به نام خدا

مکانیک آماری سیستم های برهمکنشی روش بسط های خوشه ای

همه سیستمهایی که در بخشهای قبلی این کتاب مورد بررسی قرارگرفت، ازذرات غیر برهمکنشی تشکیل شده اند که برای سیستم های واقعی با محدودیت هایی مواجهند. برای آنکه بین تجربه وتئوری تماسی برقرار کنیم، می بایست به محاسبه برهمکنش های صورت گرفته بین ذرات سیستم بپردازیم. کار رابا یک سیستم گازی شامل ذره تک اتمی که از قواعد کلاسیک پیروی میکند، شروع می کنیم که انرژی پتانسیل آن جمع روی پتانسیل برهمکنش دو ذره ای است. هامیلتونی این سیستم عبارت است از :

دوم تا محاسبه می شود. پتانسیل تابعی از بردار است که باتوجه به هامیلتونی تابع پارش سیستم برابراست با:

که در آن طول موج گرمایی ذرات می باشد برای یک سیستم غیربرهمکنشی انتگرال بالا بصورت زیر در می آید که درتوافق با نتایج قبل است. برای بررسی گاز غیرایده آل تابع دوذره ای راتعریف میکنیم که با رابطه زیر داده می شود:

درغیاب برهمکنش داخلی بین ذرات به وضوح این تابع صفر است درحضور برهمکنش ودردماهای به اندازه کافی بالا در مقایسه بایک خیلی خیلی کوچک است. بنابراین انتظار میرود تابع جهت محاسبه انتگرال با یک بسط دردمای بالا مناسب باشد. درصفحه بعد نموداری از و مشاهده می شود.

] [ [ ] بنابراین باتوجه به آنچه گفته شد داریم: برای شمارش عبارتهای انتگرال فوق از روش گراف ذره ای متناظر باهرعبارت استفاده می کنیم. مثلا ًاگر باشد وبخواهیم عبارتهایی مانند: که درعبارت ظاهر میشود را محاسبه کنیم گراف 8 ذره ای متناظرآنها مانند زیر است: ] [ 1 2 6 8 3 5 7 4 [ ] 1 2 6 8 3 5 7 4

به دلیل اینکه فقط به بستگی دارد و به دیگرذرات بستگی ندارد برای عبارت های بالا می توان نوشت: وبطور مشابه 2 ] [ 5 7 3 4 6 8 1 [ ] 3 5 8 4 2 1 7 6

بنابراین عبارتی مانند که عضوی از بسط انتگرال است، نمایش دهنده آرایشی با چهار خوشه تک ذره ای ودو خوشه دوذره ای است وبه همین ترتیب نمایش دهنده آرایشی با سه خوشه تک ذره ای ویک خوشه دوذره ای ویک خوشه سه ذره ای است. بنابراین می توان یک گراف N ذره ای را با مجموعه ای از N دایره مجزای شماره گذاری شده از 1 تا N متناظر دانست که چند خط تعدادی یا همه دایره ها را به هم متصل کرده اند. اگرجفت دایره های مجزا که توسط خطوط به هم متصل شده اند را با نشان دهیم،هر گراف نشان دهنده عبارت زیر است: گرافهایی که تعداد زوجهای متصل بهم یکسانی دارند نشان دهنده عبارات مجزایی در بسط می باشند، اماهریک ازاینها متعلق به یک دسته ازسیگماهای بسط هستند.

بنابراین با توجه به تناظریک به یک بین هریک ازعبارتهای بسط وگراف N-ذره ای داریم : بعلاوه با فاکتورگیری ممکن در عبارات مختلف می توان یک را یک گراف ذره ای دانست که هر یک از دایرهای آن با اعداد تا بر چسب خورده اند ومستقیم یا غیر مستقیم به دایره ای دیگر متصلند به عنوان مثال یک گراف 5-ذره ای که نیز میباشد به صورت زیر است: (جمع گرافهای N ذره ای مجزا) 1 3 4 5 1 2

سه تای اولی از لحاظ مقدار یکسانند. یک را نمی توان به گراف های ساده تر تجزیه کرد، همانطور که عبارت مربوط به آن غیر قابل تجزیه است. از طرفی یک گروه ذره ای می تواند به های متفاوتی منجرشود که بعضی ازآنها از لحاظ مقدار یکسان هستند. برای مثال یک گروه سه ذره ای،چهار تولید میکند. سه تای اولی از لحاظ مقدار یکسانند. بنابراین با توجه به آنکه یک می تواند به طرق مختلف ظاهرشود ،کمیتی به نام انتگرال خوشه ای تعریف می کنیم. 2 3 1 2 3 1 (جمع همه های ممکن)

این کمیت دارای دو خاصیت زیر است : 1) بدون بعد است. 2) اثبات 2): اگر یکی از ذرات را در نقطه ثابت فرض کنیم وانتگرال را روی ذره باقیمانده بگیریم، چون تابع درمحدوده کوچکی از مقدار قابل توجهی دارد، حاصل انتگرال خوشه ای از حجم ظرف مستقل خواهد بود. در آخرانتگرال روی مختصات ذره ای که ثابت نگه داشته شده بود،گرفته می شود وعامل درست بدست خواهد آمد که با در مخرج ساده می شود. تعدادی از این انتگرالهای خوشه ای در صفحه بعد محاسبه شده اند.

1 1 2 2 3 1 +

هرگراف ذره ای شامل: خوشه خوشه و....... است. که برای داریم: مجموعه کامل گرافهای ذره ای است،لذا: که جمع کل های مجموعه کل گرافها است.

که جمع روی همه هایی زده میشود که این معادله یک روش سیستماتیک برای دسته بندی مجدد گرافها میدهد که درنقطه مقابل دسته بندی (7) می باشد. محاسبه مجموع تعداد گرافهای تحت توزیع ذاتا ًازدوعامل زیر ناشی میشوند: برای تخصیص N ذره به خوشه های راههای زیادی وجود دارد. 2)برای هریک ازترکیب بندی های مشخص شده راههای متفاوتی برای شکل دهی خوشه های مختلف وجوددارد.

بخاطرعامل اول فاکتور زیر را بدست می آوریم: اگر عامل دوم در کار نبود، آنگاه بصورت ترکیبی از فاکتوربالا و عبارت زیر بود. مقدار یک

که بااستفاده از تعریف انتگرال خوشه ای به صورت زیر نوشته میشود اما هر دو ترکیب بندی که فقط در معاوضه همه ذرات یک خوشه با همه ذرات یک خوشه دیگر به همان سایز متفاوت هستند نمی بایست به عنوان یک حالت مجزاشمرده شوند.لذاتصحیح متناظربا این واقعیت فاکتور است. عامل 2 وقتی به طور کامل رعایت میگردد که به جای عبارت بالا عبارت زیررا جانشین کنیم که بااستفاده از تعریف انتگرال خوشه ای به صورت زیر نوشته میشود حال s{mL} به صورت حاصلضرب عبارتهای و داده شده است. بنابراین با جایگذاری داریم: جمع مقادیر همه های ممکن

که در این عبارت از عبارت زیر استفاده شده است لذا تابع پارش سیستم اکنون عبارت خواهد بود از: که در آن روی هایی میباشد که در شرط صدق میکنند.

حال تابع پارش آنسامبل کانونی بزرگ سیستم را محاسبه میکنیم. با جایگذاری ازمعادله وبا توجه به آنکه جمع روی هایی که محدود به شرط است وجمع رویN از 0 تا ∞ هم ارز با جمعبندی نا محدود روی همه مجموعه ها است بدست می آوریم :

if (33) (34) دو معادله بالا فرمولبندي مشهور بسطهاي خوشه اي ماير-اورسل را تشكيل ميدهند. با حذف z از بين اين دو معادله، معادله حالت سيستم بدست مي آيد.

بسط ويريال معادله حالت معادله حالت سيستم را ميتوان به صورت زير نوشت: كه در آن اشاره به حجم اشغال شده توسط هر ذره دارد و فرض بر اين است كه اين معادله از حذف z در معادلات ( 34) و(35 ) بدست آمده است. اين معادله را بسط ويريال سيستم و راضرايب ويريال مي نامند. براي تعيين ارتباط بين و معادله (35) را معكوس كرده و z را به صورت يك سري تواني بر حسب بدست مي آوريم و در معادله (34) جايگذاري ميكنيم .آنكاه بدست مي آوريم : (1)

(2) (3) (4) (5) (6)

مشاهده ميشود كه هر يك از ضرايب بالا منحصرا“ با يك l-claster تعيين ميشوند. پس حدس زده ميشود براي ضرايب بعدي نيز چنين رابطه اي وجود داشته باشد. اين حدس كاملا“ صحيح است و نتيجه مربوطه عبارت است از كه به انتگرال خوشه اي تحويل ناپذير مشهور است و به صورت زير تعريف ميشود: (جمع همه l-cluster های تحویل ناپذیر) كه در آن l-cluster تحويل ناپذير عبارت است از يك گراف L ذره اي كه در آن حداقل دو مسير كاملا“ مستقل و نامتقاطع وجود دارد كه همه دايره ها را به صورت جفتي به هم متصل ميكند. براي مثال در يك 3-cluster فقط تحويل نا پذير است. همانطور كه مشاهده ميشود ضريب درست محاسبه ميشود . (7) (8) 2 3 1

وازطرفی پس داریم (9) که مطابق با فرمول (7) است.

مقادير مانند بدون بعد است ودر حد به مقاديرمحدودي ميل مي كند كه مستقل از اندازه ي ظرف است. در بخش 9.4 خواهيم ديدكه: (10) كه جمع روي است كه در شرط زير صدق مي كنند. (11) فرمول (10) ابتدا توسط ماير بدست آمدو وارون اين فرمول بعداَاثبات شد. (12) كه بايد شرط زير را ارضا كند. (13)

محاسبه ضرايب ويريال اگر يك سيستم انحرافات زيادي از رفتار يك گاز ايده آل نشان ندهد معادله حالت سيستم تقريبا با چندضريب ابتدايي داده خواهد شد.مي دانيم كه مي باشد.كمترين ضريب ويريال بعدي كه نياز داريم مي باشد. (1) پتانسیل برهم کنش بین ذره ای است یک فرمول نیمه تجربی برای پتانسیل ”لنارد-جونز“است. (2)

پتانسیل لنارد-جونز دارای یک مینیمم در به اندازه است.به ازای به مثبت بی نهایت میل می کندوبه ازای به منفی بی نهایت میل می کند. قسمت چپ این مینیمم یک برهم کنش دفع کننده را نشان میدهد. وقسمت راست این مینیمم یک برهمکنش جذب کننده را نشان میدهد. برای اهداف عملی شکل دقیق قسمت دفع کننده پتانسیل مهم نیست و بهتر است تقریب زیر را بکار ببریم. (3) که با نسبت دادن یک هسته نفوذ ناپذیر به شعاع به هر ذره محاسبه می شود. برای قسمت جذب کننده پایه ی نظری بهتری وجود دارد ومی توان به صورت زیر نوشت: (4) از (3)و(4) بیشتر برای بررسی کیفی استفاده می شود.

