el fortoplano al finitaj elementoj Metodo de diskretaj elementoj - traba elemento - triangula elemento - rektangula elemento Laboro & Energio Energia ekvacio Teoremo de CASTIGLIANO Teoremo pri reciprokeco Teoremo de BETTIE-MAXWELL Teoremo pei reciprokeco de intenaj grandoj Ekvaciaro de virtuala laboro Versio 03

(dispartigo de konstrukcio je konformaj elementoj) strukturo de konstruteorio Metodo de diskretaj elementoj 1. etapo Elekto de elementoj Elemento estas statike difinita parto de konstrukcio, kies proprecoj (rigideco/fleksibleco) estas konataj. Elementoj povas esti 1-,2-,3-dimensiaj. Nombro da elementoj estas principoe lauvola, sed praktike limigita pere kapablecoj de komputoroj. Estas eble uzadi pli densan reton da elementoj en statike pli gravaj partoj de konstrukcio. 2. etapo Priskribo de nodoj Elementoj kuplighas en nodoj. En chiu nodo oni intencas plenumi la gemetriajn kaj statikajn kondichojn. Krome, che 2- /3-dimensiaj elementoj oni shatus plenumi ankau la kontinuec-kondichojn lau la liniaj au ebenaj elemento-randoj. Povas okazi, ke la kontinuec-kondichojn ne estos plenumitaj, tiam oni devas enkonduki korektigan aproksimadom . 3. etapo Solvo de ekvaciaro Post difino de kontinuec-ekvacioj oni analizas la tutan ekvaci-sistemon simnile, kiel estas konate en metodo de transoko. Modeligo (dispartigo de konstrukcio je konformaj elementoj) konstrukcio 1-dimensia 2-dimensia 3-dimensia elementaro

 d = [Cn A-1wij ]* [D Cn A-1]wij d = strukturo de konstruteorio Traba elemento 1. Dividu konstrukcion je elementoj (chi tie 1-dimensiaj) 2. Por chiu elemento prikalkulu ghian rigidecon (k) En lokaj koordinatoj de elemento oni priskribu ghian deformitan akson helpe de potenca sumo kun n=4 parametroj, do: w() = 1 + 2 + 32 + 43 = [1  2 3]{1 2 3 4}= nn w‘() = 2 + 23 + 342 = [0 1 2 32 ]{1 2 3 4} = () w‘‘() = 23 + 64 = [0 0 2 6 ]{1 2 3 4} = Cnn Por randoj  =0 kaj =L oni ricevas wi 1 0 0 0 1 i 0 1 0 0 2 wj 1 L L2 L3 3 j 0 1 2L 3L2 4 kaj fine: w() = n A-1wij = Bnwij  = w‘‘() = Cn A-1wij  = EJw‘‘() = D Cn A-1wij El ekvacio de virtuala laboro ni prikalkulos serchatan rigidecon k  d = [Cn A-1wij ]* [D Cn A-1]wij d = = wij*(A-1)*{ Cn*DCn d } A-1wij do, wijWij = wij*(A-1)*{ Cn*DCn d } A-1wij finfine: Wij = (A-1)*{ Cn*DCn d } A-1wij = жwij = = An = wij           ж = (A-1)*{ Cn*DCn d } A-1    

Rigideco de traba elemento: strukturo de konstruteorio Numera kalkulado gvidos al sekvantaj rezultoj: 1 0 0 0 0 1 0 0 1 L L2 L3 0 1 2L 3L2 1 0 0 0 0 1 0 0 -e/ L2 -2/L 3/ L2 -1/L 2/ L3 1/ L2 -2/L3 1/L2 A = A-1 = 0 0 0 0 0 0 4L 6L2 0 0 6L2 12L3 0 0 0 0 0 0 4 12 0 0 12 362 L   Cn*DCn = EJ Cn*DCn d = EJ 12 6L -12 6L 6L 4L2 -6L 2L2 -12 -6L 12 -6L 6L 2L2 -6L 4L2 EJ Rigideco de traba elemento: ж = L3

Fiksita trabo + distribuita forto p strukturo de konstruteorio Fiksita trabo + distribuita forto p 3. Por fiksita trabo prikalkulu nodajn reakciojn W0. En lokaj koordinatoj de elemento oni priskribu ghian deformitan akson (transloko-funkcio w) helpe de potenca sumo kun n=4 parametroj, do: w() = 1 + 2 + 32 + 43 = [1  2 3]{1 2 3 4}= nn kaj w() = n A-1wij Ekvacio de virtuala laboro liveros serchatajn nodofortojn Wo: wij*W0 = – w*()pd wij*W0 = – (n A-1wij)*pd = – wij*(A-1 )* n*pd W0 = – wij*(A-1 )* n*pd = – H*pd H = [1  2 3]A-1 = = [L3 -32L + 23, L3 - 22L2 + 3L, 32L -23, - 2L2 + 3L]/L3 finfine: -6 -L -6 L             pL W0 = 12

