Θεωρία Βελτιστοποίησης και Εφαρμογές Εισαγωγή και παραδείγματα

Εισαγωγή στη Βελτιστοποίηση Προβλήματα βελτιστοποίησης Παραδείγματα Χωρίς περιορισμούς Με περιορισμούς

Περίληψη Μαθήματος f(x): Αντικειμενική συνάρτηση (Objective function) g(x): Περιορισμοί (constraints)

Ταξινόμηση Προβλημάτων Βελτιστοποίησης Περιορισμοί Ύπαρξη ή όχι περιορισμών Φύση εξισώσεων Γραμμικές ή μη-γραμμικές (τετραγωνικές) Φύση των μεταβλητών του προβλήματος Σταθερές ως προς το χρόνο Δυναμικές (αλλάζουν σε συνάρτηση με το χρόνο) Επιτρεπτές τιμές μεταβλητών Πραγματικές Ακέραιες Συνδυασμός (mixed). Καθοριστικές ή στοχαστικές μεταβλητές Βέλτιστος έλεγχος Αριθμός αντικειμενικών συναρτήσεων

Πρόβλημα Μεγιστοποίηση Κέρδους Η εταιρεία XYZ παρασκευάζει τα τηλέφωνα ABC. Το οριακό κόστος (marginal cost) παραγωγής ενός τηλεφώνου είναι ανάλογο με τον αριθμό παραγομένων τηλεφώνων. Η τιμή πώλησης των τηλεφώνων εξαρτάτε από τη παραγωγή και δίνεται από τη συνάρτηση Πόσα τηλέφωνα πρέπει να παράξει η XYZ έτσι ώστε να μεγιστοποιήσει το κέρδος;

Πρόβλημα Μεγιστοποίηση Κέρδους Έσοδα: Έξοδα: Κέρδος:

Μεγιστοποίηση Συνάρτησης Μεγιστοποιήστε τη συνάρτηση στο διάστημα x [0,100]:

Μεγιστοποίηση Εμβαδού Τριγώνου Πρόβλημα: Ζητείται το ορθογώνιο τρίγωνο με δεδομένη υποτείνουσα ίσον με 1 και μέγιστο εμβαδόν. 1 x1 x2

Μεγιστοποίηση Εμβαδού Τριγώνου Λύση: με αντικατάσταση.

Πρόβλημα «Κατασκευαστικής» Πρόβλημα: Στο πιο κάτω σχήμα βρέστε τη μέγιστη επιφάνεια που μπορείτε να μπογιατίσετε έτσι ώστε η περίμετρος να μην ξεπερνά τα μ μέτρα και ο προϋπολογισμός να μην ξεπερνά τις Κ λίρες. W M L θ C1 C2

Πρόβλημα Προγραμματισμού Παραγωγής Η ΝΑ Co. θέλει να βρει το πρόγραμμα παραγωγής και εγκατάστασης μηχανών έτσι ώστε να ελαχιστοποιηθεί το συνολικό κόστος παραγωγής. Το μηνιαίο κόστος παραγωγής καθώς και η μέγιστη ζήτηση και παραγωγική δυνατότητα δίνονται στον πιο κάτω πίνακα. Μήνας Μηνιαία ζήτηση Μέγιστη παραγωγική δυνατότητα Μοναδιαίο κόστος παραγωγής x$1,000,000 Μοναδιαίο κόστος αποθήκευσης 1 2 3 4 10 15 25 20 35 30 1.08 1.11 1.10 1.13 0.015 Μεταβλητές: xij: Αριθμός μηχανών που θα παραχθούν κατά τον μήνα i και θα εγκατασταθούν τον μήνα j.

Northern Προβλήματος Παραγωγής Αντικειμενική συνάρτηση: Περιορισμοί απαιτούμενης ζήτηση: Περιορισμοί μέγιστης παραγωγής:

Πρόβλημα Δρομολόγησης Σε ένα δίκτυο υπάρχουν Ν κόμβοι οι οποίοι συνδέονται με ζεύξεις κόστους [qij]. Κάθε ζεύξη έχει χωρητικότητα [cij]. Στο δίκτυο υπάρχουν F ροές (flows). Η κάθε ροή ξεκινά από κάποιο κόμβο i και καταλήγει στον κόμβο j [fijf]. Πρόβλημα: Από πού θα πρέπει να δρομολογηθεί η κάθε ροή έτσι ώστε να ελαχιστοποιηθεί το συνολικό κόστος. Το πρόβλημα αυτό μπορεί να εμφανιστεί σε διάφορες περιοχές (τηλεπικοινωνίες, συστήματα μεταφοράς κλπ.) και σε διάφορες μορφές (περιορισμοί). Μεταβλητές: xijf αντιπροσωπεύει τη ροή f στη ζεύξη i,j

Πρόβλημα Δρομολόγησης Αντικειμενική συνάρτηση: Περιορισμοί χωρητικότητας ζεύξης: Περιορισμοί διατήρησης ροής (conservation of flow): Μη αρνητικοί περιορισμοί: