Lokalne lastnosti funkcije: zveznost, odvedljivost. Elementarni študij funkcije: enačbe, neenačbe, lastnosti osnovnih funkcij in računskih operacij. Lokalne lastnosti funkcije: zveznost, odvedljivost. (lokalne lastnosti se lahko zelo spremenijo že ob majhni spremembi funkcijskih vrednosti) zvezna nezvezna

Katere lastnosti funkcije so neobčutljive za majhne spremembe? majhna razlika pri funkcijskih vrednostih velika razlika pri vrednostih odvoda Katere lastnosti funkcije so neobčutljive za majhne spremembe?

Povprečna vrednost funkcije je primer globalne lastnosti. povprečna vrednost osnovne funkcije: 10.9166 povprečna vrednost ‘zanihane’ funkcije 10.9195 Povprečna vrednost funkcije je primer globalne lastnosti.

a b p p je povprečna vrednost funkcije f na intervalu [a,b], če je ploščina pod grafom enaka ploščini pravokotnika. p = (ploščina pod grafom funkcije f ) : (b-a)

Ploščino pod grafom funkcije ocenimo s pomočjo pravokotnikov: Vsota ploščin včrtanih pravokotnikov je manjša od ploščine pod grafom. Vsota ploščin očrtanih pravokotnikov je večja od ploščine pod grafom. Intuitivno, z delitvijo [a,b] na dovolj drobne podintervale je razlika med včrtano in očrtano ploščino poljubno majhna, zato dobimo poljubno dobro oceno za ploščino pod grafom.

Pri vseh delitvah D je S( f,D) ≤ ploščina pod grafom f ≤ Z( f,D). Formalizem: Privzemimo f:[a,b]→ℝ omejena ( m ≤ f(x) ≤ M za vse x∈[a,b] ). delitev intervala [a,b] mi: natančna spodnja meja f na intervalu [xi-1, xi] Mi: natančna zgornja meja f na intervalu [xi-1, xi] spodnja integralska vsota funkcije f pri delitvi D (vsota ploščin včrtanih pravokotnikov) zgornja integralska vsota funkcije f pri delitvi D (vsota ploščin očrtanih pravokotnikov) Pri vseh delitvah D je S( f,D) ≤ ploščina pod grafom f ≤ Z( f,D).

Množica spodnjih integralskih vsot je navzgor omejena, zato ima natančno zgornjo mejo (supremum), ki jo označimo S( f ) in imenujemo spodnji integral funkcije f Množica zgornjih integralskih vsot pa je navzdol omejena, zato ima natančno zgornjo mejo (infimum), ki jo označimo Z( f ) in imenujemo zgornji integral funkcije f Vedno je S( f) ≤ Z( f). Funkcija f je integrabilna, če je S( f) = Z( f). Skupno vrednost imenujemo integral funkcije f na intervalu [a,b] in označimo z

Kaktere funkcije so integrabilne? Za vsako delitev D velja S( f,D) ≤ S( f) ≤ Z( f) ≤ Z( f,D), zato je dovolj, če pokažemo, da vedno lahko izberemo delitev D, da bo razlika majhna kolikor želimo.

Monotone funkcije so integrabilne. Privzamemo f:[a,b]→ℝ naraščajoča, predpišemo ɛ>0: Vzamemo delitev pri kateri je Monotone funkcije so integrabilne. Privzamemo f:[a,b]→ℝ zvezna, predpišemo ɛ>0: Zaradi zveznosti obstaja tak d, da je kakor hitro je Vzamemo delitev pri kateri je Zvezne funkcije so integrabilne.

f:[a,b]→ℝ je integrabilna če ima največ števno mnogo točk nezveznosti. Ali obstajajo funkcije, ki niso integrabilne? Primer f:[0,1]→ℝ je dana s predpisom ? Za vsako delitev D je S( f,D)=0 in Z( f,D)=1 S( f)=0 in Z( f)=1, torej f ni integrabilna Velja: f:[a,b]→ℝ je integrabilna če ima največ števno mnogo točk nezveznosti.

Lastnosti integrala (k∈ℝ) Dogovor: f pozitivna na [a,b] je enak ploščini lika pod grafom funkcije f (k∈ℝ) a b c Dogovor: Ob upoštevanju tega dogovora veljajo vse zgornje formule tudi takrat, ko je spodnja meja integrala večja od zgornje.

