DINAMIKA KONSTRUKCIJA I ZEMLJOTRESNO INŽENJERSTVO prof. dr Ratko Salatić Građevinski fakultet u Beogradu, školska 2016/17

Dinamika konstrukcija i zemljotresno inženjerstvo Uvod u dinamiku konstrukcija Sistemi sa jednim stepenom slobode Numerička integracija Duhamel-ovog integrala Sistemi sa više stepeni slobode Metod konačnih elemenata u analizi linijskih nosača 1,2 ZEMLJOTRESNO INŽENJERSTVO … … …

Dinamika konstrukcija i zemljotresno inženjerstvo UVOD U DINAMIKU KONSTRUKCIJA Dinamika konstrukcija Dinamičko opterećenje Oblici dinamičkog opterećenja

Dinamika konstrukcija i zemljotresno inženjerstvo UVOD U DINAMIKU KONSTRUKCIJA Dinamičko opterećenje Opterećenje koje je u funkciji vremena i … … i koje izaziva inercijalne sile koje se ne mogu zanemariti.

Statičko i dinamičko opterećenje Dinamika konstrukcija i zemljotresno inženjerstvo UVOD U DINAMIKU KONSTRUKCIJA Statičko i dinamičko opterećenje Dinamičko opterećenje Statičko opterećenje t P(t) P o t 1 t =h

Specifičnost dinamičkog opterećenja Dinamika konstrukcija i zemljotresno inženjerstvo UVOD U DINAMIKU KONSTRUKCIJA Specifičnost dinamičkog opterećenja P 2 P 1 Uticaji u konstrukciji usled dinamičkog opterećenja zavise prvenstveno od odnosa frekvencija prinudne sile i konstrukcije  P 3 !

Osnovni zadaci u dinamici konstrukcija Dinamika konstrukcija i zemljotresno inženjerstvo UVOD U DINAMIKU KONSTRUKCIJA Osnovni zadaci u dinamici konstrukcija ODREĐIVANJE DINAMIČKIH KARAKTERISTIKA SISTEMA (određivanje sopstvene frekvence ili periode) Poređenje sa frekventnim karakteristikama mogućeg dinamičkog opterećenja, kako bi se izbegla pojava rezonancije 9 1 ODREĐIVANJE UTICAJA U KONSTRUKCIJI 9 2 Usled dinamičkog opterećenja zadatih karakteristika

Osnovni zadaci u dinamici konstrukcija Dinamika konstrukcija i zemljotresno inženjerstvo UVOD U DINAMIKU KONSTRUKCIJA Osnovni zadaci u dinamici konstrukcija Matematička formulacija problema ODREĐIVANJE DINAMIČKIH KARAKTERISTIKA SISTEMA (određivanje sopstvene frekvence ili perioda) 9 Homogen problem, Svojstven problem ODREĐIVANJE UTICAJA U KONSTRUKCIJI 9 Nehomogen problem linearnih algebarskih jednačina

Podela sistema prema rasporedu masa Dinamika konstrukcija i zemljotresno inženjerstvo UVOD U DINAMIKU KONSTRUKCIJA Podela sistema prema rasporedu masa Kontinualno raspoređena masa Diskretno raspoređena masa kontinualno raspoređena masa diskretno raspoređena masa

Podela sistema prema rasporedu masa Dinamika konstrukcija i zemljotresno inženjerstvo UVOD U DINAMIKU KONSTRUKCIJA Podela sistema prema rasporedu masa Matematička formulacija problema Kontinualno raspoređena masa Parcijalne diferencijalne jednačine Diskretno raspoređena masa Obične diferencijalne jednačine

Dinamika konstrukcija i zemljotresno inženjerstvo UVOD U DINAMIKU KONSTRUKCIJA Oscilacije Oscilacije – Kretanje koje se ponavlja u određenim vremenskim intervalima i vrši se uvek po istoj putanji. Podela oscilacija Veličina amplitude: Neprigušene i prigušene Dejstvo sile: Slobodne i prinudne Vibracije – Kretanje koje se javlja kao odgovor sistema usled dinamičkog opterećenja.

Primeri građevinskih konstrukcija Dinamika konstrukcija i zemljotresno inženjerstvo SISTEMI SA JEDNIM STEPENOM SLOBODE Primeri građevinskih konstrukcija Jedan stepen slobode Jedan nezavisni parametar pomeranja Odnos masa u konstrukciji određuje ponašanje sistema pri dinamičkom opterećenju. !