با جایگذاری (3)و(4)در (1) برای ضریب دوم ویریال بدست می آوریم: (5) انتگرال اول سرراست است ودومی با فرض واينكه (6) (7) وازطرفي داريم:

حال اولین تصحیح در قانون گاز ایده ال بد ست می آید (8) اگرa وb را بصورت زير تعريف كنيم (9) (10) که به سادگی به معادله وان دروالس می انجامد (11)

در این محاسبات ثابتهای a وb مستقل از دما هستند که در واقع این طور نیست.وبرای مطالعه ی واقع بینانه به یک پتانسیل واقع گرایانه مانند لنارد-جونز نیاز است. اما برای ضرایب بالاترویریال( l>2 ) بحثمان را روی کره های سخت محدود می کنیم.پس داریم: (16) (15) ضریب دوم گاز دقیقاَ برابراست با (17)

برای محاسبه انتگرال مکان ذرات 1و2راثابت می کنیم(طوری که ) به کمک معادله ی 9.2.5 می توان ضریب سوم ویریال رانیزتعیین کرد(معادله روبرو) (18) برای محاسبه انتگرال مکان ذرات 1و2راثابت می کنیم(طوری که ) سپس اجازه می دهیم ذره 3 تمام مکانهای ممکن را اشغال کند به طوری که می توانیم روی متغییر انتگرال گیری کنیم.چون انتگرالده به ازای فواصل و (مانند ) کمتراز برابر (1-) است وبه ازای برابرصفر است لذا: (19) که انتگرال گیری روی تمام مکانهایی ذره 3 اشغال می کند گرفته می شود 1 2 3

با توجه با شروط و اين انتگرال دقيقاَ برابرباحجم مشترك كره هاي و هريك به شعاع مي باشد.

از محاسبه انتگرال بدست می آید: با جانشانی این عبارت در19 ( ) وانتگرال گیری بدست می آوریم: (20)

چهارمین ضریب ویریال برای گازها با با کره های سخت توسط “Boltzman” -1899-و”Majumdar “-1929 انجام شد. که مقدار زیر بدست آمد: ُپنجمین وششمین ضریب ویریال توسط”Ree_ Hoover “-1964 –به روش انتگرال مونت کارلو محاسبه شد. تخمین”Ree –Hoover “برای هفتمین ضریب بصورت زیراست که درمحاسبه این ضریب اشتباهی مشاهده نشده است.

ملاحضات کلی روی بسط های خوشه ای تابع پارش آنسامبل بزرگ بصورت زیر داریم: (1) که برابر است با: (2) از لحاظ ابعادی مشابه است علاوه بر این مشابه برابر 1 است. درحالی که مقدار برابر با است بنابراین در حد داریم:

(3) (4) وازطرفي در مقایسه با بسط خوشه ای کلاسیکی اگربسط(3)رابه صورت يك سري تواني از بنويسيم داريم:

ازمساوی قرار دادن ضرایب دردوطرف رابطه بدست می آوریم: (5) (6) (7) (8) به ازای جمع ضرایب عددی برابر صفر است.لذا در مورد یک گاز ایده آل کلاسیکی همه انتگرالهای خوشه ای به ازای حذف می شوند.پس تمام ضرایب ویریال صفر می شود.(البته به جز )

با مقایسه معادلات 6تا8 ومعادله 9.1.16(معادله زیر) (مجموع همه l-cluster هاي ممكن) که معرف انتگرالهای خوشه ای کلاسیکی است درمی یابیم که عبارتهای ظاهرشده در پرانتزها که شامل مختلف هستندنقش یکسانی ایفا میکنند. که در اینجا متناظربا ”جمع همه ممکن“درموردکلاسیکی می باشد. درنتیجه انتظارداریم هاباز هم 1)بدون بعد 2)مستقل از اندازه وشکل ظرف باشندواین به محتاج آن است که در حد ترکیبات مختلف درون پرانتز ظاهر می شوندهمواره متناسب با توان اول باشند.

این اظهار منتج به نتایج جالبی می شود که اولین بار توسط ”Rushbrooke ” بیان شدوعبارتست از: (ضریب در بسط حجمی ) رابطه معکوس با توجه به 9.1.29 ( ) در رهیافت کلاسیک به صورت زیر نوشته می شود. (12) که جمع روی در شرایط زیرصدق می کند. (13)

حال رابطه ی 9.2.7 ( )که بین ضرایب ویریال وانتگرالهای خوشه ای تحویل ناپذیر است رااثبات میکنیم.(منشا ریاضی) از قبل داریم: (14) (15) ومی توانیم بنویسیم (16) معادله(15)بیان می کند درحد انتگرالده در(16) به میل می کند.پس مقدار به میل می کند که در توافق با(14)است همچنین این بدان معناست که درحد مقدار به میل میکند

متغير جديد زير را تعريف ميكنيم (17) معادله (15) بر حسب اين متغير عبارت است از (18) معكوس اين معادله عبارت است از (19) حال چون به ازاي Z<<1 متغيرهاي و تقريبا ً برابر هستند تابع هنگامي كه به سمت صفر ميل ميكند. لذا آنرا با يك سري تواني از نمايش ميدهيم با جايگذاري معادلات (17)و(19)و(20) در (16)به عبارت زير ميرسيم (21)

از تركيب (17)و(21) بدست مي آوريم (22) با مقايسه اين نتيجه با بسط ويريال به رابطه مورد نظرمان ميرسيم (23) سرانجام اقدام به استخراج رابطه بين ها و ها ميكنيم. بدين منظور با استفاده از قضيه زير كه منسوب به لاگرانژ است اقدام به حل x(z) ميكنيم (24) (25) روشن است كه عبارت درون پرانتز در بالا برابر ضريب در بسط تيلور تابع حول است.