M,m: natančna zgornja in spodnja meja f na [a,b] Povprečna vrednost leži na intervalu [m,M]. a b Če je f zvezna, zavzame vse vrednosti med m in M. Tedaj je za nek t∈[a,b]. f zvezna ⇒ f zavzame svojo povprečno vrednost

Računanje ... 1. Po definiciji f integrabilna f integrabilna Predpis je neroden za računanje: običajno je težko določiti najmanjšo in največjo vrednost funkcije na delilnih intervalih. Pomagamo si takole: na vsakem intervalu delitve izberemo po eno točko ti∈[xi-1,xi]. Na podlagi delilnih točk D:x0,...,xn in vmesnih točk T:t1,...,tn tvorimo Riemannovo vsoto Za vse delitve D velja: S( f,D) ≤ R( f,D,T) ≤ Z( f,D) ... f integrabilna

Primeri a b f(x)=x na [a,b] D poljubna, za T izberemo: Podobno dobimo:

f(x)=ex na [0,1] D : n enakih delov, ; T : leva krajišča, Podobno dobimo:

Računanje f omejena ⇒ F zvezna 2. Analitično Ali je F zvezna? Tvorimo novo funkcijo Primeri: za za Ali je F zvezna? f omejena f omejena ⇒ F zvezna

f zvezna F odvedljiva in F ’=f Ali je F odvedljiva? f zvezna za nek t med x in x+h. f zvezna F odvedljiva in F ’=f osnovni izrek analize

Newton-Leibnizova formula Obratno, če je F ’=f dobimo Newton-Leibnizova formula F je primitivna funkcija za f Primitivna funkcija ni enolično določena, vsaki dve primitivni funkciji dane funkcije se razlikujeta za neko konstanto.

Računanje : ‘uganemo’ primitivno funkcijo F izračunamo Primeri

Računanje 3. Numerično Numerično računamo, če ne znamo določiti primitivne funkcije ali če je integrand znan le v posameznih točkah. Integrand f nadomestimo s približkom g, ki ga znamo dovolj preprosto integrirati. Približek izračunamo iz vrednosti integranda v izbranih delilnih točkah (včasih tudi iz vrednosti odvodov). napaka, odvisna od metode in od števila delilnih točk približna vrednost integrala

Metoda trapezov: integrand nadomestimo z odsekoma linearno funkcijo. [a,b] razdelimo na n enakih delov: g je odsekoma linearna funkcija, določena s točkami (xk ,yk), k=0,1,...,n napaka trapezne metode trapezna formula

Simpsonova metoda: integrand nadomestimo z odsekoma kvadratično funkcijo. [a,b] razdelimo na n enakih delov; vsakega razpolovimo in čez tako dobljene tri točke potegnemo parabolo. Simpsonova formula

Primer Izračunaj z napako < 0.01. Trapezna metoda: 1. Iz pogoja določimo primeren n: 2. Določimo delilne točke in izračunamo pripadajoče funkcijske vrednosti: xk 0.0000 0.2000 0.4000 0.6000 0.8000 1.0000 yk 1.0000 0.8333 0.7143 0.6250 0.5555 0.5000 3. Vstavimo v trapezno formulo: dejanska napaka 0.0025 Simpsonova metoda: n=2 (4 delilne točke) dejanska napaka 0.0001

http://math.fullerton.edu/mathews/a2001/Animations/Animations.html

Primer Oceni ploščino kosa pločevine:

Računanje primitivnih funkcij F primitivna funkcija za f kF primitivna funkcija za kf F primitivna funkcija za f, G primitivna funkcija za g F+G primitivna funkcija za f+g Primer

Primitivne funkcije produkta, kvocienta ali kompozituma dveh funkcij v splošnem ni mogoče izraziti s pomočjo primitivnih funkcij faktorjev. Primitivna funkcija elementarne funkcije pogosto ni elementarna. (Npr. integrali niso elementarne funkcije.) Diferenciranje f(x) f ’(x) dx diferencial Obratno operacijo imenujemo nedoločeni integral. funkcije diferenciali d C neko število (odvajanje ni injektivno, zato obrat ni enoličen)

Pravila za integriranje: Pravila za diferenciranje: Pravila za integriranje: uvedba nove spremenljivke (substitucija) delna integracija (per partes)

Primeri Podobno za Podobno za Splošno pravilo:

Uspešna je tudi substitucija t2=x2+1.

Integriranje racionalnih funkcij Primer P(x),Q(x) polinoma 1.korak Če je potrebno, z deljenjem prevedemo na primer, ko je stopnja števca manjša od stopnje imenovalca. 2.korak Imenovalec razcepimo na faktorje, potem pa integrand razcepimo na delne ulomke oblike in 3.korak Integriramo dobljeni izraz.