Slobodne neprigušene oscilacije Dinamika konstrukcija i zemljotresno inženjerstvo SISTEMI SA JEDNIM STEPENOM SLOBODE Slobodne neprigušene oscilacije D'Alambert-ov princip – Dinamička ravnoteža sila može se posmatrati kao statička, ako se dodaju odgovarajuće inercijalne sile.

Slobodne neprigušene oscilacije Dinamika konstrukcija i zemljotresno inženjerstvo SISTEMI SA JEDNIM STEPENOM SLOBODE Slobodne neprigušene oscilacije

Slobodne neprigušene oscilacije Dinamika konstrukcija i zemljotresno inženjerstvo SISTEMI SA JEDNIM STEPENOM SLOBODE Slobodne neprigušene oscilacije

Slobodne neprigušene oscilacije – Pojmovi Dinamika konstrukcija i zemljotresno inženjerstvo SISTEMI SA JEDNIM STEPENOM SLOBODE Slobodne neprigušene oscilacije – Pojmovi Elongacija – Udaljenje mase od ravnotežnog položaja u nekom trenutku vremena. Amplituda – Maksimalno udaljenje mase od ravnotežnog položaja. Restituciona sila – Sila koja teži da telo vrati u ravnotežni položaj. Uvek je orijentisana ka ravnotežnom položaju tela. Fazni ugao – Ugao koji je telo ostvarilo pri oscilacijama od trenutka kada je bilo u nultom (ravnotežnom položaju), do trenutka kada počinje računanje vremena. Kružna frekvenca slobodnih neprigušenih oscilacija – Brzina vršenja slobodnih neprigušenih oscilacija.

Slobodne neprigušene oscilacije – Pojmovi Dinamika konstrukcija i zemljotresno inženjerstvo SISTEMI SA JEDNIM STEPENOM SLOBODE Slobodne neprigušene oscilacije – Pojmovi Period slobodnih neprigušenih oscilacija – Vreme potrebno da se izvrši jedna puna oscilacija pri slobodnom neprigušenom oscilovanju. Sopstvena frekvenca oscilovanja – Broj punih oscilacija u jednom sekundu. Tehnička frekvenca oscilovanja – Broj punih oscilacija u jednom minutu.

Slobodne neprigušene oscilacije Dinamika konstrukcija i zemljotresno inženjerstvo SISTEMI SA JEDNIM STEPENOM SLOBODE Slobodne neprigušene oscilacije Krutost dinamičkog sistema – Brojno je jednaka sili, koja je potrebna da deluje na sistem u pravcu oscilovanja, da bi se masa pomerila za jediničnu vrednost u pravcu oscilovanja.

Slobodne prigušene oscilacije Dinamika konstrukcija i zemljotresno inženjerstvo SISTEMI SA JEDNIM STEPENOM SLOBODE Slobodne prigušene oscilacije D'Alambert-ov princip – Dinamička ravnoteža sila može se posmatrati kao statička, ako se dodaju odgovarajuće inercijalne sile.

Slobodne prigušene oscilacije Dinamika konstrukcija i zemljotresno inženjerstvo SISTEMI SA JEDNIM STEPENOM SLOBODE Slobodne prigušene oscilacije

Slobodne prigušene oscilacije Dinamika konstrukcija i zemljotresno inženjerstvo SISTEMI SA JEDNIM STEPENOM SLOBODE Slobodne prigušene oscilacije Aperiodično amortizovano kretanje

Slobodne prigušene oscilacije Dinamika konstrukcija i zemljotresno inženjerstvo SISTEMI SA JEDNIM STEPENOM SLOBODE Slobodne prigušene oscilacije Periodično amortizovano kretanje

Slobodne prigušene oscilacije Dinamika konstrukcija i zemljotresno inženjerstvo SISTEMI SA JEDNIM STEPENOM SLOBODE Slobodne prigušene oscilacije Prigušenje Kretanje 1 Nadkritično prigušenje Aperiodično amortizovano kretanje sa opadanjem amplitude prema eksponencijalnoj krivoj 2 Kritično prigušenje 3 Malo prigušenje Periodično amortizovano kretanje sa opadajućom amplitudom

Slobodne prigušene oscilacije Dinamika konstrukcija i zemljotresno inženjerstvo SISTEMI SA JEDNIM STEPENOM SLOBODE Slobodne prigušene oscilacije Viskozno prigušenje – Prigušenje proporcionalno brzini. Koeficijent viskoznog prigušenja – Brojno je jednak sili prigušenja pri jediničnoj brzini. Koeficijent prigušenja – Definisan je izrazom: ε=c/2m . Relativno prigušenje – Definisano je odnosom koeficijenta prigušenja i kružnom frekvencom slobodnih neprigušenih oscilacija. Bezdimenzionalna veličina koja je mera prigušenja i predstavlja karakteristiku dinamičkog sistema.

