناصر دارای اعوجاج هندسی برای برآورد تنش به کار می روند. - مانند حالت عناصر تیری ایزوپارامتریک، دشواری اصلی این است که تنش های برشی غیرواقعی در عناصر مبتنی بر تغییرمکان به دست می آیند. این تنش های غیرواقعی، به میزانی که نسبت ضخامت به طول عنصر کاهش پیدا می کند، موجب سخت شدن غیرواقعی عناصر می شوند. این اثر قفل شوندگی برشی برای عنصر از مرتبه پایین تر و عناصر با اعوجاج هندسی بیشتر نمایان می شود، زیرا در این صورت خطا در تنش های برشی بزرگتر است. - برای نیل به عناصر خمش صفحه ای کارامد و قابل اطمینان، فرمول بندی مبتنی بر تغییرمکان باید بسط داده شود. یک روش موفق استفاده از درون یابی آمیخته تغییرمکان جانبی، دوران های مقطع و کرنش های برشی جانبی است (w , βx , βy , γxz , γyz ).

پديده قفل شوندگی برشی در صفحه ها رابطه تابعک انرژی پتانسیل کلی در عنصر خمش صفحه: از طرفی رابطه کرنش ها به صورت زیر می باشد:

با جایگذاری روابط فوق در تابعک انرژی به رابطه زیر می رسیم:

با جایگذاری انتگرال گیری های فوق، رابطه تابعک به صورت زیر در می آید:

سهم خمشی و حذف سهم بارها به رابطه زیر می رسیم: با تقسیم رابطه فوق بر Eh3 سهم برشی ایجاد انرژی کرنشی برشی غیرواقعی

با تشکر از توجه شما …

Finite Element Procedures

Παρόμοιες παρουσιάσεις

Παρουσίαση με θέμα: "Finite Element Procedures"— Μεταγράφημα παρουσίασης:

Παρόμοιες παρουσιάσεις

Σχετικά με το έργο

Σχόλια

Είσοδος

Σύνδεση μέσω των κοινωνικών δικτύων:

Finite Element Procedures

Παρόμοιες παρουσιάσεις

Παρουσίαση με θέμα: "Finite Element Procedures"— Μεταγράφημα παρουσίασης:

Παρόμοιες παρουσιάσεις

Σχετικά με το έργο

Σχόλια