Kako bi razširili pojem integrabilnosti na tovrstne primere? Izlimitirani integrali Primer integrand je neomejen, ne ustreza zahtevam za integrabilnost Formalno uporabimo Newton-Leibnizovo formulo: Kako bi razširili pojem integrabilnosti na tovrstne primere?

Osnovna primera: f zvezna na [a,b), pri b ima pol obstaja za vse t∈[a,b) f zvezna na [a,+∞) obstaja za vse t∈[a,+∞)

Primeri limita ne obstaja

limita ne obstaja

Ocenjevanje konvergence: obstoj limite pri izlimitiranem integralu lahko ugotovimo na podlagi primerjave z znanimi integrali. obstaja za r<1 ne obstaja za r ≥ 1 obstaja za r>1 ne obstaja za r ≤ 1 Primeri Za x → ∞ je primerljiva z integral obstaja Za x → 1 je primerljiva z , ki je primerljiva z pri x → 0 integral obstaja

Uporaba integrala Ploščine likov ploščina

Ploščina v polarnih koordinatah To je Riemannova vsota za funkcijo ploščina

Dolžina krivulje Vsaka delitev intervala določa neko lomljenko. Dolžina krivulje je natančna zgornja meja dolžin lomljenk. dolžina lomljenke Riemannova vsota za funkcijo dolžina krivulje (če je f zvezno odvedljiva)

Prostornina telesa Prostornina telesa = ploščina prereza na nivoju x Riemannova vsota za funkcijo P Prostornina telesa = (če je P zvezna)

Vrtenine Prostornina vrtenine = Vrtenina je telo, ki ga zaobjamemo z vrtenjem krivulje okoli neke osi. Prerez na nivoju x je krog s ploščino P(x)=f(x)2 π. Prostornina vrtenine =

Nekatere fizikalne količine, ki se izražajo z integralom (Integriramo funkcije ene spremenljivke, zato se zaenkrat omejimo na primere, ki so ‘enodimenzionalni’.) Dolžina poti, ki jo točka, ki se giblje premočrtno s hitrostjo v=v(t) prepotuje v času od t1 do t2 je Masa krivulje, dane z enačbo y=f(x) na [a,b] in z dolžinsko gostoto r=r(x) je Težišče krivulje, dane z enačbo y=f(x) na [a,b] in z dolžinsko gostoto r=r(x) je Težišče n točk, katerih mase so mi, koordinate pa (xi,yi) je Delo, ki ga sila F=F(x) opravi vzdolž osi x

Funkcije definirane z integralom Vsaka integrabilna funkcija f :[a,b]→ℝ določa zvezno funkcijo F :[a,b]→ℝ: Lastnosti F lahko razberemo iz lastnosti f, npr: če je f zvezna je F odvedljiva in velja F ’=f; če je f pozitivna, je F naraščajoča...

Primer Za vsak x>0 je definirana funkcija je zvezna l je odvedljiva je strogo naraščajoča x↦l(x) je alternativna definicija funkcije ln(x). x↦l -1(x) pa je alternativna definicija funkcije ex

f :[a,b]ⅹ[c,d]→ℝ: Pravilo določa funkcijo F :[a,b]→ℝ. Primer Nove funkcije dobimo tudi z integriranjem funkcij več spremenljivk: f :[a,b]ⅹ[c,d]→ℝ: Pravilo določa funkcijo F :[a,b]→ℝ. integral s parametrom Primer Kdaj je tako definirana funkcija zvezna, odvedljiva, integrabilna? Kaj je njen odvod, integral?

Zveznost f zvezna zvezna Izberimo natančnost e in privzemimo, da je f zvezna: če je x1 dovolj blizu x0 , je zato je f zvezna zvezna

Odvedljivost Lagrange: zvezna za dovolj majhen h je za vse y∈[c,d] f(x,y) zvezno odvedljiva na x odvedljiva odvajanje integrala po parametru

Primer

Integrabilnost G1=G2 zvezna f zvezna integrabilna Primerjajmo funkciji posebej: G1(b)=G2(b) zamenjava vrstnega reda integriranja

Primer

Formula o zamenjavi vrstnega reda integriranja velja tudi za funkcije f(x,y), ki so nezvezne v nekaj točkah ali celo vzdolž neke gladke krivulje. Primer nezvezna vzdolž premice y=x

