12.09.2016

Sündmuste liigid Võimatu sündmus – sündmus, mis antud katse käigus ei saa esile tulla; tähistus Ø Kindel sündmus – sündmus, mis antud katses kindlasti toimub; tähistus Ω Juhuslik sündmus – sündmus, mis antud katse käigus võib toimuda, võib aga ka mitte toimuda; tähistatakse A, B, C, … vahel kasutatakse ka indekseid: A1, A2, A3, …

Põhimõisted (II) Vastandsündmus – sündmus, mis seisneb sündmuse A mittetoimumises; tähistus (loe: A kaetud) Näide Katseks on kahe täringu viskamine A – summana saadakse vähemalt 6 silma ( ) - summaks on 2, 3, 4 või 5 silma (<6)

Ülesanne 1 Sündmus A Vastandsündmus Mündi viskamisel saadakse “kiri” Kaardipakist tõmmatakse välja kolm kaarti, mis kõik on ärtu mastist Kolmest vastutulijast vähemalt üks on naine Sündmuse kirjelduses esineb sõnapaar “vähemalt üks” … x < 4

Ülesanne 1 Sündmus A Vastandsündmus Mündi viskamisel saadakse “kiri” Mündi viskamisel saadakse “kull”. Kaardipakist tõmmatakse välja kolm kaarti, mis kõik on ärtu mastist Kolme kaardi hulgas on vähemalt üks “mitteärtu”. Kolmest vastutulijast vähemalt üks on naine Kolme vastutulija hulgas naisi pole. Sündmuse kirjelduses esineb sõnapaar “vähemalt üks” … Vastandsündmuse kirjelduses tuleb kasutada: “mitte ükski” (“mitte ühtegi”) x < 4

Põhimõisted (III) Sõltumatud sündmused – kui katse kordamisel ühe sündmuse toimumine ei mõjuta teise sündmuse toimumist Sõltuvad sündmused – ühe sündmuse toimumisest sõltub teise sündmuse toimumine

Näide sõltumatute sündmuste kohta Täringut visatakse järjest kaks korda. A – esimesel viskel saadakse 4 silma B – teisel viskel saadakse 3 silma Sündmused A ja B on sõltumatud, sest teise viske tulemus ei sõltu esimese katse tulemusest.

Näide sõltuvate sündmuste kohta Kaardipakist võetakse järjest kaks kaarti. Esimest kaarti ei panda enne teise võtmist pakki tagasi. A – esimene kaart on ärtu B – teine kaart on samuti ärtu Kui A toimub, siis on B toimumiseks 12 võimalust. Kui A ei toimu, siis on B toimumiseks 13 võimalust. Sündmuse B toimumine on sõltuv sündmuse A toimumisest. A ja B on sõltuvad sündmused.

Nuputamiseks Teatud võrdsete võimalustega mängu mängitakse nelja võiduni. Enne mängu panustab kumbki mängija 100 raha. Katkestamise momendiks on mängija A võitnud kolm mängu, mängija B aga ühe mängu. Kuidas tuleks panustatud raha (200) jaotada?

/jätk/ Panuste jagamine. Kokku on 200 raha. Jagada tuleb suhtes 7:1. Osade koguarv on 8. Üks osa on Mängija A peab saama: mängija B peab saama:

Põhimõised (III) Teineteist välistavad sündmused – sündmused, millest ühe toimumisel on teise sündmuse toimumine samal katsel võimatu Näide Visatakse täringut. A – saadakse 4 silma, B – saadakse 5 silma. Sündmused A ja B on teineteist välistavad sündmused. Aga: Visatakse korraga kahte täringut. C – saadud summa jagub 3-ga D – saadud summa jagub 2-ga Sündmused C ja D ei ole teineteist välistavad (näit. kui summa on 12, siis see jagub nii 2-ga kui ka 3-ga).