ж = [A-1]*{ Cn*DCn (vol) } [A-1] strukturo de konstruteorio Triangula elemento de disko 1. Dividu konstrukcion je elementoj (chi tie 2-dimensiaj) 2. Por chiu elemento prikalkulu ghian rigidecon (k) En lokaj koordinatoj de elemento oni priskribu ghian deformojn helpe de transloko-funkcioj : u = 1 + 2 + 3 = [1   0 0 0]{1 2 3 4 5 6} v = 4 + 5 + 6 = [0 0 0 1   ]{1 2 3 4 5 6} Por nodo-punktoj (i, j, k) la funkcio-valoroj estas ui 1 0 0 0 0 0 1 uj 1 a 0 0 0 0 2 uk 1 c h 0 0 0 3 vj 0 0 0 1 0 0 4 vj 0 0 0 1 a 0 5 vk 0 0 0 1 c h 6 =u 0 1 0 0 0 0 {1 2 3 4 5 6}  =v 0 0 0 0 0 1 =u+v 0 0 1 0 0 0  = Cnn  1  0     0 0  = D = CnA-1 wijk  0 0 (1-)/2  = = An = wijk = =   E (1 - 2) = = ж = [A-1]*{ Cn*DCn (vol) } [A-1]

ж = [A-1]*{ Cn*DCn d vol } [A-1] strukturo de konstruteorio El ekvacio de virtuala laboro oni ricevos rigidecon ж = [A-1]*{ Cn*DCn d vol } [A-1]   xy Oni rimarku, ke matricoj C kaj D enhavas nur konstantaj elementoj, do oni integaciaj nur volumon lau de vol, kaj wxy Wxy K ж = [A-1]*{ Cn*DCn (vol) } [A-1] kie inverso de matrico A egalas: /ah ah 0 0 -h h 0 (c-a) -c a  * A3-1 0  A-1 = A3-1 = 0 A3-1 ж Transpono de rigideco al globalaj koordinatoj okazas lau transponanto T, liganta fortoarojn de loka () kaj globala (xy) koordinat-sistemoj: Wxi cos 0 0 -sin 0 0 Wi Wxj 0 cos 0 0 -sin 0 W j Wxk 0 0 cos 0 0 -sin Wk Wyi sin cos 0 0 Wi Wyj 0 sin 0 0 cos 0 Wj Wyk 0 0 sin 0 0 cos Wk Wxy = *W w W Rigideco en globalaj koordinatoj K = * ж  =

Rigideco en lokalaj koordinatoj strukturo de konstruteorio Rigideco en lokalaj koordinatoj h2 +(c-a)2 -h2 -(c-a) h2 +c2 simetrio a(c-a) -ac a2 h(c-a) ch+h(c-a) ah (c-a)2 +h2 h(c-a) +ch ch ah -(c-a) -h2 c2 +h2 -ah ah 0 a(c-a) -ac a2 Et Ж = 2ah(1-2) 6*6  = (1- )/2  = (1+ )/2

ж = [A-1]*{ Cn*DCn (vol) } [A-1] strukturo de konstruteorio Rektangula elemento de disko 1. Dividu konstrukcion je elementoj (chi tie 2-dimensiaj) 2. Por chiu elemento prikalkulu ghian rigidecon (k) En lokaj koordinatoj de elemento oni priskribu ghian deformojn helpe de transloko-funkcioj: u = 1 + 2 + 3+ 4  = [1    0 0 0 0 ]{n} v = 5 + 6 + 7+ 8  = [0 0 0 0 1   ]{n} Por nodo-punktoj (i, j, k, l) la funkcio-valoroj estas ui 1 0 0 0 0 0 0 0 1 uj 1 a 0 0 0 0 0 0 2 uk 1 0 h 0 0 0 0 0 3 vl 1 a h ah 0 0 0 0 4 vi 0 0 0 0 1 0 0 0 5 vj 0 0 0 0 1 a 0 0 6 vk 0 0 0 0 1 0 h 0 7 vl 0 0 0 0 1 a h ah 8 =u 0 1 0  0 0 0 0 {n}  =v 0 0 0 0 0 0 1  = Cnn =u+v 0 0 1  0 1 0  tie la atrechoj estas liniaj funkcioj de , :  1  0     0 0  = D = CnA-1 wijk  0 0 (1-)/2  = An = wijkl = = =   E (1 - 2) = = ж = [A-1]*{ Cn*DCn (vol) } [A-1]

