(Kooli) Matemaatika

Pindala, ruumala Arvutage ligikaudu keskmist kasvu inimese keha pindala ja keha ruumala. S ~ r2, V ~ r3,                       Silinder Kera

Milline võiks olla üherakulise organismi maht liitrites, kui raku läbimõõt on 10 mikromeetrit ja rakku võib lugeda kerakujuliseks. d =10 · 10-6 m = 10-4 dm V = 4/3 π R3 V = 4/3 · 3.14 · (0.5 · 10-4 dm)3 = = 0.52 10-12 dm3 = 0.52 pl Arvutage oma keha pindala / ruumala. Keerulise kujuga keha pindala ja/või ruumala arvutamiseks tuleb 􀂄- idealiseerida kuju: silinder, kera, ristkülik... 􀂄- hinnata lineaarmõõtu 􀂄- kasutada lihtsustatud valemit (numbrilisi konstante) 􀂄- kontrolli tulemust suurusjärguliselt Kirjeldage ja põhjendage oma lähenemiseviisi

Lineaarne sõltuvus y = ax + b Kui x = 0, y = b b on lõikepunkt y-teljega ehk funktsiooni algväärtus (siin =+15) Proportsionaalne (võrdeline) sõltuvus y = ax Mitu korda muutub argument (T, K), sama palju kordi muutub ka funktsioon (p) pV = nRT pV = nR(tºC+273)

y = ax2 y = ax

Eksponent ehk geomeetriline progressioon Tuleb teha vahet astme- ja eksponentfunktsioonil: Astmefunktsiooniks nimetatakse funktsiooni y = xa, kus a on nullist erinev täisarv. Näiteks, ruutsõltuvus eemaldub nullist horisontaalselt (väärtusel x = 0 on tõus 0) ja jätkab lineaarselt kiireneva tõusuga Eksponentfunktsiooniks nimetatakse funktsiooni y = ax, (y = ex = exp x) kus a > 0 ja a ≠ 1. Mida suuremaks see funktsioon kasvab, seda kiiremini muutub tema väärtus (seda suurem on tema juurdekasv).

y = ex = exp x N(t) = N0 e–λt, N(t) = N0 · 2–t/T.

Parabool y = ax2

Y = x2n n=1,2,3

Y = x2n+1 n=1,2 3 5

Pöördvõrdeline sõltuvus Y = 1/x = x -1

y = log a x (a y = x) pH = - log10[H+] Arv y on arvu x logaritm alusel a, kui x = a y ehk arv y on astendaja, millega arvu a astendades on tulemuseks arv x .

loga (x1· x2) = loga x1 + loga x2, y = log2 x. pH = - log10[H+] = - log10[10-3 (M)] = = - (- 3) log10 10 = 3 (2 y = x)

y = ax, loga y = x loga a, loga a = 1, loga y = x

Hiina tähestikus on 10000 hieroglüüfi. Mitmekohalist kahendarvu tuleks nende kodeerimiseks kasutada? loga xα = α loga x, 2x = 104 x log 2 = 4 log 10 0.3 x = 4 x ≈ 13 Kalkulaatoril: log - log10 ln - loge

v, a, s füüsikaline suurus = numbriline kordaja · mõõteühik Skalaarid: Objektid, mida iseloomustab arvuline väärtus, märk (+/-) ja ühik. Skalaarid liituvad algebraliselt. (aeg, temperatuur, mass, elektrilaeng, võimsus, töö, energia) v, a, s Vektorid: Iseloomustab arvuline väärtus (pikkus), ühik ja suund. Vektorid liituvad geomeetriliselt (nihe, jõud, kiirus, kiirendus, elektrivälja tugevus)

Vektorid liituvad / lahutuvad Vektorite liitmine Tuule mõju lennuki kiirusele (vektorite liitmine) Vektorid liituvad / lahutuvad geomeetriliselt

Vektorite liitmine

Vektor A on suunaga põhja (ilmakaar), vektor B on suunaga itta. Milline alljärgnevatest joonistest iseloomustab nende summat kõige paremini? Vastuseks kirjuta õige täht.

Küsimused: Mis on juhusliku suuruse keskväärtus ja mis tema dispersioon? Kirjeldage või esitage arvutusvalem. Mis vahe on juhusliku suuruse keskväärtusel ja mediaanil?

Statistika elemendid Järgmistel slaididel on kasutatud: http://web.zone.ee/veelmaaallar/sisu1/index.html http://gag1631.wikispaces.com/Õppematerjalid

Keskväärtus (Arithmetic mean)

Mood Mood on tunnuse kõige sagedamini esinev väärtus. Moodi tähistatakse sümboliga Mo. Näide. Hinnete 1, 2, 3, 4,, 4, 4, 5 puhul on mood 4. Hinnete 1, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 5, 5 puhul on kaks moodi, need on 2 ja 3. Kui tunnusel on üle kahe moodi, siis öeldakse, et mood puudub.

Mediaan on arv, millest suuremaid ja väiksemaid väärtusi on variatsioonireas ühepalju. Näide. Variatsiooniritta kirjutatud hinnete 1, 2, 2, 2, 3, 4, 4, 4, 5, 5, 5 mediaan on 4.

Tabelarvutusprogrammiga Excel on lihtne leida ka väga suurte andmetabelite korral keskväärtust, moodi ja mediaani. Keskväärtuse leidmiseks on funktsioon AVERAGE(...), moodi leidmiseks MODE ja mediaani leidmiseks MEDIAN.

Hajuvusmõõdud Hajuvusmõõdud iseloomustavad tunnuse väärtuse hajuvust. Enimkasutatavad on: Min/max element Variatsioonirea ulatus (max ja min elemendi vahe) Dispersioon ja standardhälve Variatsioonikordaja

Dispersioon (variability) ja standardhälve (standard deviation) Olgu variatsioonirea liikmed on x1, x2, x3, ..., xn, selle rea keskväärtus on Variatsioonireas oleva arvu ja keskväärtuse vahet nimetatakse hälbeks.

:      :     

Dispersioon on juhusliku suuruse varieeruvuse mõõt, ta näitab, Mis on juhusliku suuruse keskväärtus ja mis tema dispersioon? Kirjeldage või esitage arvutusvalem. Mis vahe on juhusliku suuruse keskväärtusel ja mediaanil? Dispersioon on juhusliku suuruse varieeruvuse mõõt, ta näitab, kui palju uuritav suurus varieerub. Näiteks kui katseseerias on kõigi katsete tulemus sama, siis katsete dispersioon on null. Mida suurem aga dispersioon on, seda enam erinevad katsete tulemused üksteisest.

Kordame: xi ja yi – on eksperimendist saadud mõõtmistulemused - on xi keskväärtus ( - xi ) – on hälve keskväärtusest ( - xi )2 - on hälbe ruut on hälvete ruutude keskväärtus (kasutatakse n või (n-1)) ehk dispersioon ruutjuurt dispersioonist nimetatakse standardhälbeks või Lineaarse seose tugevust xi ja yi vahel väljendab lineaarne ehk Pearsoni korrelatsioonikordaja r või selle ruut r2 (0 < r2 < 1)

Eriti huvilistele Korrelatsioon Korrelatsioon kahe pideva muutuja vahel tähendab seda, et ühe muutuja suurematele väärtustele vastavad sagedamini teise muutuja suuremad (positiivne korrelatsioon) või siis vastavalt väiksemad (negatiivne korrelatsioon) väärtused, korrelatsiooni tugevust mõõdab korrelatsioonikordaja (r). Sirge tõus näitab, kui mitme ühiku võrra muutub y-telje muutuja väärtus kui x-telje muutuja väärtus muutub ühe ühiku võrra. Sirge tõus on 1 juhul, kui x muutumisel miski suuruse võrra muutub y muutuja sama suuruse võrra.

Korrelatsioonikordaja korrelatsiooniväli ≈ graafik Iga selline vaatlus, kus mõlema muutuja keskmisest ühele poole hälbivad väärtused esinevad koos, lisab summale suure positiivse liidetava; vaatlus, kus hälbed on eri suundades, lisab suure negatiivse liidetava ja need vaatlused, kus vähemalt ühe muutuja väärtus on nulli lähedal, ei lisa suurt midagi.

Lineaarne korrelatsioonikordaja ehk Pearsoni korrelatsioonikordaja r kasutab graafilist informatsiooni ning on kõige levinum kordaja. Excel'is r = CORREL(X,Y) Korrelatsioonikordaja r omab tähendust vaid pidevatele ja normaaljaotusega tunnustele. Mida lähemal on r absoluutväärtus ühele, seda tugevamalt on tunnused omavahel seotud. Omadused: Väärtus asub lõigus –1 kuni 1 -1≤r≤1. Kui tunnused on kasvavalt seotud on r>0. Kui tunnused on kahanevalt seotud, on r<0. Kui tunnused on sõltumatud, siis r =0. Nõrk seos: kordaja |r|< kui 0.3 Keskmine seos: kordaja 0.3< |r| < 0.7. Tugev seos: kordaja |r|> 0.7. Puudused: Mõjutub erinditest (paar erindit võivad “venitada” kordaja suureks, kuigi tegelikult on seos nõrk) – erind välja jätta Mõjutub kolmandast tunnusest ehk punktid moodustavad mingi kolmanda tunnuse suhtes tõusva (langeva) pilve – uurida kordajaid kolmanda tunnuse väärtuste kaupa Tunneb ära vaid lineaarse seose, muu seose korral (ruutfunktsionaalne seos vms) võib anda tulemuseks nõrga või olematu sõltuvuse. Kõigil juhtudel on üldjuhul probleem graafikul nähtav.

Coefficient of determination (r2 Excel’is) Mida paremini lineaarne regressioon (parempoolne joonis) kirjeldab andmeid võrreldes tavalise keskmistamisega (vasakpoolne joonis), seda lähedasem ühele on R2 väärus. (SSerr“mudeliga seletatud” ruutude summa) / (SStotruutude üldsumma) r2 kirjeldab, mitu % dispersioonist mudel ära kirjeldab (seletab) Ainult lieaarse lähenduse puhul R2 on (Pearsoni) korrelatsioonikordaja ruut.

Normaaljaotus Tunnuse väärtuste suurenemine/vähenemine üle/alla keskmise väärtuse on võrdvõimalik

Graafiku kuju sõltuvus standardhälbest

Erikujulised graafikud

Mitu korda rohkem riiet kulub uue õhupallipalli kesta valmistamiseks, kui õhupall teha diameetrilt kolm korda suuremaks kui see oli? kest ------- pind L ~ r (2 π r) r = d/2 S ~ r2 (π r2, 4 π r2) r2 = (d/2)2 = d2/4 V ~ r3 (4/3 π r3) r3 = (d/2)3 = d3/8