Ülesanne 2 Kas sündmused on sõltumatud või sõltuvad? Täringut visatakse kaks korda. A – esimesel viskel saadakse paarisarv silmi B – teisel viskel saadakse 4 silma Korvis on 4 õuna ja 5 pirni. Võetakse kolm puuvilja. A – esimesena saadakse õun. B – teisena saadakse õun. C – kolmandana saadakse õun.

Ülesanne 2 (jätk) Korvis on 4 valget ja 5 punast kuulikest. Võetakse üks kuul. Pärast tema värvi kindlakstegemist pannakse kuulike korvi tagasi. Samuti toimitakse veel kaks korda. A – esimesena saadakse valge kuul B – teisena saadakse valge kuul C – kolmandana saadakse kolmas kuul Kas A, B, C on sõltumatud või sõltuvad?

Ülesanne 5 Kas sündmused A ja B on teineteist välistavad sündmused või mitte? Visatakse korraga kahte täringut. A – summana saadakse 7 silma B – ühe täringuga saadakse 5 silma, teise täringuga 2 silma Visatakse korraga kahte täringut A – mõlema täringuga saadakse paarisarv silmi B – summana saadakse 11 silma

Ülesanne 5 (jätk) Kaardipakis on 52 kaarti. Tõmmatakse 4 suvalist kaarti. A – saadud kaartide hulgas on 3 ässa B – saadud kaartide hulgas on 3 ärtu mastist kaarti Kaardipakis on 36 kaarti. Tõmmatakse üks kaart. A – saadud kaart on ärtu kuningas B – saadud kaart on pildikaart

Bernoulli valem Gaussi kõver (normaaljaotus)

Gaussi kõver

Tõenäosuse mõiste Tõenäosus – sündmuse toimumise võimalikkuse määr (arv, mis iseloomustab sündmuse toimumise võimalikkust). Eristatakse järgmisi tõenäosuse arvutamise võtteid: klassikaline tõenäosus, geomeetriline tõenäosus, statistiline tõenäosus.

Klassikaline tõenäosus p – tõenäosus A – sündmus m – soodsate võimaluste arv sündmuse A toimumiseks n – kõikide võimaluste arv Võimatu sündmuse korral Kindla sündmuse korral Juhusliku sündmuse korral Sündmuse ja vastandsündmus:

Näide 1 Visatakse täringut. A – saadakse 6 silma, B – saadakse 5 silma n = m = p(A) = p(B) =

Näide 1 (lahendus) Visatakse täringut. A – saadakse 3 silma n = 6 (6 erinevat võimalikku tulemust) m = 1 (saadakse 3 silma)

Näide 2 Visatakse korraga kahte täringut. A – summana saadakse 8 silma n = …………….. m = ……………. p(A) = ……………………..

Näide 2 (idee) Visatakse korraga kahte täringut. A – summana saadakse 8 silma Tulemused võiks esitada tabelis: I täringul saadud silmade arv 1 2 3 4 5 6 saadud silmade arv II täringul

Näide 2 (lahendus) Visatakse korraga kahte täringut. A – summana saadakse 8 silma Tulemused võiks esitada tabelis: I täringul saadud silmade arv 1 2 3 4 5 6 saadud silmade arv II täringul 7 8 9 10 11 12 n = 36 m = 5

Näide 3 Visatakse korraga kolme täringut. Kui suur on tõenäosus, et summana saadakse vähemalt 4 silma? n = … m = … p(A) = …

Näide 3 (idee) Visatakse korraga kolme täringut. Kui suur on tõenäosus, et summana saadakse vähemalt 4 silma? Lahendusidee: kui võimaluste arv on suur, siis tasuks kaaluda üleminekut vastandsündmusele. Praegu on vastandsündmuseks: summana saadakse ………………………..

