Analytická geometria kvadratických útvarov Kužeľosečky Mgr. Jozef Vozár 2009

Text pre používateľa Prezentácia

Návod na používanie Prezentácia je vytvorená podobným spôsobom ako www stránka, to znamená že: Stránky obsahujú navigačné znaky, pomocou ktorých sa možno dostať na začiatok kapitoly, začiatok prezentácie, prípadne inam podľa zámeru autora Je štrukturovaná Je vytvorená s pomocou viacerých nástrojov a pre svoju správnu činnosť potrebuje mať nainštalovaný Cabri-plug in Nainštalovať? Áno Nie

Návod na používanie 4. Niektoré obrázky – vytvorené v Cabri 3d - sú naprogramované ako animované, iné sa dajú animovať tak, že ľavým tlačidlom myši uchopíme vhodný bod a posúvame ho, čím sa dajú meniť parametre. 5. Obrázky vytvorené v Cabri 3d (stereoobrázky, geometrické definície kriviek) si môžeme prezerať z rôznych uhlov. Docielime to uložením kurzoru do obrázka, stlačením a držaním pravého tlačidla myši a súčasným pohybovaním. (V obrázku sa objaví zvláštny symbol – na seba kolmé kruhy). 6. Ostatné obrázky sú vytvorené v Derive 6 a nie sú animované.

Navigácia po prezentácii Čo treba vedieť pred kužeľosečkami Kružnica Elipsa Parabola Hyperbola Koniec

Čo treba vedieť pred kužeľosečkami Poznať metódu súradníc Vedieť analyticky vyjadriť lineárne útvary v rovine Vedieť počítať vzdialenosť bodov v rovine pomocou ich súradníc – Pytagorova veta

Kružnica ako kužeľosečka Ak ako rovinu rezu použijeme rovinu kolmú na os plochy, potom výsledkom je kružnica, alebo bod, ktorý je vrcholom kužeľovej plochy

Kružnica Definícia: Množinu všetkých bodov X roviny, ktoré sú od daného bodu roviny vzdialené o konštantnú vzdialenosť r (r je ľubovoľné kladné reálne číslo) nazývame kružnica.

Kružnica Geometrická konštrukcia: 1. Zvolíme ľubovoľný bod S – stred kružnice a úsečku s dĺžkou r (ľubovoľné kladné reálne číslo) 2. Kružnicu nakreslíme kružidlom

Kružnica v súradnicovej sústave

ANALÝZA S[0;0] X[x;y] |S;X| = r

Kanonická – stredová rovnica kružnice x2 + y2 = r2

Posunutá kružnica

Rovnica posunutej kružnice S[m;n] (x – m)2 + (y – n)2 = r2 kapitola prezentácia

Parabola ako kužeľosečka – automatická animácia Ak režeme kužeľovú plochu rovinou, ktorá je rovnobežná s povrchovou priamkou výsledkom je buď samotná povrchová priamka, alebo parabola.

Parabola ako kužeľosečka – manuálna animácia Pomocou myši a jej ľavého tlačidla Chyť červený bodv hornej časti a posunuj ním po červenej úsečke. Pomocou stlačeného pravého tlačidla môžeš meniť uhol pohľadu.

PARABOLA Definícia: Daný je bod F a priamka d, neprechádzajúca bodom F. Množinu všetkých bodov X roviny dF, ktoré majú rovnakú vzdialenosť od bodu F (ohnisko) a od priamky d (riadiaca priamka), nazývame parabola.

PARABOLA Geometrická konštrukcia: Bodom F zostrojíme kolmicu na priamku d – os paraboly Ľubovoľným bodom osi paraboly zostrojíme rovnobežku s d Zostrojíme kružnicu so stredom v F a s polomerom, ktorým je vzdialenosť pomocnej priamky a d. Priesečníky kružnice a pomocnej priamky sú body paraboly. Pomocnú priamku posúvame po osi paraboly. Tým sa mení aj kružnica a tiež aj priesečníky. Množina všetkých priesečníkov kružníc s pomocnými priamkami je množina bodov paraboly

Pohyblivým bodom je priesečník osi paraboly a kolmice na os

Konštrukcia paraboly Obrázok je automaticky animovaný.

