Βασικές αρχές Γεωδαισίας και Τοπογραφίας Διάλεξη 8η Διδάσκων Εμμανουήλ Κ. Οικονόμου

Εμβαδομέτρηση Το εμβαδόν ενός κλειστού σχήματος μπορεί να υπολογιστεί με τις εξής μεθόδους: Αναλυτική μέθοδος Γραφική μέθοδος Μηχανική μέθοδος (εμβαδόμετρο) Για τον υπολογισμό εμβαδού εφαρμόζονται οι εξής κανόνες: Ο τύπος του Ήρωνα (τρίγωνα) Υπολογισμός με ορθογώνιες συντεταγμένες (πολύγωνα) Υπολογισμός εμβαδού με πολικές συντεταγμένες (πολύγωνα)

Εμβαδομέτρηση Για τον υπολογισμό εμβαδού καμπύλων εφαρμόζονται οι εξής κανόνες: Τραπεζοειδή Μέσες τεταγμένες Simpson

Εμβαδομέτρηση Αναλυτική μέθοδος Αν η μορφή ενός οικοπέδου είναι τριγωνική ή μπορεί να χωρισθεί σε τρίγωνα, τότε το εμβαδόν του υπολογίζεται με βάση του τύπους (1), (2) Α γ β (1) (2) Γ Β α

Εμβαδομέτρηση Αναλυτική μέθοδος Αν μπορούν να μετρηθούν ή υπολογισθούν οι πλευρές ενός τριγώνου, τότε το εμβαδόν του υπολογίζεται με τον τύπο του Ήρωνα Α γ β Γ α

Εμβαδομέτρηση Αναλυτική μέθοδος Εμβαδόν πολυγώνου με ορθογώνιες συντεταγμένες 1 Y1 2 n 3 4 X1

Εμβαδομέτρηση Αναλυτική μέθοδος Εμβαδόν πολυγώνου με πολικές συντεταγμένες 1 θ2 2 S1 θ1 S2 n Sn S3 S4 3 4

Εμβαδομέτρηση Για τον υπολογισμό εμβαδού καμπυλών αυτές μπορούνε αρχικά να προσεγγιστούν με χρήση του τραπεζοειδή κανόνα ή με Μέσες τεταγμένες. Μέσες τεταγμένες Τραπέζιο

Εμβαδομέτρηση Αλλά στον ακριβή υπολογισμό εμβαδού καμπυλών με χρήση τραπεζοειδή κανόνα ή Μέσων τεταγμένων εισέρχονται σφάλματα διότι οι παραπάνω κανόνες προσεγγίζουν τις καμπύλες ως ευθείες. Μέσες τεταγμένες Τραπέζιο

Εμβαδομέτρηση Αν γνωρίζουμε την συνάρτηση της καμπύλης τότε η ακριβής μέθοδος υπολογισμού του εμβαδού που περικλείεται μεταξύ δύο ορίων της καμπύλης είναι η χρήση ολοκληρώματος. -1 1 P Q R

Εμβαδομέτρηση Παράδειγμα Η συνάρτηση της καμπύλης είναι εξίσωση 2ου βαθμού y = f(x) = ax2 +bx + c Χρησιμοποιούμε τρία οποιαδήποτε σημεία για να βρούμε τις σταθερές a, b, c A (-1,1) B (0,3) Γ (1,2) -1 1

Εμβαδομέτρηση Παράδειγμα Α (-1,1) 1 = a (-1) 2 +b (-1) + c 1=a-b+c Β (0,3) 3 = a (0) 2 +b (0) + c 3=c Γ (1,2) 2 = a (1) 2 +b (1) + c 2=a+b+3 -1 1

Εμβαδομέτρηση Παράδειγμα Βρίσκουμε τις σταθερές a = -3/2 b = 1/2 c = 3 -1 1

Εμβαδομέτρηση Παράδειγμα Για να υπολογίσουμε το εμβαδόν που περικλείει η καμπύλη μεταξύ δύο σημείων π.χ. x=[-1,1] υπολογίζουμε το ολοκλήρωμα -1 1

Εμβαδομέτρηση -1 1 Αν δεν γνωρίζουμε την συνάρτηση της καμπύλης τότε η ακριβής μέθοδος προσέγγισης υπολογισμού του εμβαδού που περικλείεται μεταξύ δύο ορίων της καμπύλης είναι η χρήση του κανόνα του Simpson.

Κανόνας του Simpson yn+1 yn-1 d d d d d d Για να υπολογίσουμε το εμβαδόν μεταξύ των σημείων yn-1 και yn+1 μιας καμπύλης χωρίζουμε την προς εμβαδομέτρηση επιφάνεια σε n λωρίδες ίσου πλάτους d.

Κανόνας του Simpson yn+1 yn-1 d d d d d d Η τελευταία περιττή τεταγμένη Η πρώτη τεταγμένη Άθροισμα άρτιων τεταγμένων Άθροισμα περιττών τεταγμένων

Κανόνας του Simpson y1 y2 y6 y0 y3 y5 y4 d d d d d d Παράδειγμα

Κανόνας του Simpson Παράδειγμα Να υπολογισθεί το εμβαδόν της συνάρτησης y=f(x)=xcosx που περικλείεται ανάμεσα στα σημεία [5,7] χρησιμοποιώντας 8 λωρίδες Χωρίζουμε το διάστημα [5,7] σε 8 λωρίδες πλάτους

Κανόνας του Simpson Παράδειγμα Να υπολογισθεί το εμβαδόν της συνάρτησης y=f(x)=xcosx που περικλείεται ανάμεσα στα σημεία [5,7] χρησιμοποιώντας 8 λωρίδες Λύση με άλγεβρα Λύση με κανόνα Simpson

Κανόνας του Simpson Παράδειγμα Σύγκριση αποτελεσμάτων Μέθοδος Εμβαδόν Σφάλμα % Άλγεβρα 9.8637676 Simpson 9.863942 -0.00017441 -0.0018 Τραπέζιο 9.8172488 0.046518789 0.4738 Μέσες Τεταγμένες 9.8870433 -0.02327571 -0.2354