Näide 3 (lahendus) Praegu on vastandsündmuseks: summana saadakse ……………………….. Soodsaid võimalusi vastandsündmuse toimumiseks m = …… Seega Otsitud tõenäosuse leiame seosest Avaldame p(A):

Ülesanded tõenäosuse klassikalise valemi rakendamisele(I) Täringut visatakse 5 korda järjest. Kui suur on tõenäosus, et neljandal katsel saadakse 5 silma? Täringut visatakse 100 korda. Neist 20 korral saadakse 5 silma. Kui suur on tõenäosus, et 101. korral saadakse samuti 5 silma?

Ülesanded tõenäosuse klassikalise valemi rakendamisele(II) Kaardipakist tõmmatakse juhuslikult üks kaart. Kui suur on tõenäosus, et saadakse pilt (piltideks on sõdur, emand, kuningas, äss)? Kaardipakist tõmmatakse juhuslikult kaks kaarti. Kui suur on tõenäosus, et nad mõlemad on ärtu mastist?

Ülesanded tõenäosuse klassikalise valemi rakendamisele(III) Klassis on 15 poissi ja 10 tüdrukut. Ajalootunnis kutsutakse vastama üks õpilastest. Kui õpilase väljavalimine on juhuslik, kui suur on siis tõenäosus, et vastama kutsutakse poiss? Korvis on 2 valget, 5 musta ja 6 sinist palli. Võetakse 10 palli (neid tagasi panemata). Kui suur on tõenäosus, et korvi jäävad vaid valged pallid?

Ülesanded tõenäosuse klassikalise valemi rakendamisele(IV) Mustkunstniku 52-lehelises kaardipakis on vaid ärtu ässad ning risti kuningad (mõlemaid võrdselt). Võetakse 27 kaarti (neid tagasi panemata). Kui suur on tõenäosus, et nende kaartide hulgas on vähemalt üks äss? Peeter ja Ants sõlmivad järgmise kihlveo. Neutraalne isik viskab kolme täringut korraga. Peeter võidab, kui kolme täringu summana saadakse vähemalt 10 silma, Ants võidab vastupidisel juhul. Kumma poisi võidu tõenäosus on suurem?

Ülesanded tõenäosuse klassikalise valemi rakendamisele(V) Missugune on tõenäosus, et 1995. a sündinud inimene on sündinud a) veebruaris b) mingi kuu viimasel päeval Kaardipakist on võetud mõned kaardid. Kui suur on tõenäosus, et järgmisena võetav kaart on a) ruutu mastist b) kuningas c) 10 või emand

Ülesanded tõenäosuse klassikalise valemi rakendamisele(VI) Urnis on 8 valget, 7 punast ja 5 sinist kuuli. Võetakse juhuslikult üks kuul. Kui suur on tõenäosus, et see kuul on a) valge, b) punane, c) sinine Urnist võetakse 3 kuuli, neid tagasi panemata. Kui suur on tõenäosus, et need kuulid on kõik valged?

Ülesanded tõenäosuse klassikalise valemi rakendamisele(VII) Klassis on 12 noormeest ja 18 tütarlast. Nimekirjast valitakse juhuslikult 3 õpilast. Kui suur on tõenäosus, et valitakse tüdrukud? Urnis on valged ja punased kuulid. Valitakse üks juhuslik kuul. Punase kuuli valimise tõenäosus on 0,3. Kui suur on valge kuuli valimise tõenäosus?

Münti visatakse üks kord. Missugune on “kirja” saamise tõenäosus? Millised järgmistest väidetest on tõesed Mündi järjestikusel viskamisel tuleb igal teisel viskel “kiri”; kui münti visatakse kaks korda, siis emmal-kummal viskel tuleb “kiri”; kui münti visatakse 100 korda, siis 50 korral tuleb “kiri”; kui münti visatakse sadu kordi, siis umbes 50% visetest saadakse “kiri” väär väär väär tõene

Probleemülesanne Karbis on kuulikesed: Võetakse kaks kuuli. Kui suur on tõenäosus, et saadakse sama värvi kuulikesed?

I lahendus Kui kuulikesed võeti korraga, siis on võimalused kahe kuuli saamiseks järgmised: Sobivaiks on esimene ja kolmas, seega vastav tõenäosus on

II lahendus Kui kuulikesi ei võetud korraga, siis on võimalused kahe kuuli saamiseks järgmised: Sobivaiks on esimene ja neljas, seega vastav tõenäosus on

III lahendus Nummerdame kuulikesed: Kui võtta kuulid korraga, siis on kahe kuuli saamiseks järgmised võimalused: Sama värvi on kuulid esimesel ja kuuendal juhul, seega

Kolm varianti Milline on õige??? Kuidas saaks kontrollida? Kas on veel võimalusi??

IV lahendus Nummerdame kuulikesed: Kui kuulid ei ole võetud korraga, siis on kahe kuuli saamiseks järgmised võimalused: Tõenäosus:

Järeldus Võimaluste arvu kindlakstegemisel peame arvestame kõikide elementaarsündmustega. Elementaarsündmused (lihtsündmused) – antud katse kõik võimalikud tulemused üksteist välistavad võrdvõimalikud

8. ülesanne Peeter ja Ants sõlmivad järgmise kihlveo. Neutraalne isik viskab kolme täringut korraga. Peeter võidab, kui kolme täringu summana saadakse vähemalt 10 silma, Ants võidab vastupidisel juhul. Kumma poisi võidu tõenäosus on suurem? Leida need tõenäosused.

Antsu võit 3 silma: 1 1 1 4 silma: 1 1 2 1 2 1 2 1 1

7 silma: 1 1 5 … 1 2 4 … 1 3 3 … 2 2 3 … 8 silma: 1 1 6 … 1 2 5 … 1 3 4 … 2 2 4 … 2 3 3 …

9 silma: 1 2 6 … 1 3 5 … 1 4 4 … 2 2 5 … 2 3 4 … 3 3 3 KOKKU: 81 soodsat võimalust;

Kombinatoorika Kombinatoorika on matemaatika haru, mis uurib etteantud hulga elementide kombineerimise võimalusi. Koolimatemaatikas uuritakse järgmisi võimalusi: permutatsioonid variatsioonid kombinatsioonid

Permutatsioonid Permutatsioonideks nimetatakse antud hulga elementidest moodustatud kõikvõimalikud järjestusi. Permutatsioonide arvu tähistatakse sümboliga Pn P1 = 1 P2 = 2 P3 = …

P1 = 1 P2 = 2 = 12 P3 = 6 = 123 P4 = 24 =1234 P5 = ... P6 = … Üldkujul: Pn = 12…n ehk Pn = n! faktoriaal

Erand Permutatsioonide arv 0 elemendist tuleb defineerida: P0 = 1

Näited Moodustada kõik võimalikud kolmesõnalised laused sõnadest KEEGI, SIIN, ON. Mitu erinevat lauset saab moodustada sõnadest TIHTI, TAEVAS, NÄHTI, TÄHTI. Kirjutada need laused ning püüda nad võimalikult kiiresti (ja veatult!) ette lugeda.

Faktoriaal kalkulaatoriga n! või x! teha kindlaks suurim tavalise kalkulaatoriga leitav faktoriaal

Ülesanded Pere viis last reastatakse juhuslikus järjekorras. Kui suur on tõenäosus, et lapsed paigutuvad ritta vanuse järgi (kas nooremast vanemani või vastupidi)? Mitmel erineval viisil saab bussi siseneda kümme reisijat? Kui kaua aega kulub kõikvõimalike variantide “läbimängimiseks”, kui 10 inimese sisenemine võtab aega 1 minuti ja päevas jõuab katsetada 8 tundi?

Isa on kirjutanud aadressid viiele ümbrikule ja pannud need lauale Isa on kirjutanud aadressid viiele ümbrikule ja pannud need lauale.Teises hunnikus on samas järjekorras viis kutset erinevatele sõpradele. 5-aastane poeg tahtis isa aidata, kui isa oli toast lahkunud. Ta võttis kutsed, kuid need kukkusid maha. Korjanud kõik jälle kokku, hakkas ta kutseid ükshaaval ümbrikutesse panema. Mitu erinevat varianti kutsete panekuks saaks nii tekkida?