Parabola v súradnicovej sústave

Analýza d – riadiaca priamka (direktrix), F – ohnisko (fokus), V – vrchol X[x;y]- ľubovoľný bod paraboly |F,d|= p – parameter paraboly |F,V| = |V,d| = p/2 – polparameter F[p/2;0], V[0;0], Rovnica riadiacej priamky d: x = - p/2 2x + p = 0

Kanonická - vrcholová rovnica paraboly Podľa definície |F,X| = |X,d| y2 = 2px

Posunutá parabola

Rovnica posunutej paraboly Vrchol pôvodnej paraboly je posunutý do V[4;3] (y - 3)2 = 4·(x - 4)

Rovnica paraboly otočenej o celý násobok Π/2

Rovnica paraboly otočenej o celý násobok Π/2 Vrchol pôvodnej paraboly je posunutý do V[4;3] a parabola je otočená o Π (y - 3)2 = - 4·(x - 4)

Elipsa ako kužeľosečka Ak režeme kužeľovú plochu rovinou, ktorá nie je kolmá a ani rovnobežná S osou plochy a nie je ani rovnobežná s povrchovou priamkou, potom výsledkom rezu je elipsa.

ELIPSA Definícia: Elipsou nazývame množinu všetkých bodov X roviny, ktoré majú od dvoch daných pevných bodov tejto roviny F1, F2 (ohnísk) konštantný súčet vzdialeností, t.j. platí pre ne, že |F 1,X| + |X,F2| = 2a > |F1F2|, kde 2a je konštanta, väčšia ako je vzdialenosť ohnísk.

ELIPSA Geometrická konštrukcia: Zostrojíme úsečku F1 F2 a jej stred S Zostrojíme úsečku AB na tej istej priamke a s tým istým stredom Zostrojíme ľubovoľný pomocný, pohyblivý bod Q úsečky AB Zostrojujeme kružnice so stredom F1 s polomerom |A,Q| a so stredom F2 a s polomerom |B,Q | Priesečníky týchto kružníc sú body elipsy

Konštrukcia elipsy Obrázok je automaticky animovaný.

Analýza elipsy

Analýza elipsy Podľa obrázka : |A,S| = a - dĺžka hlavnej poloosi | F,S | = e - excentricita | C,S | = b – dĺžka vedľajšej poloosi Teda platí (Pythagorova veta): a2 = b2 + e2

Výpočet kanonickej rovnice elipsy |X,F| + |X,G| = 2a X[x;y], F[-e;0], G[e;0] teda

Kanonická – stredová rovnica elipsy Po úprave a využití vzťahu medzi poloosami a excentricitou x2 b2+ y2 a2 = a2 b2 x2 y2 ––– + ––– = 1 a2 b2

Posunutá elipsa (hlavná os je rovnobežná s ox)

Rovnica posunutej elipsy (hlavná os je rovnobežná s ox) Stred elipsy je posunutý do bodu [3;2] Rovnica elipsy je potom

Otočená elipsa (hlavná os je rovnobežná s oy)

Otočená elipsa (hlavná os je rovnobežná s oy) Rovnica elipsy sa zmení tak, že v rovnici si dľžky hlavnej poloosi a a vedľajšej poloosi b vymenia miesto x2 y2 ––– + ––– = 1 b2 a2

Hyperbola ako kužeľosečka Ak ako rovinu rezu použijeme rovinu rovnobežnú s osou kužeľovej plochy, potom výsledkom rezu je hyperbola, alebo dvojica rôznobežných priamok prechádzajúcich vrcholom kužeľovej plochy. Obrázok je automaticky animovaný.

HYPERBOLA | |F 1,X| - |X,F2| | = 2a Definícia: Hyperbolou nazývame množinu všetkých bodov X roviny, ktoré majú od dvoch daných rôznych bodov F1, F2 (ohnísk) konštantný rozdiel | |F 1,X| - |X,F2| | = 2a pričom 0<2a < |F1F2| = 2e.