Dvojni integral Prostornino pod ploskvijo ocenimo s pomočjo kvadrov. Pravokotnik [a,b]x[c,d] razdelimo na mrežo manjših pravokotnikov. Vsota prostornin včrtanih kvadrov je manjša, vsota prostornin očrtanih kvadrov pa večja od prostornine pod ploskvijo.

f(x,y) omejena na pravokotniku [a,b]×[c,d] delitev: Δyj a b Δxi mij,Mij natančna spodnja in zgornja meja na pravokotniku [xi-1,xi]×[yi-1,yi] Δxi= xi – xi-1, Δyj= yj – yj-1 spodnja integralska vsota funkcije f pri delitvi D zgornja integralska vsota funkcije f pri delitvi D

Zvezne funkcije so integrabilne. spodnji integral funkcije f zgornji integral funkcije f Vedno je S( f) ≤ Z( f). Funkcija f je integrabilna, če je S( f) = Z( f). Skupno limito imenujemo dvojni integral funkcije f na območju [a,b]×[c,d] in označimo z Zvezne funkcije so integrabilne. (Integrabilne so tudi funkcije, pri katerih je množica točk nezveznosti majhna, npr. če so nezvezne le v nekaj točkah, ali pa vzdolž neke gladke krivulje.)

Prostornina pod grafom z=f(x,y) je , kjer je P(x) ploščina prereza na nivoju x. P(x) je ploščina pod grafom funkcije y↦f(x,y): Dvojni integral je enak dvakratnemu.

Primer ali pa

Primer splošno pravilo:

Primer ploščina prereza je Polovico valja presekamo z ravnino. Izračunajmo prostornino dobljenega telesa v:x = h:r x ploščina prereza je prostornina =

Integral funkcije f(x,y) po območju D, ki ni pravokotno obravnavamo takole: D zapremo v pravokotnik [a,b]x[c,d] in razširimo definicijo funkcije f s pravilom Definiramo: g(x,y)=f(x,y) za (x,y) iz D in g(x,y)= 0 sicer.

Primer enačba ravnine: x y z območje D: prostornina = 2. možnost:

Funkcijske vrste Primer ?? (geometrijska vrsta) Vrsta določa funkcijo le v točkah, kjer konvergira!

kako hitro vrsta konvergira proti limitni funkciji? kje je f definirana? (za katere vrednosti x vrsta konvergira) kako hitro vrsta konvergira proti limitni funkciji? (kdaj lahko f dobro aproksimiramo s končno vsoto) kako odvajamo in integriramo funkcijo f ? (ali lahko odvajamo oz. integriramo vsak sumand posebej) katere funkcije lahko predstavimo z vrsto iz preprostih funkcij? (potenc, eksponentnih, trigonometričnih...)

Potenčne vrste . . . . . . f odvedljiva (med 0 in x) Lagrange (za nek t med 0 in x ) f dvakrat odvedljiva f trikrat odvedljiva . . . . . .

Taylorjeva formula Taylorjeva vrsta Če velja , potem ostanek Če velja , potem Taylorjeva vrsta Določanje Taylorjeve vrste: po definiciji (za osnovne funkcije); z uporabo računskih pravil (za sestavljene funkcije).

Primeri polinomi eksponentna funkcija približki pri n =2,4,6,8,10

sinus približki pri n =3,5,7,9,11,25

kosinus približki pri n =2,4,6,8,10,20

Primeri Če je , potem za koeficiente vrste velja formula . Torej, če ‘uganemo’ potenčno vrsto, katere vsota je funkcija f, je to ravno Taylorjeva vrsta za f. Primeri je Taylorjeva vrsta za

Za katere x konvergira vrsta ? Privzemimo: Naj bo |x|<|x|: (vrsta iz absolutnih vrednosti je omejena, torej konvergira) konvergira Množica vseh x, za katere vrsta konvergira je vedno simetrični interval oblike (-R,R). R je ‘polmer’ konvergence

Primeri Taylorjeve vrste funkcij ex, sin x, cos x konvergirajo za vse x, zato je R=∞. Za je R=1. Polmer konvergence vsote dveh vrst je enak manjšemu izmed polmerov konvergence sumandov. Podobno velja za razlike in produkte vrst. Primer Vrsta ima polmer konvergence .

Privzemimo za x∈(-R,R). Kako izračunamo ? Za t∈[0,x] ocenimo razliko Izberemo r: x<r<R. Za zahtevano natančnost ε izberemo dovolj velik n, da je Tedaj je Taylorjevo vrsto smemo členoma odvajati in integrirati. Polmer konvergence se pri tem ne spremeni.