Igal inimesel on neli vanavanemat (kaks vanaisa ja kaks vanaema) Igal inimesel on neli vanavanemat (kaks vanaisa ja kaks vanaema). Mitu vanavanemate vanavanemat on igal inimesel? Kui palju on vanavanemate vanavanematel vanavanemate vanavanemaid?

Lihtsustada avaldis: 1) 2) 3)

Nr 736: 3! = 6 võimalust AOS OAS SAO ASO OSA SOA Kodune ülesanne Nr 732: 5! = 120 Nr 736: 3! = 6 võimalust AOS OAS SAO ASO OSA SOA Nr 737: 7! või 12! 7! = 5040 12! = 479 001 600

Ülesanded õpikust Nr 739 Nr 740 Nr 741 Nr 742 NB! Nr 743 Nr 744 Nr 745 anagrammid KALEV VELAK

Geomeetriline tõenäosus Näide. Järve keskel on saar. Arvutuste kohaselt tabab meteoriit päris kindlalt järve piirkonda. Kui suur on saare tabamise tõenäosus?  

Geomeetriline tõenäosus Näide. Järve keskel on saar. Arvutuste kohaselt tabab meteoriit päris kindlalt järve piirkonda. Kui suur on saare tabamise tõenäosus? Saab leida pindalad: S1 – saare pindala S – järve pindala (koos saarega) Sündmuse A (meteoriit tabab saart) tõenäosuse leiame seosest

Geom. tõenäosuse korral eeldatakse, et piirkonna iga punkti tabamiseks on võrdsed võimalused. Suhtarvu leidmisel võib jagada erinevaid mõõtmeid (pikkus, pindala, ruumala).

Geomeetriline tõenäosus (II) Näited Lõigust [-1; 3] valitakse juhuslikult üks arv. Kui suur on tõenäosus, et valitud arv on 2,5? Kui suur on tõenäosus, et valitud arv on vähemalt 0,5 (≥0,5)? -1 2,5 3 3 -1 0,5 x≥0,5

Geomeetriline tõenäosus (III) Näide 1 Lõigust [-1; 3] valitakse juhuslikult üks arv. Kui suur on tõenäosus, et valitud arv on 2,5? Lahendus Geomeetrilise tõenäosuse valemi järgi Kui suur on tõenäosus, et valitud arv on vähemalt 0,5 ? Lahendus Geom. tõenäosuse valemi järgi

Järeldus Sündmus võib toimuda ka siis, kui tõenäosus on null Järeldus Sündmus võib toimuda ka siis, kui tõenäosus on null. /Teame, et võimatu sündmuse tõenäosus on 0; seega vastupidine väide ei kehti./ Kasutatakse ka terminit praktiliselt võimatu sündmus.

Geomeetriline tõenäosus (IV) Näide 2 Ring, mille üks sektor on värvitud punast värvi, hakkab kiiresti pöörlema ümber keskpunkti. Kui suur on tõenäosus, et selle ringi torkamisel nõelaga tabatakse punast osa? Sektori nurk on 300.

Geomeetriline tõenäosus (IV) Näide 2 Ring, mille üks sektor on värvitud punast värvi, hakkab kiiresti pöörlema ümber keskpunkti. Kui suur on tõenäosus, et selle ringi torkamisel nõelaga tabatakse punast osa? Sektori nurk on 300. Geomeetrilise tõenäosuse valemi põhjal:

Ülesanne 1 Kui suur on värvitud piirkonna tabamise tõenäosus? r 2r

Ülesanne 2 Bussid väljuvad lõpp-peatusest iga poole tunni tagant ja avavad sisenemiseks uksed viis minutit enne väljumist. Kui suur on tõenäosus, et reisija saab peatusesse saabudes kohe bussi siseneda? Kui suur on tõenäosus, et ta peab ootama bussi pääsemist üle 10 minuti?