با بكارگيري اين قضيه براي تابع زير (26) بدست مي آوريم (ضریب بسط تیلورتابع حول ) با مقايسه با معادله (18) ( ) بدست مي آوريم (27) كه جمع روي مجموعه هايي از است كه در شرط زير صدق كنند (28)

رهيافتي دقيق براي محاسبه ضريب دوم ويريال در اين بخش روشي را ارائه ميدهيم كه اصالتا ً منسوب به Beth و Uhlenbeck است و ما را قادر به محاسبه دقيق ضريب دوم ويريال يك سيستم كوانتومي با استفاده از پتانسيل برهمكنش دو جسمي u(r) ميسازد. با توجه به 9.4.9) ( ) داريم: (1)

براي سيستم غير بر هم كنشي متناظر مي توان نوشت (2) علامت (0)دربالاي حروف اشاره به غير برهمكنشي بودن سيستم دارد. با در نظر گرفتن تفاوت اين دو معادله و يادآوري آنكه است،خواهيم داشت: (3) كه با توجه به معادله (9.4.2)( )ميشود: (4)

براي محاسبه ردّ درعبارت بالا نياز به تابع هاميلتوني دستگاه دوجسمي ميباشد و اين به نوبه خود محتاج حل معادله شرودينگر است(براي سادگي ذرات را بدون اسپين فرض ميكنيم): (5) (6) با تبديل مختصات به مختصات مركز جرم و نسبي داريم: (7) (8) كه P اندازه حركت كل ذره و2m جرم كل دو ذره است، در حالي كه اشاره به انرژي مربوط به حركت نسبي ذرات دارد.

اعداد كوانتوميj وnهستند كه مقادير حقيقيP و را تعيين ميكنند (9) جرم كاهيده ذرات است. شرط بهنجارش براي تابع موج نسبي عبارت خواهد بود از (10) لذا معادله (4) به صورت زير تبديل ميشود (11)

برای مجموع اول داریم: (12) ( )

با جایگذاری در معادله (11) داریم: (13) طیف انرژی سیستم غیربرهمکنشی همواره پیوسته است و عبارت است از: (14) که با یک تابع چگالی حالات استاندارد مانند همراه است. اما طیف انرژی سیستم برهمکنشی یک مجموعه ویژه مقادیر منفصل مانند است که مطابق با حالتهای مقید سیستم دو جسمی است (15)

که با یک تابع چگالی حالات ویژه مانند همراه است که با یک تابع چگالی حالات ویژه مانند همراه است. نتیجتا ً معادله (13) را میتوان به صورت زیر نوشت (16) که روی تمام حالات مقید ممکن سیستم دوجسمی برهمکنشی محاسبه میشوداز آنجا که پتانسیل دو جسمی پتانسیلی مرکزی میباشد، لذا تابع موج برای حرکت نسبی را میتوان به صورت ترکیبی از یک بخش شعاعی ویک بخش هماهنگ کروی در نظر گرفت. یعنی: (17)

علاوه بر این شرط تقارن کروی که برای بوزونها وبرای فرمیونها است، ایجاب میکند که عدد برای بوزونها زوج و برای فرمیونها فرد باشد. شرط مرزی روی تابع موج عبارت است از : (18) که نسبت به r مقدار نسبتا ً بزرگی است وبه بینهایت میل میکند. شکل حدی تابع به شکل زیر مشهور است : (19) از همین رو میبایست داشته باشیم : (20)

دراینجا انتقال فاز پراکنده شده بخاطر پتانسیل دوجسمی u(r) میباشد که به عدد کوانتومی وعدد موج kوابسته میباشد. این معادله طیف کامل امواج جزئی را تعیین میکند. برای بدست آوردن عبارتی برای چگالی حالت مشاهده میشود که اختلاف عدد موج بین حالتهای متوالیn وn+1 با فرمول زیر داده میشود: (21)

(تعداد كل حالات) (22) عامل دراینجا به این دلیل ظاهر میشود که ویژه مقدارk مربوط به امین موج جزئی تبهگنی گانه دارد.(زیرا عدد کوانتومی mمیتواند تمام مقادیر را به خود بگیرد.) چگالی حالت کل مربوط به همه امواج جزئی با یک عدد موج kعبارت است از: ( 23)

به یاد داشته باشید که برای بوزونها روی وبرای فرمیونها روی محاسبه میشود به یاد داشته باشید که برای بوزونها روی وبرای فرمیونها روی محاسبه میشود.درمورد سیستم غیر برهمکنشی چون همه ها صفرند، لذا : (24) با ترکیب دو فرمول بالا بدست می آوریم : (25) نهایتا ً با جایگذاری در (16)( ) خواهیم داشت: (26) که برای هر تابع پتانسیل ارائه شدهu(r) وانتقال فاز مربوط به آن قابل محاسبه است.

معادله فوق برای تعیین کمیت قابل استفاده است معادله فوق برای تعیین کمیت قابل استفاده است. برای تعیین به تنهایی، میبایست مقدار را بدانیم. كه بعدا بدست خواهيم آورد: (27) که (+) برای بوزونها و(-) برای فرمیونهاست. شاید بتوان گفت که این روابط را میتوان ازرابطه زیرنیز بدست آورد: که با جایگذاری از معادله(5.5.25)( ) داریم: (28)

جالب آنجاست که این نتایج با استفاده از فرمول کلاسیکی (9. 1 جالب آنجاست که این نتایج با استفاده از فرمول کلاسیکی (9.1.18) و جایگذاری از(5.5.28)( ) نیز بدست می آیند. (29)

حال ضریب دوم ویریال را برای یک گاز با کره های سخت محاسبه میکنیم حال ضریب دوم ویریال را برای یک گاز با کره های سخت محاسبه میکنیم. پتانسیل دوجسمی در این مورد بصورت زیر میباشد : (30) جابجایی فاز پراکندگی را میتوان بااستفاده از شرایط مرزی (داخلی) مشخص کرد. یعنی تابع شعاعی برای حرکت نسبی باید در ازبین برود. (31) که توابع و به ترتیب توابع بسل و نیومن کروی هستند.