Slobodne prigušene oscilacije – Relativno prigušenje Dinamika konstrukcija i zemljotresno inženjerstvo SISTEMI SA JEDNIM STEPENOM SLOBODE Slobodne prigušene oscilacije – Relativno prigušenje Nivo naprezanja Vrsta konstrukcije Cevovodi i mašinska oprema 0.01 – 0.02 Zavarene konstrukcije, prethodno napregnuti beton, obostrano armiran beton 0.02 – 0.03 Armirani beton sa dosta prslina 0.03 – 0.05 Čelične konstrukcije sa viljcima i zakivcima, drvene konstrukcije 0.05 – 0.07 0.07 – 0.10 0.10 – 0.15 Drvene konstrukcije sa žljebovima 0.15 – 0.20

Logaritamski dekrement oscilacija Dinamika konstrukcija i zemljotresno inženjerstvo SISTEMI SA JEDNIM STEPENOM SLOBODE Logaritamski dekrement oscilacija

Slobodne prigušene oscilacije – Pojmovi Dinamika konstrukcija i zemljotresno inženjerstvo SISTEMI SA JEDNIM STEPENOM SLOBODE Slobodne prigušene oscilacije – Pojmovi Kružna frekvenca slobodnih prigušenih oscilacija – Brzina vršenja slobodnih prigušenih oscilacija. Period slobodnih prigušenih oscilacija – Vreme potrebno da se izvrši jedna puna oscilacija pri slobodnom prigušenom oscilovanju. Frekvenca prigušenih oscilacija – Broj punih oscilacija u jednoj sekundi.

Prinudne prigušene oscilacije Dinamika konstrukcija i zemljotresno inženjerstvo SISTEMI SA JEDNIM STEPENOM SLOBODE Prinudne prigušene oscilacije Slobodne prigušene oscilacije opšte rešenje partikularno rešenje Ustaljene prinudne oscilacije → 0

Prinudne prigušene oscilacije Dinamika konstrukcija i zemljotresno inženjerstvo SISTEMI SA JEDNIM STEPENOM SLOBODE Prinudne prigušene oscilacije Dinamički faktor – Odnos dinamičkog i statičkog pomeranja usled dinamičke poremećajne sile.

Prinudne prigušene oscilacije Dinamika konstrukcija i zemljotresno inženjerstvo SISTEMI SA JEDNIM STEPENOM SLOBODE Prinudne prigušene oscilacije Rezonancija – Poklapanje sopstvene i prinudne frekvence, pri kojem amplitude progresivno rastu i ograničene su samo veličinom prigušenja. rezonantno područje h h 1 2

Rezonancija – Tacoma most Dinamika konstrukcija i zemljotresno inženjerstvo SISTEMI SA JEDNIM STEPENOM SLOBODE Rezonancija – Tacoma most

Rezonancija – Tacoma most Dinamika konstrukcija i zemljotresno inženjerstvo SISTEMI SA JEDNIM STEPENOM SLOBODE Rezonancija – Tacoma most

Rezonancija – Tacoma most Dinamika konstrukcija i zemljotresno inženjerstvo SISTEMI SA JEDNIM STEPENOM SLOBODE Rezonancija – Tacoma most

Osnovne dinamičke karakteristike Dinamika konstrukcija i zemljotresno inženjerstvo SISTEMI SA JEDNIM STEPENOM SLOBODE Osnovne dinamičke karakteristike Masa sistema – m Krutost sistema– k Prigušenje sistema – c ( ε, ζ) Kružna frekvenca – … Period oscilovanja – … Frekvenca oscilovanja – …

Dinamika konstrukcija i zemljotresno inženjerstvo SISTEMI SA JEDNIM STEPENOM SLOBODE Pomeranje oslonaca

Dinamika konstrukcija i zemljotresno inženjerstvo SISTEMI SA JEDNIM STEPENOM SLOBODE Pomeranje oslonaca

Harmonijsko opterećenje Dinamika konstrukcija i zemljotresno inženjerstvo SISTEMI SA JEDNIM STEPENOM SLOBODE Harmonijsko opterećenje Harmonijsko opterećenje – može prikazati jednostavnom sinusnom (kosinusnom) funkcijom. Furijeova transformacija – Svako periodično opterećenje može se razložiti kao konačan skup prostih harmonijskih opterećenja različitih amplituda i frekvenci.

