تبدیل فوریه سیستم های زمان گسسته فصل پنجم : تبدیل فوریه سیستم های زمان گسسته استاد : دکتر قسوری کاری از : وحید عطائی فر

5-1- تعریف تبدیل فوریه زمان گسسته 5-2- خواص تبدیل فوریه زمان گسسته 5-2-1- خطی بودن

5-2-2- شیفت زمانی 5-2-3- شیفت فرکانسی 5-2-4- مزدوج گیری(تقارن مزدوج) سیگنال حقیقی و زوج x[n] مطلقا حقیقی و زوج خواهد بودX(jΩ) سیگنال حقیقی و فرد x[n] مطلقا موهومی و فرد خواهد بود X(jΩ)

5-2-5- تفاضل گیری و مجموع گیری: مثال 1)تبدیل فوریه سیگنال y[n] را به دست آورید،اگر:

5-2-6- تبدیل فوریه تابع پله و ضربه 5-2-7- وارون زمانی 5-2-8- گسترش زمانی توجه:این خاصیت در گسسته برقرار نیست چون حاصل،یک سیگنال جدید است.

5-2-9- مشتق گیری در فرکانس: 5-2-10- ضرب و کانولوشن تذکر : (کانولوشن متناوب) با کانولوشن ساده برابر است با این تفاوت که فقط در یک دوره تناوب محاسبه می شود. 5-2-11- دو گانگی توجه : در سیستم های زمان گسسته خاصیت دوگانگی وجود ندارد،چون n گسسته است، اما Ω پیوسته است.

5-3- تبدیل فوریه توابع متناوب مثال 2) 5-2-12- رابطه پارسوال 5-3- تبدیل فوریه توابع متناوب

مثال 3)مطلوب است تبدیل فوریه توابع نمایی مختلط . تبدیل فوریه این توابع با توجه به خواص محاسبه می شوند مثال 4)مطلوب است تبدیل فوریه قطار ضربه با توجه به متناوب بودن سیگنال قطار ضربه ابتدا سری فوریه آن را محاسبه و سپس تبدیل فوریه سیگنال را محاسبه می کنیم. مثال 5) اگر مطلوب است x[n]=?

مثال 6)

مثال 7) با توجه به پاسخ ضربه مطلوب است: الف)پاسخ فرکانسی سیستم H(jΩ) ب) خروجی y[n] اگر ورودی حل: الف)

حل: ب)

یادآوری:

5-4- سیستم هایLTI وتبدیل فوریه زمان پیوسته اتصال سری: اتصال موازی:

مثال 1) تبدیل فوریه تابع را به دست آورید. داریم

از روش گرافیکی حل می کنیم: مثال 2) ورودی سیستم LTI و پاسخ ضربه سیستم در ذیل داده شده است. مطلوب است خروجی سیستم؟

مثال 3)اگر باشد، مطلوب است با استفاده از تئوری نمونه برداری؟ مثال 4) از سیگنال x(t)=2+cos(50πt) تحت شرایط زیر نمونه برداری می شود. مطلوب است تبدیل فوریه سیگنال نمونه برداری شده ؟

الف) ب) حل: الف)

حل: ب) 5-4-1- سیستم های LTI با معادلات دیفرانسیل به دست آوردن h(t) دارای اهمیت زیادی است چون نشان دهنده رفتار تابع است.

برای حل معادلات دیفرانسیل دو راه وجود دارد: 1) ابتدا h(t) را به دست آورده و سپس H(jω) که تبدیل فوریه h(t) است را به دست می آوریم. 2) ابتدا H(jω) را به دست آورده و سپس h(t) را با عکس تبدیل فوریه گرفتن از H(jω) به دست می آوریم. مثال 5) پاسخ سیستم LTI زیر به ورودی داده شده است، الف) مطلوب است پاسخ فرکانسی سیستم H(jω) ب)پاسخ ضربه h(t) ج)معادله دیفرانسیل ارتباط دهنده ورودی و خروجی

حل الف) حل ب) حل ج) با توجه به خاصیت مشتق زمانی رابطه زیر به دست می آید:

مثال 6)ورودی و خروجی یک سیستم LTI با معادله به هم مربوط می شوند. مطلوب است: الف)پاسخ ضربه سیستم h(t) ب)اگر ورودی خروجی را به دست آورید. حل الف) حل ب) چون x(t) و h(t) هر دو توابع پیچیده ای هستند به جای استفاده از کانولوشن می توان ابتدا تبدیل فوریه هر دو را به دست آورد سپس با عکس تبدیل فوریه گرفتن از Y(jω) پاسخ زمانی سیستم y(t) را به دست آورد.

5-5- سیستم های LTI وتبدیل فوریه زمان گسسته: به روش تجزیه کسر Y(jω) به دست می آید و با استفاده از عکس تبدیل فوریه y(t) محاسبه خواهد شد. مثال 7) یک سیستم LTI و علّی با پاسخ فرکانس را در نظر بگیرید. برای یک ورودی خاص x(t) مشاهده می شود که خروجی به فرم است. مطلوب است ورودی x(t) ؟ 5-5- سیستم های LTI وتبدیل فوریه زمان گسسته:

اتصال سری: اتصال موازی:

5-5-1- سیستم های LTI با معادلات تفاضلی: مطلوب است: الف) پاسخ ضربه سیستم h[n] . ب ) پاسخ ضربه سیستم معکوس

حل الف :

حل ب ) مثال 9) در یک سیستم LTI و علّی با توجه به پاسخ ضربه داده شده مطلوب است : الف ) پاسخ فرکانسی H(jΩ) ب )نوع فیلتر

حل الف : حل ب :

با توجه به شکل به دست آمده نوع فیلتر پایین گذر LPF است.