پس بطور متناظر داریم : (32) (33) (34)

حال به این نکته در مورد برهمکنش بین کره های سخت اشاره میکنیم که : 1)در این مورد هر حالت مرزی را نمی توان داشت. 2)برای همه مقادیر داریم انتگرال (26) بصورت زیرساده میشود : (35) با قرار دادن درمورد بوزونها و در مورد فرمیونها بدست می آوریم :

بسط خوشه اي براي يك سيستم مكانيك كوانتومي اساس اين تئوري بسط تابع پارش آنسامبل بزرگ مي باشدكه اساسا شبيه بسط خوشه اي تابع پارش براي آنسامبل كانوني بزرگ براي يك گاز كلاسيك است .هاميلتوني سيستم عبارتنداز (1)

تابع پارش اين سيستم عبارتند از: (2) كه فرض شده است تابع يك مجموعه كامل از توابع بهنجار شده سيستم است.اعداد 1... Nبه ترتيب به موقعيت مختصاتي اشاره دارد.

حال مي توان اپراتور چگالي احتمال را معرفي كنيم كه عناصر ماتريسي آن عبارتند از: (3) عناصر قطري اپراتور را بصورت نشان مي دهيم: (4)

(9.1.3) (9.4.2) باتوجه به فرمول (2)داريم: (5) كه يك مقايسه بين معادلات 9.1.3 و9.4.2 نشان مي دهد كه يك مقياس از انتگرال پيكر بندي مي باشد وكميت يك معيار از احتمال پيكربندي سيستم داده شده مي باشد كه در بازه زير تغيير مي كند. (9.1.3) (9.4.2)

بعضي از خواص مهم عناصر ماتريسي (3) عبارتند از: الف) (6) كه از فرمول 5.3.16 براي ماتريس چگالي استفاده شده است.كه يك نمايش از ارتباط كوانتومي_ونه آماري_ بين موقعيت هاي يك ذره ي داده شده مي باشد. وقتي كه وبنابراين ماتريس فرمول(6) براي تمام مقادير محدود . به صفر ميل مي كند (7)

ب) ودر نتيجه از(5)داريم: (8) ج)متقارن بودن تابع موج باعث مي شود كه عناصرقطري عملگر چگالي احتمال با توجه به جايگشت هاي مختلف بين متقارن باشد. د)عناصر تحت انتقال يكاني از مجموعه ناوردا مي ماند

ه)فرض كنيد مقادير مختصات به دو دسته A وB تقسيم كرد با اين ويژگي كه دو مختصه كه يكي متعلق به دسته A وديگري متعلق به دسته B مي باشد‌ بطوريكه داراي شرايط زير باشند: 1)فاصله خيلي بزرگتراز طول موج گرمايي متوسط (λ) ذره ميباشد 2) خيلي بزرگتر از برد موثر(ř) بين دو ذره مي باشد كه (9) كه و به مجموعه مختصات دسته A وB اشاره مي كند. پس بنا به ويژگي 1و2 هيچ ارتباطي بين A وB وجود ندارد بنابراين با يك تقريب خوب عملگر چگالي احتمال را بصورت عناصر تركيب دهنده و بنويسيم

برای تثبیت آنچه که از آن تابه حال پیروی کرده ایم یک گاز ساده با رابررسی می کنیم در این مورد که نظربه خصوصیت( ) انتظار داریم که: (10) در حالت کلی برابر با نخواهدبود حال اگر ما اختلاف بین و بانماد نشان دهیم وقتی که (11)

به وضوح کمیت ازلحاظ قیاس کوانتومی باتابع مایر یعنی یکی است به وضوح کمیت ازلحاظ قیاس کوانتومی باتابع مایر یعنی یکی است.بااین ذهنیت ما دسته ای ازتوابع خوشه ای را با سلسله مراتب زیر معرفی می کنیم (12) (13) (14)

وبه همین ترتیب می توان ادامه داد وبه همین ترتیب می توان ادامه داد.یک تابع خاص به کمک معادله اول این دستگاه تعیین می شود. آخرین معادله به صورت زیر نوشته می شود (15) که اولی روی همه ها می باشدکه باشرایط زیر مطابقت دارد (16)

به جمع روی همه راههای متمایز انتخاب جملات تحت مجموعه اشاره دارد (17) روابط معکوس قبلی برابر است با: (18) (19)

ما توجه داریم که: 1)ضریب جمله عمومی در طرف راست رابطه بالابصورت زیرداده می شود (20) که تعداد هادرهرجمله بالا می باشد 2)جمع ضرایب همه جملات طرف راست معادلات(18) و(19) مساوی باصفر است.بعلاوه عناصر قطری همانند عناصر قطری عملگر باتوجه به جایگشت های مختلف در میان آرگومان های متقارن هستنندوبایک سری از عناصر قطری مشخص می شوند.