Primeri posebej: posebej:

Taylorjeva vrsta za algebrajske funkcije oznaka: binomska vrsta R=1

Primeri

Uporaba Taylorjeve vrste Približne formule: boljši približek:

Približki za sin(x) Za katere x je napaka manjša od 0.001? Za |x|≤10o je napaka približka sin x=x manjša od 0.001. Tedaj je tudi relativna napaka (razmerje napaka/dejanska vrednost) manjša od 1%. Za |x|≤36o je napaka približka manjša od 0.001. Za |x|≤60o je relativna napaka manjša od 1%.

Približek za cos(x) Za |x|≤20o je napaka približka manjša od 0.001. Za |x|≤36o je relativna napaka manjša od 1%.

Numerično integriranje Vrsta alternira, zato je pri napaka manjša od 0.001. Vrsta alternira, zato je pri napaka manjša od 0.001.

Taylorjeva vrsta implicitne funkcije Enačba ex+ey=e+x+y določa y=y(x), ki ga lahko razvijemo v vrsto.

Taylorjeva vrsta je najboljši polinomski približek za f(x) blizu x=0 Taylorjeva vrsta je najboljši polinomski približek za f(x) blizu x=0. Če potrebujemo podoben približek blizu kakšne druge točke, npr. a, ravnamo takole: Taylorjeva vrsta za f(x) okoli točke a.

Primer Razvoj okoli a=6: Vrsta konvergira za

Trigonometrične vrste Natančnost Taylorjeve vrste upada z oddaljevanjem od izhodišča zato so za obravnavanje periodičnih funkcij primernejše vrste sestavljene iz trigonometričnih funkcij. Pomožni izračuni: podobno: podobno:

Motivacija Elastično vrvico napnemo in izmaknemo iz ravnovesne lege. Nastane valovanje, ki potuje po vrvici in se odbija od koncev. Pri dovolj visoki frekvenci nihanja zagledamo stoječe valovanje. Ker konca mirujeta, so pri sinusnem nihanju možne le valovne dolžine oblike l=2L/n, kjer je n naravno število. Splošno nihanje vrvice (strune) je superpozicija osnovnih nihanj.

Privzemimo, da je funkcija f 2p-periodična in da je enaka vsoti vrste trigonometrična ali Fouriereva vrsta Kako bi določili koeficiente ak in bk? =0 =0

Če je f(x) vsota trigonometrične vrste (in če smemo vrsto členoma integrirati), potem za koeficiente vrste velja:

Fouriereva vrsta trigonometričnega polinoma je vedno končna. Primer (integral lihe funkcije po simetričnem intervalu) Fouriereva vrsta trigonometričnega polinoma je vedno končna.

Primer f liha ⇒ vsi ak=0 bk=0 za sode k numerično: b1=1.161 b3=0.232 ...

Fouriereve koeficiente lahko izračunamo tudi za funkcije, ki niso periodične. Dobljena Fouriereva vrsta je periodično nadaljevanje prvotne funkcije. Primer f soda ⇒ vsi bk=0

Primeri f liha ⇒ vsi ak=0

Ob prejšnjih zgledih se zastavlja vprašanje: če za dano funkcijo f(x) izračunamo koeficiente ak in bk, kakšna je potem zveza med f(x) in ? delna vsota lažji odgovor: če je f omejena in odsekoma zvezna, potem gre sm v povprečju proti f, tj. težji odgovor: če je f odsekoma zvezna in odsekoma monotona in če v vsaki točki x obstajata leva in desna limita funkcije f(x-) in f(x+), potem je

Funkcijo f lahko razvijemo v Fourierevo vrsto na poljubnem intervalu [a,b]. Osnovne funkcije: sin x, cos x Osnovne funkcije:

Primerjava med Taylorjevo in Fourierevo vrsto Taylorjeva vrsta vsota potenc koeficiente računamo z odvodi, ostanek po Lagrangevem izreku uporabna le za dovoljkrat odvedljive funkcije področje konvergence določeno s polmerom konvergence blizu središča konvergira hitro, navzven pa vedno počasneje vrsto smemo členoma odvajati in integrirati Fouriereva vrsta vsota trigonometričnih funkcij koeficiente računamo z integrali uporabna za zelo splošne funkcije, npr. odsekoma zvezne periodična enakomeren približek na celem intervalu vrsto smemo členoma integrirati, odvajati pa le, ko je limitna funkcija zvezno odvedljiva