Ülesanne 3 Jalakäijate fooris lülitub roheline tuli sisse iga kolme minuti tagant. Roheline tuli põleb 1 minuti ja 20 sekundit. Kui suur on tõenäosus, et ülekäigukohale jõudnud jalakäija a) saab kohe teed ületada; b) peab ootama rohelist tuld?

Statistiline tõenäosus Tugineb Bernoulli suurte arvude seadusele. Toimitakse nõnda: sooritatakse k sõltumatut katset tehakse kindlaks sündmuse A toimumiste arv arvutatakse nn suhteline sagedus statistiline tõenäosus:

Statistiline tõenäosus (II) Näide 1 Korvpallur on sooritanud iga treeningu lõpus seeria vabaviskeid: A – korvpallur tabab vabaviske Visete arv 80 100 120 Tabamuste arv 70 85 90 95

Statistiline tõenäosus (II) Näide 2 Kui suur on tõenäosus, et sünnib poiss? Tervise Arengu Instituudi (TAI) andmetel Poisi sündimise tõenäosus: 1992-2011 Poisse 147172 Tüdrukuid 138500 KOKKU 254741

Tuntud näiteid ajaloost Georges de Buffon (1707-1788) viskas münti 4040 korda, vapp 2048 korral; suhteline sagedus 0,507 Karl Pearson (1857-1936) viskas münti 12000 korda, vapp 6019; suhteline sagedus 0,5016; II seeria 24000 korda, vapp 12012 korral; suhteline sagedus 0,5005 Klassikalise valemi järgi: p(A) = 0,5

Buffoni nõel Paberilehele on tõmmatud peenikesed paralleelsed jooned (joonte vaheline kaugus on d); visatakse nõel (pikkusega l). Kui suur on tõenäosus, et nõel puudutab ühte sirgetest?

Ülesanded (I) Korvpallur on viimase hooaja ametlikes mängudes sooritanud kokku 2435 lähipositsiooni pealeviset, neist tabanud aga 1629. Kui suur on tõenäosus, et täna toimuvas mängus see korvpallur tabab oma viienda pealeviske? Visatakse ühte täringut. Kui üheksal korral järjest on saadud 6 silma, kui suur on siis tõenäosus, et kümnendal korral saadakse ka 6 silma?

Ülesanded (II) Ukse mõõtmed on 1x2 meetrit. Ukses on aknake mõõtmetega 2x5 detsimeetrit. Ust pommitatakse/visatakse lumepallidega. Kui suur on tõenäosus, et tabatakse aknaruutu? Arvutisimulatsioonis imiteeritakse teatud katset. Seni läbiviidud 109 katses on sündmus A toimunud ligikaudu 4,4 108 korda. Kui suur on sündmuse A toimumise tõenäosus?

Ülesanded (III) Tabelis on kirjeldatud sündmuse A esiletulek paljudes katseseeriates. Kui suur on tõenäosus, et homme läbiviidavas katses sündmus A siiski ei toimu? Kui suur on tõenäosus, et võrdkülgses kolmnurgas juhuslikult valitud punkt on ühtlasi kolmnurga siseringi punkt? Katsete arv 100 n 95 90 80

6. ülesande lahendus h r a

Ülesanded (IV) Urnis on 3 valget ja 5 musta kuulikest. Võetakse järjest 3 kuulikest (neid tagasi panemata). Kui on teada, et valgeid kuulikesi ei saadud, kui suur on siis tõenäosus, et järgmise kuuli võtmisel saadakse siiski valge kuul? Laual on kaardid numbritega 1, 2, 3, 4, 5. Väike Mall laob neist rea. Kui palju on erinevaid võimalusi? Kui suur on tõenäosus, et ta laob 5-ga jaguva arvu?