ها دارای خاصیت مهم زیر می باشند (21) که فاصله بین دو مختصه از مختصات میباشد می توان نشان داد“انتگرال خوشه ای“ با فرمول زیر نمایش داده میشود (22) که به توجه به فرمول16-1- 9 نوشته ایم (مجموع ممکن)

به وضوح کمیت بدون بعد است وباتوجه به فرمول (21)عناصر مستقل از می باشندودر حد کمیت به یک مقدارمعین مستقل از حجم میل میکند که آن رابا نشان میدهیم پس تابع پارش سیستم راباتوجه به(5)و(15)بصورت زیر بدست می آوریم (5) (15)

(23) (24)

در نوشتن آخرین جمله از این حقیقت استفاده کرده ایم که یک جایگشت درمیان آرگومان های تابع از مقدار مربوط به انتگرال اثر نمی پذیرد.میتوانیم بنویسیم (25) که در بالا از فرمول زیر استفاده شده است (26)

معادله(25)به طور معمول مساوی با معادله 25-1-9 تئوری مایر است معادله(25)به طور معمول مساوی با معادله 25-1-9 تئوری مایر است.طبیعتاتوسعه رابطه قبل منجر به معادله حالت سیستم می شود.برابر با آنچه در تئوری مایربدست آمدبنابراین به فرمول اشنای خوشه ای زیر می رسیم (27) به هرحال اختلافات فیزیکی مهمی وجود دارد اگر بخاطر بیاوریم محاسبه انتگرال خوشه ای درحالت کلاسیکی با محاسبه تعدادی محدود از انتگرالهای مشکل همراه است به طور متناظر درمورد کوانتمی نیاز به اطلاعاتی درمورد هاواز این روتمام توابع برای داریم واین روشن میسازدکه نیاز به حل معادله شرودینگر -ذره ای برای هر می باشد در مورد همان گونه که در بخش 5-9 انجام شد به دقت می توان بررسی کرد

اختلاف بین کوانتوم وکلاسیک در کلاسیک اگربرهمکنش بین ذره ای وجود نداشت همه ها که بودندبه طور یکسان از بین مب رفتند اما این در کوانتوم درست نیست که برای کلاسیکی داشتیم(بخش های 1.7و1.8) با توجه به معادله 27-5-9بدست آمده است این نکته جالب وباارزش می رسدکه مقدار غیر صفر فقط از همبستگی آماری (ارتباط آماری)میات ذرات میباشد یهنی از خاصیت تقارن توابع موج بس ذره ای ناشی می شود

Yang وlee روش برخورد دوگانه روش ”لی ”و“یانگ“مبتنی برارزیابی توابع برای یک سیستم فیزیکی مفروض بوسیله جدا سازی اثرات آماری ازاثرات ناشی ازبرهمکنش بین ذرات می باشد یعنی در ابتدا مسئله را از دید آماری حل می کنیم آنگاه به جنبه دینامیکی آن می پردازیم توابع وابسته به سیستمهای فیزیکی رابا جمله های توابع وابسته به سیستمهای کوانتمی که از آمار بولتزمن پیروی می کنند متناظر می گیریم یعنی یک سیستم فرضی را با توابع موج غیرمتقارن توصیف کنیم که فرض شده است آمار سیستم واقعی یعنی خواص تقارنی توابع موج را توصیف می کند

برای سیستم فرضی بولتزمن که متناظرباسیستم فیزیکي موردمطالعه است هامیلتونی را باسیستم واقعی یکسان می گیریم که برابربا است با: (9.6.1) فرض می شود ذرات تمایز پذیرند درنتیجه سیستم بوسیله توابع موج غیرمتقارن توصیف می شود وبنابراین بعضی از تعاریف درفرمول ها تعدیل خواهد یافت برای مثال تابع پارش (9.6.2)

عملگر چگالي اختمال برابراست با: 9.6.3a 9.6.4a ارتباط بين تابع پارش وردعملگر چگالي يکسان باقي مي ماند (9.6.5a) توابع رامانند معادلاتی که برای سیستم واقعی داشتیم تعریف می کنیم به عبارت

دیگرمعادلات(9. 6. 12)و(9. 6. 16)وروابط معکوس در معادلات (9. 6. 17)و(9 دیگرمعادلات(9.6.12)و(9.6.16)وروابط معکوس در معادلات (9.6.17)و(9.6.20)باقی می مانندوهیچ اصلاحی در آنها بوجود نمی آید که روابط بین ها و ها می باشند نتیجه نهایی چنین میباشد: (9.6.27) 9.6.22a)

از اینجا به بعد شیوه زیر را در پیش می گیریم: روی هر کمیت فیزیکی وابسته به سیستم مفروض اندیس بالای می گذاریم اگر سیستم ازدید مکانیک آماری دارای تقارن باشد وچنانچه پادمتقارن باشد از اندیس بالای استفاده می کنیم کمیتهای وابسته به سیستمهای مشابه بولتزمن بدون اندیس بالا خواهند بود با توجه به معادلات(9.6.3)و (9.6.3a) که و و رامعین می کنندواینکه توابع درحالت قبل متقارن بودند در حالیکه دراین مورد پادمتقارن است پس داریم: (1) (2)

که به همه عملگرهایی که مختصات جابجا می کند اشاره می کنددر حالیکه به تعداد جایگشت های اشاره دارد. جایگشت های مفروض زوج(فرد) خواهند بود اگرتعداد اصلی جایگشت های موجود بوسیله یک عدد زوج(فرد) از جابجایی دوبدو اعداد بدست آید.بنابراین اگر آنگاه یک جایگشت فرد می باشدواگر یک جایگشت زوج می باشد

در سه جایگشت اول ضریب ارتباط در بسط(2) 1- خواهد بود در حالیکه در دومین جایگشت سه تایه ضریب ارتباط 1+ می باشد.به مثال زیر توجه کنید: (3) (4) (5) ....و

با تركيب اين نتايج با معادلات (9.6.12) و(9.6.13) و(9.6.14)

و(9.6.17) و(9.6.18) و(9.6.19) كه براي هرآماري برقرار است بدست مي آوريم

(6) (7) (8) و.....

حالا فرمول اصلي براي بيان توابع و را برحسب را به شكل يك قانون مي توان بيان كرد: الف) انتگرال رابه گروه كه هر گروه شامل انتگرال با شرط (9) مي باشد و بصورت زير گروهبندي مي شود (10) كه انتگرالهاي مختلف هستند.