Laboro & Energio Laboro & Energio - unuigo de mekanikaj eventoj Energia ekvacio Teoremo de CASTIGLIANO Teoremo pri reciprokeco de grando-aroj Teoremo de BETTIE-MAXWELL Teoremo pri reciprokeco de internaj grandoj Ekvacioj de virtuala laboro Laboro & Energio - unuigo de mekanikaj eventoj

Laboro = (forto)(vojo)cosα Laboro & Energio Energia ekvacio Konekto de geometria kaj statika flankoj gvidas al nova shtupo de analizado. Ni eliru el mekanika nocio de laboro (L), kiun oni difinas kiel skalara produkto de forto- kaj transloko-vektoroj Laboro = (forto)(vojo)cosα Kie α estas angulo inter direktoj de forto kaj vojo. Plue ni pritraktas nur komponantojn de vojo kies direkto kongruas kun fortodirekto, tio signifas, ke chiam cosα = 1. Ni distingos kunligitaj paroj: eksteraj fortoj Q kaj translokoj q, krome internaj fortoj U kun deformoj u. Analogie ni difinos la eksteran kaj internan laborojn de konstruajho: eL = qQ iL = uU (escepte oni devas atenti fakton ke forto kreskas el nulo al fina grando, do el integracio aperos en supraj produktoj koeficiento ½ ) Fakte, sumo de intera kaj ekstera laboroj estas nulo: eL + iL = 0 (energia ekvacio) Oni povas ankau tion interpreti, kiel: eL = - iL El supra principa legho de fiziko oni difinis la bazajn teoriojn de mekaniko, kies strukturojn ni nun eksplikos.   

( )dx ½ Trabo fleksata E E = E = Laboro & Energio Laboro de eksternaj fortoj Q estas kalkulebla nur se oni konas vojon q. Por tio oni devus solvi tutan konstrukcion. Pli facile estas prikalkuli internan, elastan energion E surbaze de internaj fortoj U kaj respektivaj deformoj u. Por chiuj U-komponantoj ni konas la rigidec-faktoron K, kiu au estas konstanta por chiu trabo-trancho x, au varias lau trabo-akso x. La komponantojn de energio oni legu el kuplografoj. ? q Q K u U E L (x) K=konst K(x) dx [E,G, A(x), J(x), ] [E,G, A, J, ] [A(x), J(x)] U u E = N T M    U(x) u E = N(x) T(x) M(x)    L/EJ dx/EJ(x) L/EA dx/EA(x) L/GA dx/GA(x) ½  ½ ½  ½ ½ ½  L M2L N2L 2EJ 2EA 2GA T2L (   M2 N2 EJ EA GA T2 )dx —— + —— + —— ½ —— + —— + ——

Teoremo de CASTIGLIANO Laboro & Energio Teoremo de CASTIGLIANO Ghenerala formulo „Transloko de punkto egalas je parta derivacio de interna energio E lau kunligita forto Q “   /Q q = ------ Q E Interna energio egalas: /R /R U2 E = ½   ds K R E R U ds ds   r = ----- =   U =   U UR K K Por konstantaj parametroj K oni povas integracii geometrie: : fR   U UR ds b b b L L L La a La•b La(b/2) La(b/2)   L La/2 a L (La/2)b (La/2)(2b/3) (La/2)(b/3) 2La/3 a (2La/3)b (2La/3)b/2 (2La/3)b/2 L FQfR FQ

Teoremo pri reciprokaj grando-aroj Laboro & Energio Teoremo pri reciprokaj grando-aroj Se al konstukcio agas du aroj da fortoj: kauzoj aQ kaj Qb , kiuj elvokas respektivajn efikojn aq ,qb, tiam potenciala laboro de interaj kaj eksternaj fortoj je reciprokaj vojoj (kuplitaj grandoj) egalas: Le = aQqb Li = aUub kaj Le = Li, au detale: aQqb = aUub aro a aro b

Teoremo de BETTIE Teoremo de MAXWELL Laboro & Energio Laboroj de eksteraj fortoj en du sistemoj eLab = aQqb eLba = bQqa eLab = eLba au aQqb = bQqa (aparta kazo estas teoremo de Maxwell) Teoremo de MAXWELL Por aparta kazo: Q1 = 1 , Q2 = 1 eL12 = 1.q2 eL21 = 1.q1 eLab = eLba au 1.q2 = 1.q1 (konata kiel teoremo pri reciprokaj translokoj)

Teoremo pri reciprokeco de internaj grandoj Laboro & Energio Teoremo pri reciprokeco de internaj grandoj iLab = auUb iLba = aUub iLab = iLba au auUb = aUub aro a aro b

Ekvacioj de virtuala laboro Laboro & Energio Resume Ekvacioj de virtuala laboro