Dinamika konstrukcija i zemljotresno inženjerstvo SISTEMI SA JEDNIM STEPENOM SLOBODE Naglo opterećenje Naglo opterećenje – U jednom trenutku vremena opterećenje dobija ukupni intenzitet. Može se predstaviti pomoću Hevisajdove funkcije. Heaviside-ova funkcija – Funkcija pomoću koje se može prikazati naglo opterećenje, u obliku P(t)=Po H(t), gde je:

Dinamika konstrukcija i zemljotresno inženjerstvo SISTEMI SA JEDNIM STEPENOM SLOBODE Naglo opterećenje !

Dinamika konstrukcija i zemljotresno inženjerstvo SISTEMI SA JEDNIM STEPENOM SLOBODE Impulsno opterećenje Impulsno opterećenje – Kratkotrajno opterećenje velikog intenziteta koje ne menja smer dejstva i čija je brojna vrednost integrala po vremenu konačna veličina.

Dinamika konstrukcija i zemljotresno inženjerstvo SISTEMI SA JEDNIM STEPENOM SLOBODE Impulsno opterećenje Impuls – Vremenski integral sile. Dirac-ova (delta) funkcija – Funkcija kojom se predstavlja jedinični impuls.

Dinamika konstrukcija i zemljotresno inženjerstvo SISTEMI SA JEDNIM STEPENOM SLOBODE Impulsno opterećenje Kratkotrajno impulsno opterećenje – Impulsno opterećenje za koje izazvani uticaji bitno ne zavise od vremena trajanja impulsnog opterećenja. (Kratkotrajni impuls … /T≤0.1)

Dejstvo proizvoljno promenljive sile Dinamika konstrukcija i zemljotresno inženjerstvo SISTEMI SA JEDNIM STEPENOM SLOBODE Dejstvo proizvoljno promenljive sile Duhamel-ov integral – Odgovor sistema usled proizvoljne dinamičke sile dobijen superpozicijom uticaja uzastopnih impulsa.

Dinamika konstrukcija i zemljotresno inženjerstvo SISTEMI SA JEDNIM STEPENOM SLOBODE Spektar odgovora Spektar odgovora – ekstremne vrednosti odgovora sistema sa jednim stepenom slobode u zavisnosti od dinamičkih karakteristika sistema, za određeno dinamičko opterećenje. W* T*

Spektar odgovora – Prednosti i nedostaci Dinamika konstrukcija i zemljotresno inženjerstvo SISTEMI SA JEDNIM STEPENOM SLOBODE Spektar odgovora – Prednosti i nedostaci Jednostavna i efikasna primena Izvedeni za sistem sa jednim stepenom slobode Ne sadrže informaciju o vremenu maksimalnog uticaja

Spektri odgovora pri pomeranju oslonaca Dinamika konstrukcija i zemljotresno inženjerstvo SISTEMI SA JEDNIM STEPENOM SLOBODE Spektri odgovora pri pomeranju oslonaca pomeranje tla relativno pomeranje apsolutno pomeranje

Spektri odgovora pri pomeranju oslonaca Dinamika konstrukcija i zemljotresno inženjerstvo SISTEMI SA JEDNIM STEPENOM SLOBODE Spektri odgovora pri pomeranju oslonaca

Rekapitulacija proračuna Dinamika konstrukcija i zemljotresno inženjerstvo SISTEMI SA JEDNIM STEPENOM SLOBODE Rekapitulacija proračuna Diskretizacija mase Pretpostavke ponašanja sistema Dinamička ravnoteža Diferencijalna jednačina kretanja Rešenje diferencijalne jednačine Početni uslovi i određivanje integracionih konstanti Odgovor sistema Ekstemumi pomeranja Uticaji u konstrukciji Dimenzionisanje