ب)جمع زير را ايجاد مي كنيم: و به دو عامل زير توجه مي كنيم: 1)داخل هر پرانتر انتگرال ها بصورت صعودي مرتب شدو اند. 2)داخل هرآكلاد پرانتزها بصورت صعودي نوشته شده اند. ب)جمع زير را ايجاد مي كنيم: (11)

منجر به آخرين جمله رابطه (7)مي شود. كه ترتيب يك جايگشت از مختصات است در حاليكه به تعداد اين جايگشت ها اشاره دارد. ج)عبارت (11)را روي تمام گروههاي ممكن عدد صحيح جمع مي بنديم.حاصل جمع برابراست با: بنابراين وقتي براي وبقيه منجر به گروهبندي مي شد كه دو جمله اول رابطه (7) بدست مي آيدو گروهبندي براي حالت و بقيه منجر به آخرين جمله رابطه (7)مي شود.

ما توجه می کنیم که درمورد قبل جمله نمی تواند وجود داشته باشد زیرا هنگام قرار دادن و آن ممکن است به فاکتورهایی که یکی از انها منحصرا به مختصات و بقیه به مختصات وابسته باشند.بطور ساده موقعی که گروهبندی منجر به 6جمله اول معادله 8 می شود و گروهبندی چهار جمله بعدی رامی دهد وگروهبندی و ومنجر به4جمله (که به صورت توضیحی نوشته شده است)می شود

مرحله دوم روش ”لی“و“یانگ“ شامل فرموله کردن شیوه ای است که با آن توابع وابسته به سیستم بولتزمن به توان های یک کرنل دوگانه بسط داده می شود .این روش کاملا وبطور خالص دینامیکی وجدای از هر گونه پیچیدگی آماری است. توابع و عملگر هایی هستندکه ما داریم (12) حالا به وابستگی دمایی توابع اشاره می کنیم که و به ترتیب عملگرهای انرژیجنبشی وپتانسیل هستند

ما برای یک سیستم غیر برهمکنشی بدست می آوریم: (13) (14) شکل صريح عملگر در مختصات نشان داده شده در بالا با عناصر ماتريسي داده مي شود که برابر با عناصر ماتريسي مي باشد . بنابراين محصول عملگر است که هر کدام روي مختصات يک تک ذره عمل ميکنند

اگر برهمکنش وجود داشته باشد ما مي توانيم برحسب يک سري تواني از توانهاي بسط دهيم ما توجه داريم وقتي که نه فقط در صورت بلکه همچنين با اگر براي هر پيکربندي از سيستم شود سري بالا بي معني مي شود بنابراين ما مي توانيم را فعلا در هر جايي بصورت محدود در نظر بگيريم

بعد یک چینش مناسب در سری ها،مواردی که متضمن هستند در محدوده این طرح می تواند آورده شوند.این کارماراقادرکرد که به بررسی یک سیستم از ذرات در یک پتانسیل برهم کنشی منفرد مرکز دافع بپردازیم. با در نظرگرفتن این مطلب رابطه (15) رابرحسب یک مجموعه از نمودارهایی دوباره می نویسیم: (16)

(17) (18) Two similar terms Terms of higher order

بر حسب این نمودارها رابطه (15)بصورت زیر نوشته می شود: (19) (مجموع نمودارهای با پارامتر متفاوت و ذره) بعضی از نمودارها دارای قسمت های ناپیوسته اند.که این ناپیوستگی عملگرهای جابجایی را نشان می دهند. حال اگرمایک نمودار پیوسته رابصورت نموداری که قسمت های آن بوسیله خط های عمودی وافقی از دوسر متصل شده باشند تعریف کنیم وسپس نمایش های (16) تا(18) رابسط های اُرسل مشابه (12 تا 14)مقایسه کنیم به نتیجه زیر می رسیم:

(20) (21) (22) جمع نمودارهای پیوسته ذره ای با پارامتر متفاوت

نمودارهای ذره ای ظاهر شده به طورکوانتوم مکانیکی با انتگرالده های انتگرالهای خوشه ای جسم در تئوری ”می یر“ مشابه می باشد. از معادلات (17)و(21)داریم: (23) کرنل دوتایی با فرمول زیرتعریف می شود: (24) که با فرمول زیر برابر است: (25)

نمایش نموداری کرنل دوتایی می تواند مستقیماَاز نمایش نموداری استنباط شود. (26) ابتدای هرخط افقی درنمودارها فاکتور متداول( )را نشان می دهد. که خطوط متقاطع در نمودار آخر((تمامی نمودارهاباهرتعدادخطوط افقی درهرارتفاعی(ارتفاعهایی)بین مقادیر 0 تا برای پارامتر دمایی))رانشان می دهد.می توانیم بنویسیم:

که((تمامی نمودارها با یک خط افقی پارامتردمادرمقدار هرتعدادازخطوط افقی درهرارتفاعی مقادیر و رابرای این پارامتر))نشان می دهد. نمودارهای رابطه(20)را به گونه ای بازنویسی می کنیم که فقط ها در جملات مختلف جمع ظاهر شوند. (28) که ابتدای هر خط افقی در هرجایی بین0 تا قرارداشته باشد،که به طور تحلیلی به معنای رابطه زیر است. (29) که سازگار با رابطه(25)است.( )

نمودارهای(22)بصورت زیر می توانند گروه بندی شوند: (30)

که به نتیجه زیر برای تابع منجرمی شود. (31)

کاربرد روش های برخورد دوتایی الف) گازی با ذرات غیربرهم کنشی: سیستم درحالت بولتزمنی تبدیل به یک گاز کلاسیک ایده ال می شود .آنگاه عملگر به ها تجزیه می شودرابطه (13.7.9). بنابراین برای همه ها داریم: (1)