Hyperbola Geometrická konštrukcia: Zostrojíme priamku F1F2 a stred S úsečky F1F2 Zostrojíme na priamke F1F2 body A,B tak, aby úsečka AB mala dĺžku 2a a stred S Zostrojujem kružnice so stredmi v ohniskách a s polomermi r, r+2a, kde r je ľubovoľné kladné reálne číslo Priesečníky kružníc sú body hyperboly

Konštrukcia hyperboly Sleduj priesečníky kružníc rovnakej farby (zelených, červených) Kapitola Domov

Hyperbola v súradnicovej sústave F1 A B F2 S

Analýza F1[-e;0], F2[e;0], A[-a;0], B[a;0], S[0;0], C[-a;b] |A,S| = a - dĺžka hlavnej poloosi |A,C| = b – dĺžka vedľajšej poloosi |A,S|2 + |A,C|2 = |S,C |2 ........ a2 + b2 = e2 C je priesečník dotyčnice k hyperbole v bode A a kružnice so stredom S a polomerom e.

Kanonická – stredová rovnica hyperboly | |F 1,X| - |X,F2| | = 2a

Kanonická - stredová rovnica hyperboly Po úprave a využití vzťahu medzi poloosami a excentricitou: x2 b2 - y2 a2 = a2 b2 x2 y2 ––– - ––– = 1 a2 b2 Výpočet rovnice možno dať budúcim maturantom ako cvičenie. Pre bežných žiakov je výpočet zbytočný a skôr ich odradí než pritiahne.

Posunutá hyperbola

Rovnica posunutej hyperboly Stred hyperboly je posunutý do S[4;3] (x - 4)2 (y - 3)2 ⎯⎯⎯⎯⎯⎯ - ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ = 1 16 9

Text pre používateľa Táto prezentácia je určená na použitie pri viacerých možných situáciách. Ako vyučovacia pomôcka na výkladovej vyučovacej hodine, realizovaná pomocou PC a dataprojektora, sprevádzaná komentárom učiteľa, pričom učiteľ použije tú časť, ktorú na hodine potrebuje. Ako vyučovacia pomôcka pri zhrňujúcej vyučovacej hodine, kde podobne je prezentovaná pre celú triedu a slúži na rýchly prehľad v tématickom celku, pričom učiteľ ju môže ešte raz komentovať, resp. odpovedať na otázky žiakov. Ako prostriedok na individuálne štúdium pre žiakov v príprave na skúšku, resp. ako pomôcka pri príprave na maturitnú skúšku z matematiky. Prezentácia bola vytvorená pomocou softvéru: Powerpoint 2007 Derive 6 Cabri 2 Cabri 3D Pre úspešné používanie je potrebné bežný PC schopný pracovať s uvedeným softvérom a dobrý dataprojektor. Prezentácie sa odporúča prezentovať v polozatemnenej miestnosti. Tento text nie potrebný pre úspešné používanie a preto ho prípadný používateľ môže vyhodiť.

Text pre používateľa Pri príprave prezentácie som využil moje vzdelanie a dlhoročné skúsenosti učiteľa matematiky na gymnáziu a tiež to, že informatiku, moderné vyučovacie trendy a IKT sa snažím zaraďovať do vyučovania predmetu, ktorý je pre veľkú časť žiakov nepríjemný. Často iba preto, že je mnohokrát ohúrený a zavalený množstvom „suchých „ poznatkov. Snažím sa do mojej práce vnášať duch priateľstva a porozumenia a čo najviac ju spestrovať názornosťou a využitím dostupnej didaktickej techniky. Pri realizácii prezentácie som využil matematický softvér – Derive 6, pomocou ktorého som umiestňoval grafy kužeľosečiek do súradnicovej sústavy. Tento softvér využívam spolu žiakmi jednak ako prostriedok na moju prácu pri výklade, ale aj na modelovanie žiakmi a keďže sa pod mojim vedením vytvorila na škole učebňa vybavená PC pre každú dvojicu žiakov, môžu ho žiaci bežne využívať. Ako ďalší matematický softvér som využil dvojicu programov Cabri a to vo verzii pre dvojrozmernú geometriu a tiež aj vo verzii pre 3D geometriu. V prvom z nich je možné v prezentácii využiť statické obrázky . Dôležitá časť prezentácie stojí na využití trojrozmerných obrázkov, ktoré je možné animovať a tiež je možné meniť uhol pohľadu na obrázok v trojrozmernom priestore. Tieto vlastnosti zásadným spôsobom ovplyvňujú vnímanie obrázkov žiakmi, pretože im umožňujú meniť parametre obrázku a teda meniť rôzne vzťahy – modelovať situáciu. Žiak je takto vťahovaný do tvorby úlohy, je aktívny, prebudí sa záujem aj u menej vnímavých. Druhá vlastnosť 3D obrázkov je v tom, že obrázok je možné v priestore otáčať a tak sledovať vzájomné vzťahy priestorovo, čo opäť zásadným spôsobom – prirodzeným pohľadom, mení prístup žiakov k riešeniam. Ďalším softvérom je samozrejme ten, ktorý práve používate teda PowerPoint 2007. O jeho schopnostiach a možnostiach nie je potrebné sa podrobne rozpisovať, snáď len toľko, že je to mimoriadne vhodný didaktický prostriedok v rukách skúseného učiteľa, najmä vtedy ak si dokáže vytvoriť prezentáciu na mieru pre konkrétnu situáciu resp. triedu. Pri tom mi nedá nespomenúť situácie s pred niekoľkých rokov, keď v snahe kvalitnejšie a modernejšie učiť som zháňal transparentné fólie a vhodné fixy, aby som ručne namaľoval obrázok-statický, ktorý som potom pomocou Meotaru premietal. Na vyučovanie s pomocou tejto prezentácie využívam dve odborné učebne podľa toho ako ju mienim používať.

Text pre používateľa Jedna z učební je odborná učebňa matematiky a fyziky, upravená ako prednášková miestnosť so stupňovitou podlahou, ktorá je okrem iného vybavená PC pracoviskom učiteľa a trvalo umiestneným dataprojektorom a stabilnou premietacou plochou. Tieto zariadenia spolu tvoria komplet interaktívnej tabule. Premietanie prezentácie ovládam diaľkovo wi-fi ovládačom s laserovým ukazovátkom, ktorým v prípade potreby niektoré detaily snímok zvýrazním. Pri prezentácii používam svoj hovorený komentár, ktorý je síce možné zabudovať priamo do prezentácie, moja predstava je však taká, že živý ľudský hlas, ktorý naviac vie reagovať na podnety žiakov je vhodnejší. Pri tvorbe prezentácie som sa vyhýbal použiť všetky možnosti, ktoré PowerPoint ponúka – animácie, prechody, zvukové efekty a pod., pretože zo skúsenosti viem, že oni zo začiatku zaujmú, ale po krátkom čase pôsobia rušivo. Druhá učebňa je určená pre interaktívnu prácu žiakov. Obsahuje dostatočný počet pracovných stolov vybavených tak, aby dvaja žiaci pracovali s jedným PC. Je tu tiež pracovný PC stôl učiteľa, zabudovaný dataprojektor a stabilná premietacia plocha. V tejto učebni môžu žiaci používať prezentáciu individuálne. Tu sa prezentácia používa na záver tématického celku, keď žiaci majú možnosť ešte raz samostatne prejsť cez tému, experimentovať, overovať a tým sa učiť.

Záver Prezentáciu vytvoril Mgr. Jozef Vozár Gymnázium, SNP 607, Dobšiná Prezentácia bola vytvorená na spoločenskú objednávku budúcich maturantov a odskúšaná pri vyučovaní matematiky v maturitných triedach a pri príprave na maturitnú skúšku z matematiky.