با جایگذاری این رابطه در بسط های اُرسل(17.6.9)و(19.6.9)بدست می اید: (2) که آخرین رابطه بخوبی ازبسط های دوتایی پیروی می کند،چون کرنل برای یک جفت ازذرات غیربرهم کنشی برابرصفراست .آنگاه انتگرالهای خوشه ای سیستم بولتزمنی با رابط زیرداده می شود (4)

برای حالتهای بوز-انیشتین یافرمی-دیراک،توابع (برای )ناپدید نمی شود.برای مثال:روابط(7.7.9)و(8.7.9)برابر می شود با: (5) (6) عملگری که حذف نمی شود به علت تبادل اثری که ازخصوصیات تقارنی توابع موج می باشد،صرف نظرازحضوریاغیاب برهمکنش های بین ذره ای.برای کلی داریم: (7)

(8) (ردّ هرجمله درمجموع) (9) برای محاسبه رد،متوانیم به نمایش اندازه حرکت برویم که دراین نمایش تابع قطری است.درنتجه باطی مراحلی که به رابطه (6.6.9) منجرشد بدست می اوریم: (10) تابع دلتای کونکرسه بعدی است.

ثابت می شود که ردبه عبارت زیرمیل می کند. (11) از جانشانی (11)در(9)بدست می آوریم (12) که بانتایج گازایده ال یکسان است.(28.6.9)

ب) گازباکره های سخت: گازی ازبوزونها یافرمیونهابه صورت کره هایی سخت به قطر در یک برهمکنش دافعی رادرنظرمی گیریم(معادله 30.5.9)برای بدست آوردن کرنل دوتایی این برهمکنش ابتدا ماتریس تابع بولتزمن رابدست می آوریم: (13) ازآنجاكه برهم كنش بين كره هاي سخت حالتهاي مقيد نداردمافقط حالتهاي با انرژي مثبت را در نظر مي گيريم.با توجه به روابط (9.5.7)و(9.5.8) مي توان معادله(13) رابرحسب مختصات مركزجرم ونسبي نوشت. (14)

وفاكتور بارابطه زير داده مي شود. (15) تابع راست هنجار بارابطه زيرداده مي شود (16) به طوري كه: (17)

با بكاربردن رابطه (18) كه (19) عبارت(15)بصورت زيردرمي آيد: (20)

با ضرب كردن(14)و(20)داريم: براي بدست آوردن بايد ازرابطه ي(21)عبارتي مشابه رابراي يك جفت ذره آزادراكم كنيم.(به رابطه ي 9.7.23 نگاه كنيد)به عبارت ديگربايدفاكتور رابافاكتورزيرجايگزين كنيم. (22)

بنابراين اگر سهم بالاتراز راحذف كنيم كافي است فقط حالتهاي رادرنظربگيريم. اگر عبارت(22)مي تواند باعبارت زيرجايگزين شود. :

كه باجايگزيني عبارتهاي فوق الذكر براي فاكتور دررابطه (21)واگر به جز مقدارديگري نگيردبدست مي آوريم

برای امتحان کردن می توانیم ضریب رابرای گازبوزونی از کره های سخت محاسبه کنیم.داریم: (25) ازفرمول(9.7.7)داریم: (26) اولین جمله گازایده آل رامی دهد یعنی . دومین وسومین جمله ازبرهم کنش های بین ذره ای ناشی می شود.با استفاده از عبارت (24)وتغییر روی مختصات و داریم: (27)

که این نتیجه باجمله مرتبه اول عبارت برابراست. برای مطالعه تاثیربرهم کنش بین ذره ای روی ضرایب با مرتبه های بالا تردر ابتدا داریم (28) مجموع اول نتیجه گاز ایده آل را می دهد.دومین مجموع تصحیح مرتبه اول ومجموع های سوم وچهارم تصحیح مرتبه دوم را می دهد.والی آخر...(مانند فرمول هاي 9.7.29 و9.7.31 )بنابراين اگر تصحيح مرتبه اول را نياز داشته باشيم كافي است مجموع را در نظر بگيريم. براي محاسبه اين مجموع بايد به ردٌ عملگر وبنابراين به ضريب توجه كنيم. پس داريم: (29)

كه و اعداد صحيحي هستند كه و و از رابطه (8)به جاي بدست مي‌ آيد. پس به طور مشابه فاكتور ضربي ناشي لز انتخابهاي مجاز مختصات ، خواهد بود بنابراين توزيع مناسب نسبت به با رابطه زير داده مي شود: (30) كه مجموع اول روي همه انتخابهاي ممكن اعداد و خارج از مجموعه زده مي شود.اين انتخابها است. وهمه آنها ذر پايان به طورمساوي توزيع مي شوند.

در انتها نتیجه برابر میشود با: (31) برای محاسبه این عبارت بهتر است ما به نمایش اندازه حرکت برویم: (32) (33) (با توجه به رابطه(10)ومسئله(9.10)) در رابطه (33)داریم:

(34) (35) نظر به ساختار عبارت (31)و وجود تابع دلتا در روابط (32)و(33)ما باید ترکیب زیر را در نظر بگیریم: (36) با استفاده از روابط (33)تا(35)ما برای این ترکیب مقدار زیر را بدست می آوریم:

(37) برای بدست آوردن توزیع مشابه نسبت به ضریب ما باید کمیت زیر را حساب کنیم:

(38) در نمایش اندازه حرکت (پیوستار) تابع دلتای کرونکر به تابع دلتای دیراک تبدیل می شود و عبارت (38) شکل زیر را می گیرد: (39) که توابع به توابع اشاره دارد

40

41 42

محمد دهقانی محمداقبالی مرتضی عسگريان تهيه کنندگان: